Chứng minh hai đường thẳng song song là một dạng toán hay trong chương trình lớp 9. Để chứng minh hai đường thẳng song song chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp, Top lời giải xin gửi đến các bạn những phương pháp hay nhất dễ dùng nhất:
1. Các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song
Để chứng minh hai đường thẳng song song trong chương trình Toán lớp 9 chúng ta có thể sử dụng các cách dưới đây.
- Cách 1:Xét vị trí các cặp góc tạo bởi hai đường thẳng định chứng minh song song với một đường thẳng thứ ba [so le, đồng vị…]
- Cách 2:Sử dụng tính chất của hình bình hành.
- Cách 3:Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
- Cách 4:Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, hình bình hành.
- Cách 5:Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song.
- Cách 6:Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy ra các đường thẳng song song tương ứng.
- Cách 7:Sử dụng tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên hay đi qua trung điểm của hai đường chéo của hình thang.
- Cách 8:Sử dụng tính chất hai cung bằng nhau của một đường tròn.
- Cách 9:Sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
2. Một số bài tập có lời giải
Bài 1:Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn [M, N là các tiếp điểm]. Vẽ đường kính NOC.
Chứng minh rằng AO.
* Cách 1[Chứng minh nó cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3]
Ta có: AM, AN là các tiếp tuyến của đường tròn [O] => AO vuông góc MN [1]
Mặt khác:∠NMC = 90º [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Từ [1] và [2] => AO // MC
* Cách 2[Sử dụng tính chất đường trung bình]
Gọi:
Vì AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn [O]
+H là trung điểm của MN
+ MH = HN
Lại có: CO = ON
+HO là đường trung bình của tam giác MNC.
+HO // MC
+AO // MC
Bài 2:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O]. Các đường phân giác trong của các góc B , C lần lượt cắt đường tròn tại E và F. Dây cung EF cắt AC, AB lần lượt tại H và I. Gọi K là giao của FC và EB. C/m IK//AC
Hướng dẫn:
+] C/m tứ giác FIKB nội tiếp
+] C/m góc IKF bằng góc ACF[ Vì cùng bằng góc ABF]
Bài 3:Cho đường tròn đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A. Vẽ tia Ax vuông góc với BC, lấy P thuộc tai Ax. Giao của PB, PC với đường tròn lần lượt là M, N. Giao của AN với đường tròn là E
a] Chứng minh bốn điểm A, B, N ,P cùng thuộc một đường tròn.
b] Chứng minh AP//EM
Hướng dẫn:Câu b
+] C/m bốn điểm A, B, N ,P cùng thuộc một đường tròn.
+] Góc APB bằng góc ANB [1]
+] Vì bốn điểm A, B, N ,P cùng thuộc một đường tròn => góc ANB bằng góc BME [2]
+] Từ [1] và [2] suy ra góc APB bằng góc BME => AP//ME
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Để chứng ming hai đường thẳng song song trong không gian có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng [như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …]
2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
4. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn mệnh đề đúng.
A. IJ // CD
B. IJ // AB
C. IJ và CD chéo nhau
D. IJ cắt AB
Lời giải
+ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD
⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD [1]
+ Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD
⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3
⇒ IJ // MN [định lí Ta-let đảo] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: IJ // CD
Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Hai đường thẳng nào sau đây song song với nhau.
A. MP và RT
B. MQ và RT
C. MN và RT
D. PQ và RT
Quảng cáo
Lời giải
+ Ta có: M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD
⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD [1]
+ Ta có: R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD
⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD [2]
+ Từ [1] và [ 2] suy ra: MQ // RT
Chọn B
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Tìm đường thẳng không song song với IJ trong các đường thẳng sau:
A. EF B. DC C. AD D. AB
Lời giải
+ Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình
⇒ IJ // AB [tính chất đường trung bình trong tam giác] [1]
+ Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình
⇒ EF // CD [2]
+ Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD [3]
Từ[ 1]; [2] và [3] suy ra: IJ // AB // CD // EF
Chọn C
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M; N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. Hai điểm P và Q cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ
A. MP // NQ
B. MP ≡ NQ
C. MP cắt NQ
D. MP và NQ chéo nhau
Lời giải
+ Xét mặt phẳng [ABP]:
Ta có: M và N thuộc AB nên M; N thuộc mặt phẳng [ABP]
+ Mặt khác: CD ∩ [ABP] = P Và : Q ∈ CD
⇒ Q không thuộc mp [ABP]
⇒ 4 điểm M; N; P và Q không đồng phẳng. [chú ý 3 điểm A; M; N cùng thuộc mp [ABP]
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB. Tìm mệnh đề sai?
A. AB // IJ
B. CD // IJ
C. IJCD là hình thang
D. IJ và CD chéo nhau
Quảng cáo
Lời giải
+ Vì I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒ IJ // AB [1]
+ Lại có: AB // CD [2]
+ Từ [1] và [2] suy ra: IJ // CD
⇒ Tứ giác IJCD là hình thang.
Chọn D
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB; AC sao cho : AM/AB = AN/AC; Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BD; CD. Tìm mệnh đề sai?
A. MN // BC
B. IJ // BC
C. Điều kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành là M; N là trung điểm của AB; AC
D. MN và IJ chéo nhau
Lời giải
+ Ta có: AM/AB = AN/AC, từ đó suy ra: MN // BC [Định lý Ta-lét đảo]
+ Vì I và J lần lượt là trung điểm của BD và CD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD
⇒ IJ // BC [2]
+ Từ [1] và [2] suy ra MN // IJ. Vậy tứ giác MNJI là hình thang
+ Để MNJI là hình bình hành thì IJ = MN
Lại có: IJ = [1/2]BC [ tính chất đường trung bình]
⇒ Để MNJI là hình bình hành thì MN = [1/2]BC
⇒ MN là đường trung bình của tam giác
⇒ M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC
Chọn D
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là tâm của hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB. Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt SC tại N. Tìm mệnh đề sai.
A. MN // BC B. MN // AD C. NO // SA D.NO // SD
Lời giải
+ Xét mp[SBC] có:
⇒ N là trung điểm của SC [định lí]
+ Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của SB; SC nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.
⇒ MN // BC // AD nên A và B đúng
+ Xét mp[ SAC] có N và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên NO là đường trung bình của tam giác SAC.
⇒ NO // SA nên C đúng
⇒ D sai
Chọn D.
Ví dụ 8: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là điểm thuộc SB sao cho SN = [1/4]SB; gọi M là điểm trên cạnh SD sao cho SM = [1/3]MD. Tìm đường thẳng song song với BD?
A. MA B. MN C. NC D. NS
Lời giải
Trong mp [SBD], ta có: SN = [1/4]SB nên SN/SB = 1/4
+ Do SM = [1/3]MD nên SM = [1/4]SD
⇒ SM/SD = SN/SB = 1/4
⇒ MN // BD [định lí ta-let đảo].
Chọn B
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Gọi A’; B’; C’; D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB; SC và SD. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với A’B’ ?
A. AB B. CD C. C’D’ D. SC
Chọn D
+ Do A’ và B’ là trung điểm của SA; SB
⇒ A’B’ là đường trung bình của tam giác SAB.
⇒ A’B’// AB [1] .
+ Tương tự; C’D’ // CD [2]
+ Lại có: ABCD là hình bình hành nên AB // CD [3]
Từ [1]; [2] và [3] suy ra: A’B’ // AB // CD // C’D’
⇒ D sai
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và [ADN] , I là giao điểm của AN và DP. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. SI song song với CD
B. SI chéo với CD
C. SI cắt vớ CD
D. SI trùng với CD
Chọn A
+ Trong [ABCD] gọi E = AD ∩ BC, trong [SCD] gọi P = SC ∩ EN
Ta có E ∈ AD ⊂ [ADN] ⇒ EN ⊂ [AND] ⇒ P ∈ [AND]
Vậy P = SC ∩ [ADN]
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a và BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng [ADJ] cắt SB; SC lần lượt tại M; N. Mặt phẳng [BCI] cắt SA; SD tại P; Q. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MN song song với PQ
B. MN chéo vớI PQ
C. MN cắt vớI PQ
D. MN trùng với PQ
Chọn A
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a và BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng [ADJ] cắt SB; SC lần lượt tại M; N. Mặt phẳng [BCI] cắt SA; SD tại P; Q. Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Tính EF theo A; B.
Chọn D
Trước tiên ta chứng minh EF song song với MN Và PQ
Câu 5: Cho tứ diện ABCD; M, N, P,Q lần lượt là trung điểm AC; BC; BD; AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.
A. AB = BC B. BC = AD C. AC = BD D. AB = CD
Chọn D
+ Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AC; CB
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ACB
⇒ MN // AB
+ Tương tự; PQ // AB; MQ // CD và NP // CD
Suy ra: MN song song với PQ vì cùng song song với AB
MQ song song với PN vì cùng song song với CD
⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.
+ Tứ giác MNPQ là hình thoi khi : MQ = PQ ⇔ AB = CD
Câu 6: Cho hình chóp A.BCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABC. Tìm mệnh đề đúng?
A. MN và G1G2 chéo nhau
B. G1G2 // MN
C. MN cắt G1G2
D. G2M và G1N chéo nhau
+ Xét tam giác AMN ta có:
⇒ MN // G1G2
Do đó; 2 đường thẳng MN và G1G2 đồng phẳng và 2 đường thẳng G2M, G1N sẽ cắt nhau.
Chọn B
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Gọi G1; G2 lần lượt là trọng tâm tam giác SOD và SOB. Tìm đường thẳng song song với G1G2?
A. SH B.Sk C. HK D. KC
+ Gọi H là trung điểm của OD và K là trung điểm của OB.
+ Do G1 là trọng tâm tam giác SOD nên: [SG1]/SH = 2/3
+ DO G2 là trọng tâm tam giác SOB nên: [SG2]/SK = 2/3
+ Trong mp[SG1G2] ta có: [SG1]/SH = [SG2]/SK = 2/3
⇒ G1G2 // HK [định lí Ta- let]
Chọn C
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có M; N lần lượt thuộc AB; DB sao cho MN // AD. Gọi I là trung điểm BC. Gọi HK là giao tuyến của mp[CNM] và mp[AID]. Tìm mệnh đề đúng?
A. HK // AD
B. HK // MI
C. K là trọng tâm tam giác ABC
D. Tất cả sai
+ Xét hai mp[CNM] và mp[AID] có:
⇒ HK // AD // MN [hệ quả]
+ Do M là điểm bất kì trên cạnh AB nên chưa chắc K là trọng tâm tam giác ABC
⇒ A đúng
Chọn A
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian-quan-he-song-song.jsp