Trong bài viết này, HocThatGioi sẽ hướng dẫn cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng cực hay và chi tiết. Chắc chắn sau bài này, việc chứng minh 4 điểm đồng phẳng đối với các bạn không phải là vấn đề khó khăn nữa. Cùng theo dõi ngay nhé!
Với dạng bài này, thông thường đề sẽ cho 4 điểm và ta sẽ chứng minh xem 4 điểm đó có đồng phẳng hay không. Để chứng minh điều đó, ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa 3 điểm bất kì trong 4 điểm đã cho. Nếu bạn chưa biết cách viết phương trình mặt phẳng thì hãy tham khảo ngay bài viết Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz của HocThatGioi ngay nhé!
Lưu ý: Nếu 3 điểm này thẳng hàng thì ta có thể kết luận luôn là 4 điểm đã cho đồng phẳng
Bước 2: Xét điểm còn lại có thuộc mặt phẳng vừa tìm được ở bước 1 hay không. Giả sử phương trình có dạng Ax+By+Cz+D=0 [với A,B,C,D là các giá trị đã biết], điểm còn lại có tọa độ [x_0, y_0, z_0]. Khi đó, để chứng minh điểm còn lại thuộc mặt phẳng, ta thay lần lượt tọa độ điểm đó vào phương trình mặt phẳng, nếu kết quả là một biểu thức đúng [Ax_0+By_o+Cz_0+D=0] thì điểm đó thuộc vào mặt phẳng và ngược lại.
Bước 3: Kết luận. 4 điểm đã cho đồng phẳng [Hay không đồng phẳng]
Lưu ý: Với 3 điểm bất kì thì 3 điểm đó luôn đồng phẳng.
Tham khảo ví dụ dưới đây:
Xét 4 điểm M[1;1;3],N[−1;2;3],P[−1;1;2], Q[-3,1,1] có đồng phẳng hay không?
Bước 1: Viết phương trình đi qua 3 điểm M,N,P.
Ta có: \vec {MN}=[-2;1;0], \vec {MP}=[-2;0;-1] \Rightarrow [\vec {MN}, \vec {MP}]=[-1;-2;2].
Vậy phương trình mặt phẳng [\alpha] có Vecto pháp tuyến \vec n =[-1;-2;2] và đi qua điểm M[1;1;3]
\Rightarrow [\alpha]: [−1][x–1]–2[y–1]+2[z–3]=0 \Leftrightarrow −x–2y+2z–3=0
Bước 2: Xét điểm Q có thuộc mặt phẳng vừa tìm hay không?
Thay lần lượt các tọa độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng [\alpha]
-x_Q-2y_Q+2z_Q-3=0 \Rightarrow [-1].[-3]-2.1+2.1-3=0 \Rightarrow 0=0 [Đúng] Vậy 4 điểm đã cho đồng phẳng
Nếu bạn đã hiểu rõ phương pháp chứng minh 4 điểm có đồng phẳng hay không mà HocThatGioi vừa giới thiệu ở trên thì hãy làm ngay những bài tập dưới đây để ôn tập lại và nhớ lâu hơn nhé!
Bài 1: Xét 4 điểm A[1;1;3],B[−1;2;3],C[−1;1;2], D[1,-1,1] có đồng phẳng hay không?
Bài 2: Xét 4 điểm E[0;1;-2],F[−3;2;1],G[1;-2;3], H[1,0,-1] có đồng phẳng hay không?
Bài 3: Xét 4 điểm I[1;-1;4],K[2;-2;3],L[−1;1;2], J[-5,1,0] có đồng phẳng hay không?
Bài 4: Xét 4 điểm O[-4;0;2],U[-3;1;2],V[−1;1;2], T[-2,0,-1] có đồng phẳng hay không?
Bài 5: Xét 4 điểm M[1;-1;-4],N[0;-2;3],P[−3;1;-2], Q[-1,1,0] có đồng phẳng hay không?
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Cách chứng minh 4 điểm có đồng phẳng hay không cực hay – bài tập áp dụng. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!
Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian
Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng mình bằng một trong các cách:
| – Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
– Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai các số m. n duy nhất sao cho $\overrightarrow{c}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}$ thì 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Để biểu diễn vectơ $\overrightarrow{x}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng ta tìm được các số m, n, p duy nhất sao cho $\overrightarrow{x}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}+p.\overrightarrow{c}$ |
Bài tập chứng minh các đẳng thức vecto, chứng minh 3 vecto đồng phẳng có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là trung điểm của AB và CD.
a] Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{IJ}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ b] Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\left[ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} \right]$, mặt khác $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{AI}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right]$[tính chất trung điểm]
Do đó $\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
b] Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB} \\ {} \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC} \\ {} \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD} \\ \end{array} \right.$ cộng vế theo vế ta được:
$3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
Mặt khác $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ [do G là trọng tâm tam giác BCD]. Do vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}$
| Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc AD và BC sao cho $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{NB}=-3\overrightarrow{NC}$. Biết $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{b}$.
a] Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{MN}$theo $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ b] Gọi P và Q lần lượt là trun điểm của AD và BC. Chứng minh rằng ba vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng. c] Gọi G là trung điểm của PQ, chứng minh rằng G là trọng tâm tứ diện ABCD. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\left[ 1 \right]$
Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\left[ 2 \right]$
Lấy $\left[ 2 \right]+3.\left[ 1 \right]$ ta được $4\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{DC}$
Do đó $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$
b] Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QN} \\ {} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC}$
Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC} \right]$$\Rightarrow $ba vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.
c] Theo tính chất trung điểm ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GP} \\ {} \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GQ} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\left[ \overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ} \right]$
Mặt khác $\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $ G là trọng tâm tứ diện ABCD.
| Bài tập 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’ B’C' có $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB' và A'C', điểm K thuộc B'C sao cho $\overrightarrow{KC'}=-2\overrightarrow{KB'}$ a] Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{B'C}$; $\overrightarrow{CI}$ và $\overrightarrow{BJ}$ qua 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ b] Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AK}$ theo vectơ $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{AJ}$ từ đó suy ra 3 vectơ $\overrightarrow{AK}$ ,$\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{AJ}$ đồng phẳng. |
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{B'B}$ [theo quy tắc hình bình hành]
Suy ra $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$
Lại có: $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\left[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right]+\frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$
Mặtkhác:
$\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'J}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'C'}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{c}{2}$
b] Ta có: $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{B'K}\left[ 1 \right]$
$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JC'}+\overrightarrow{C'K}\left[ 2 \right]$
Lấy $2.\left[ 1 \right]+\left[ 2 \right]$ ta được:
$3\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+2\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{JC'}+\underbrace{2\overrightarrow{B'K}+\overrightarrow{C'K}}_{0}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{A'J}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AJ}$
Vậy $\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\left[ \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \right]$.
| Bài tập 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Đặt $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}$. Gọi M và N lần lượt là hai điểm nằm trên AC và DC’ sao cho MN//BD’. Tính tỷ số $\frac{MN}{BD'}$ |
Lời giải chi tiết
Giả sử: $\overrightarrow{MC}=n\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{C'N}=m\overrightarrow{C'D}$
Ta có: $\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$
Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'N}=n\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{C'D}$
$=n.\left[ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} \right]+\overrightarrow{b}+m\left[ \overrightarrow{C'C}+\overline{CD} \right]$
$=n.\left[ \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \right]+\overrightarrow{b}+m\left[ -\overrightarrow{b}+\overline{a} \right]=\left[ m-n \right]\overrightarrow{a}+\left[ 1-m \right]\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$
Khi đó $MN//BD'\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{BD'}$
$\frac{m-n}{1}=\frac{1-m}{1}=\frac{n}{1}=k\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m=\frac{2}{3} \\ {} n=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{MN}{B'D'}=k=\frac{1}{3}$
| Bài tập 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABB'A' và K là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BCC'A. Biểu thị vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow{IK}$ và $\overrightarrow{C'B'}$ từ đó suy ra ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$ đồng phẳng. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{C'B}+\left[ \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right]$
$=-\overrightarrow{C'B'}+\overrightarrow{B'C'}-2\overrightarrow{IK}$ [vì $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IK}$]
Suy ra $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{C'B'}-2\overrightarrow{IK}$
Do đó ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$ đồng phẳng.
| Bài tập 6: Trong không gian cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu có một điểm O trong không gian sao cho $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$, đồng thời , $x+y+z=1$ thì điểm M thuộc mặt phẳng $\left[ ABC \right]$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow \left[ x+y+z \right]\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$
$\Leftrightarrow x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
Nếu $x=0\Rightarrow \Leftrightarrow y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $ M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng
Nếu $x\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-y}{x}\overrightarrow{MB}-\frac{z}{x}\overrightarrow{MC}$$\Rightarrow $ A, B, C, M đồng phẳng.
| Bài tập 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BD}=k\left[ k>0 \right]$. Chứng minh rằng 3 vectơ $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PM}$, $\overrightarrow{PN}$ đồng phẳng |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left[ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} \right]+\left[ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BP} \right] \right]$
$=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\left[ \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP} \right] \right]=\frac{1}{2}\frac{\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}}{k}$
Lại có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM} \\ {} \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PN} \\ \end{array} \right.$ nên $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left[ \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right]$
[Do $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$]
Do đó $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left[ \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right]$$\Rightarrow $ M, N, P, Q đồng phẳng