Biết [{log _a}b = 3] với a, b là các số thực dương và a khác 1. Tính giá trị của biểu thức [P = {log _{sqrt a }}{b^3} + log _{{a^2}}^2{b^6}].
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Xét các số thực dương \[a\] và \[b\] thỏa mãn \[{\log _3}\left[ {1 + ab} \right] = \frac{1}{2} + {\log _3}\left[ {b – a} \right]\]. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \frac{{\left[ {1 + {a^2}} \right]\left[ {1 + {b^2}} \right]}}{{a\left[ {a + b} \right]}}\] bằng
A. \[1\]. B. \[2\]. C. \[4\]. D. \[3\].
Lời giải
ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}b – a > 0\\a,b > 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow b > a > 0\].
Ta có \[{\log _3}\left[ {1 + ab} \right] = \frac{1}{2} + {\log _3}\left[ {b – a} \right]\]\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {1 + ab} \right] – {\log _3}\left[ {b – a} \right] = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\frac{{1 + ab}}{{b – a}}} \right] = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \frac{{1 + ab}}{{b – a}} = \sqrt 3 \]\[ \Leftrightarrow 1 + ab = \sqrt 3 \left[ {b – a} \right]\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{a} + b = \sqrt 3 \left[ {\frac{b}{a} – 1} \right]\]
Vì \[\frac{1}{a} + b \ge 2\sqrt {\frac{b}{a}} \] nên \[\sqrt 3 \left[ {\frac{b}{a} – 1} \right] \ge 2\sqrt {\frac{b}{a}} \] \[ \Rightarrow 3{\left[ {\frac{b}{a} – 1} \right]^2} \ge 4\frac{b}{a}\] \[ \Rightarrow 3{\left[ {\frac{b}{a}} \right]^2} – 10\frac{b}{a} + 3 \ge 0\]
\[ \Rightarrow \frac{b}{a} \ge 3\] [Do \[b > a > 0\] nên \[\frac{b}{a} > 1\] ].
Mặt khác \[P = \frac{{\left[ {1 + {a^2}} \right]\left[ {1 + {b^2}} \right]}}{{a\left[ {a + b} \right]}}\]\[ = \frac{{1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2} + ab}}\]\[ \ge \frac{{2ab + {a^2} + {b^2}}}{{a\left[ {a + b} \right]}}\]
\[ = \frac{{{{\left[ {a + b} \right]}^2}}}{{a\left[ {a + b} \right]}}\]\[ = \frac{{a + b}}{a}\]\[ = 1 + \frac{b}{a}\]\[ \ge 4\].
Dấu \[” = ”\] xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}ab = 1\\\frac{b}{a} = 3\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\b = \sqrt 3 \end{array} \right.\]. Vậy \[\min P = 4\].
1] Cho a,b là các số thực dương khác 1 và thoả mãn ab khác 1. Rút gọn biểu thức sau: P=[logab + logba + 2][logab - logabb].logba - 1
Đáp án A
Ta có: P=logabba=2logabba
=2logabb−logaba=21logbab−12logaba
=211+logba−12.1logaab=211+1logab−12.11+logab=211+15−12.11+5=11−354
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn \[a \ne 1,a \ne \sqrt b \] và \[{\log _a}b = \sqrt 3 \]. Tính \[P = {\log _{{{\sqrt b } \over a}}}\sqrt {{b \over a}} \] .
A.
B.
C.
D.
Cho \[a,\,\,b\] là các số thực dương thỏa mãn \[a \ne 1,\,\,a \ne \sqrt b \] và \[{\log _a}b = \sqrt 3 \]. Tính \[P = {\log _{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} \].
A.
B.
C.
D.