Cho tam giác ABC vuông tại A thi tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm ở đâu

1. Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó. Hay nhiều người thường gọi theo cách khác là tam giác nội tiếp đường tròn.

2. Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Muốn xác định tâm đường tròn nội tiếp của tam giác và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác học sinh cần lưu ý phần đã nêu trong lý thuyết:

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là vị trí giao điểm của ba đường trung trực đó là ba cạnh tam giác [cũng có thể là giao điểm 2 đường trung trực].

- Có 2 cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

- Cách 1

+ Bước 1: Gọi I[x;y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA=IB=IC=R

+ Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình

- Cách 2:

+ Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.

+ Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

- Như vậy Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trênđường caoAH

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông làtrung điểmcạnh huyền

3.Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.

Để giải được bài toán viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta thực hiện theo 4 bước sau:

+Bước 1:Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c [Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm]

+ Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c

+Bước 3:Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

+Bước 4:Do A,B,C∈ C nên ta có hệ phương trình:

=> Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.

Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình [C] ta cóphương trình đường tròn ngoại tiếp tam giáccần tìm.

4. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho tam giác ABC

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC

Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

5. Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A[-1;2] B[6;1] C[-2;5]

Cách giải:

Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn [C] ta được hệ phương trình:

Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I [3;5] bán kính R = 5 là:

Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A[1;2], B[-1;0], C[3;2]. Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn cách giải

Gọi I[x;y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:

Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I[2;-1]

Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cách giải:

6. Các dạng bài tập khác

Bài 1:Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Lời giải:

+ Gọi I là trung điểm của AH

+ Có HF vuông góc với AF [giả thiết] suy ra tam giác AFH vuông tại F

I là trung điểm của cạnh huyền AH

Suy ra IA = IF = IH [1]

+ Có HE vuông góc với AE [giả thiết] suy ra tam giác AEH vuông tại E

I là trung điểm của cạnh huyền AH

Suy ra IA = IE = IH [2]

+ Từ [1] và [2] suy ra IA = IF = IH = IE

Hay I cách đều bốn đỉnh A, E, H, F

Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn có tâm I là trung điểm của AH

Bài 2:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn [O]. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn [O] lần lượt tại M, N, P

a, Chứng minh tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

c, Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Lời giải:

Suy ra tứ giác FECB nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm của BC

+ Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE

Mà BE và CF cắt nhau tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

• Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác [ta còn nói: tam giác nội tiếp đường tròn]

Khi đó, nối tâm O của đường tròn với ba đỉnh của tam giác ABC ta có: OA = OB = OC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• Tính chất:

- Mỗi tam giác có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

- Trong tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác trùng nhau.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 3cm, BC = 4cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại B có:

Gọi D là trung điểm AC

Tam giác ABC vuông tại B có BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

Suy ra, D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm D của cạnh huyền và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R = AD = 2,5cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

Hướng dẫn:

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB và AD giao với CE tại O

Vì tam giác ABC đều nên đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác.

Suy ra, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tam giác ABC có CE là đường trung tuyến nên CE cũng là đường cao

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC có:

O là trọng tâm của tam giác ABC nên :

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là

Xem thêm các bài công thức, định nghĩa, định lí quan trọng về hình Tam giác hay và chi tiết khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 6 có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k10: fb.com/groups/hoctap2k10/

Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.