-->
www.boxtailieu.netTrần Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóawww.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất2I. TỔ HP§1. Hai qui tắc đếm cơ bảnA. Tóm tắt giáo khoa1. Qui tắc cộng :Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo môt trong k phương án A2 , A2 , . .. ,Ak .Phương án A1 có thể thực hiện bởi n1 cách,phương án A2 có thể thực hiện bởin2 cách , . . . , phương án Ak có thể thực hiện bởi nk cách .Khi đó công việc có thểthực hiện bởi n1 + n2 + . . . + nk cáchnet2. Qui tắc nhânu.Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 , A2 , . . .,Ak .Côngđoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách ,công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2cách , . . . ,công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách .Khi đó công việc cóthể thực hiện theo n1.n2. . .nk cáchilieB.Giải toántaDạng 1 :Đếm số phần tử của tập hợp sử dụng qui tắc cộngoxVí dụ 1 : Trên kệ sách có 12 quyển sách tham khảo Toán 11 và 6 quyển sách thamkhảo Lý 11.Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn một trong hai loại sách nói trênwww.bGiảiHọc sinh có hai phương án chọn .Phương án 1 là chọn một quyển sách Toán 11,phươngán này có 12 cách chọnPhương án 2 là chọn một quyển sách Lý 11,phương án này có 6 cách chọnVậy học sinh có : 12 + 6 cách chọn một trong hai lại sách nói trên.Ví du 2 : Cho tập hợp E = {a, b, c} .Có bao nhiêu cách chọn một tập hơp con khác rrỗng của E.GiảiPhương án 1 : có 3 cách chọn một tập con của E gồm một phần tửPhương án 2 : có 3 cách chọn một tập con của E gồm 2 phần tửPhương án 3 : có một cách chọn một tập con của E gồm 3 phần tửVậy có 3 + 3 + 1 = 7 tập con khác rỗng của tập Ewww.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất3Dạng 2 :Đếm số phần tử của tập hợp sử dụng qui tắc nhânVí dụ 3 : Một lớp học có 40 học sinh.Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban điềuhành lớp gồm một lớp trưởng,một lớp phó và một thủ quỹ.Hỏi có bao nhiêu cách chọnbiết rằng mỗi học sinh đều có thể làm một nhiệm vụnetGiảiCó 40 cách chọn một lớp trưởngSau khi chọn xong lớp trưởng có 39 cách chọn một lớp phóSau khi chọn xong một lớp trưởng và một lớp phó ,có 38 cách chọn một thủ quỹVậy có tất cả 40.39.38 = 58.280 cách chọn ban điều hành lớpilieu.Ví dụ 4 : Từ trường Lê Hồng Phong đến trường Nguyễn Thò Minh Khai có 4 conđường đi và từ trường Nguyễn Thò Minh Khai đến trường Lê Q Đôn có 3 conđường đi.Hỏi có bao nhiêu cách đi của một học sinh trường Lê Hồng Phong muốnđến rủ một học sinh của trường Nguyễn Thò Minh Khai cùng đến trường THPT LêQ Đôn tham dự lễ hội?.boxtaGiảiCó 4 con đường đi từ trường Lê Hồng Phong đến trường Nguyễn Thò Minh Khai và có3 con đường đi từ trường Nguyễn Thò Minh Khai đến đường Lê Q Đôn ,như vậy có2.3 = 12 cách đi từ trường Lê Hồng Phong đến trường Lê Q Đôn qua ngõ trườngNguyễn Thò Minh KhaiwVí dụ 5 : Cho tập hợp E = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} .Từ các phần tử của E có thể lập đượcwGiảiwbao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau:Gọi số đó là x = a1a2 a3 a4x là số chẵn nên có 4 cách chọn số a4 ∈ { 2,4,6,8}Vì các số khác nhau nên có 8 cách chọn số a3 , có 7 cách chọn số a2 và có 6 cách chọnsố a1Vậy theo qui tắc nhân thì có 2.8.2.6 = 1344 số tự nhiên được thành lậpC. Bài tập rèn luyện :2.1 .Từ TP.Hố Chí Minh đi đến TP. Nha Trang có thể đi bằng ô tô , tàu hỏa , hay tàuthủy .Mỗi ngày có 6 chuyến ô tô, có 4 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến tàu thủy.Hỏi có baonhiêu sự lựa chọn để đi từ TP.Hồ Chí Minh đến Nha Trang?www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất42..2. Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ .a] Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh nam hay nữ dự trại hè củatrường.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?b] Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh nam và một họcsinh nữ dựlễ hội của trường bạn .Có bao nhiêu các chọn?2..3. Cho tập hợp E = {2, 4, 6} Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhaucó những chữ số khác nhau chọn từ các phần tử của E.net2.4. Trong cuộc thi vấn đáp về môn sử , giám khảo soạn 10 câu hỏi về sử Việt Nam, 6câu hỏi về sử thế giới .Mỗi thí sinh rút thăm một câuhỏi .Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêukhả năng chọn một câu hỏi?u.2.5. Có tất cả bao nhiêu số lẻ nhỏ hơn 80?.boxtailie2.6 Giả sử có 2 đường nối từ tỉnh A đến tỉnh B và có 3 đường nối từ tỉnh B đến tỉnhC.Chúng ta muốn đi từ tỉnh A sang tỉnh C qua ngã tỉnh B và trở về theo ngã đó .Có tấtcả mấy hành trình đi về nếu :a] phải dùng cùng một đường để đi và vềb] dùng đường nào cũng được để đi và vềc] phải dùng những đường khác nhau làm đường đi và đường về trên cả haichặn A – B và B – C ?ww2.7. Có tất cả mấy số có thể thành lập được với các chữ số : 2.2.6.8 nếu :a] số đó lớn hơn 200 và nhỏ hơn 600b] số đó có 3 chữ số khác nhauw2.8. Biển số xe máy , nếu không kể mã số vùng , gồm có 6 kí tự .Trong đó kí tự ở vò tríthứ nhất là một chữ cái [trong bảng 24 chữ cái],ở vò trí thứ hai là một chữ số thuộc tậphợp {1.2.3.4.5.6.7.8.9} ,ở bốn vò trí kế tiếp là bốn chữ số chọn trong tập hợp{0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} Hỏi nếu không kể mã số vùng thì có thể làm được bao nhiêubiển số xe máy khác nhau?2.9. Có bao nhiêu số tự nhiên :a] có 4 chữ số mà cả 4 chữ số là số lẻ ?b] có 5 chữ số mà các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất52.10. Người ta ghi nhãn các chiếc ghế ngồi trong một rạp hát bằng hai ký tự :ký tự ở vòtrí đầu tiên là một chữ cái [ trong bảng 24 chữ cái] và ký tự ở vò trí thứ hai là một sốnguyên dương 1,2 , . . . , 30. Hỏi có tất cả bao nhiêu chiếc ghế đïc ghi nhãn khácnhau trong rạp hát?D. Hướng dẫn – Đáp số2.1 Theo qui tắc cộng ta có : 6 + 4 + 3 = 13 sự lựa chọnilieu.2.3 Có 3 số tự nhiên khác nhau có một chữ sốCó 6 số tự nhiên khác nhau có hai chữ số khác nhauCó 6 số tự nhiên khác nhau có ba chữ số khác nhauVậy có tất cả 3 + 6 + 6 = 15 số tự nhiênnet2.2 Lớp học có 20 nam và 15 nữa] Nếu chọn một nam hay một nữ thì theo qui tắc cộng có 20 + 15 = 35 cách chọnb] Nếu chọn một nam và một nữ thì theo qui tắc nhân có 20.15 = 300 cách chọnta2.4.Thí sinh có 10 cách chọn một câu hỏi Sử Việt Nam hay 6 cách chọn một câu hỏi SửThế giới .Vậy có 10 + 6 = 16 cách chọn một câu hỏi.ox2.5. Số phải tìm có một chữ số : 5 số [ chọn một trong 5 số lẻ 1.2.2.2.9]Số phải tìm có hai chữ số x = a1a2 . Vì x là số lẻ nên có 5 cách chọn cho chữ số a2 , xw.bnhỏ hơn 80 nên có 7 cách chọn cho chữ số a1 [ chọn trong các số 1,2,3,4,5,6,7] .Do đócó 2.7 = 35 cách chọn số lẻ có hai chữ sốVậy có 5 + 35 = 40 số lẻ nhỏ hơn 80.ww2.6. Có 2 con đường đi từ A đến B và 3 con đường đi từ B đến C , do đó theo qui tắcnhân có 2.3 = 6 hành trình đi từ A đến C qua ngã Ba] nếu dùng cùng một đường để đi và về thì có 6 cách chọnb] nếu dùng đường nào cũng được để đi và về thì có 6. 6 = 36 hành trìnhc] nếu dùng những đường khác nhau làm đường đi và đường về trên cả hai chặn A – Bvà B - Cthì có 6.2 = 12 hành trình đi và về vì có 6 cách chọn đường đi nhưngđường về chỉ có 2 cách chọn đường về từ C – B và một cách chọn đường về B – A.2.7. a] Số tự nhiên lớn hơn 200 và nhỏ hơn 600 có ba chữ số a1a2 a3Vì chỉ được chọn trong các số 2. .4 .6 .8 nên có hai cách chọn a1 là số 2 và 4 và các chữsố không khác nhau nên có 4 cách chọn a2 và 4 cách chọn a3Vậy có tất cả 2.2.4 = 32 số lớn hơn 200 và nhỏ hơn 600www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất6b] Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau a1a2 a3 nên có 4 cách chọn a1 , 3 cách chọn a2và 2 cách chọn a3 .Vậy có 2.2.2 = 24 số gồm ba chữ số khác nhauBảng chữ số xe máy không kể mã vùng hiện nay có dạng F 5 – 6202• Có 24 cách chọn một chữ cái ở vò trí đầu• Có 9 cách chọn một chữ số cho vò trí thứ hai [không có số 0]• Có 10 cách chọn một chữ số cho mỗi vò trí trong bốn vò trí còn lại [cósố 0]Vậy theo qui tắc nhân có : 22.9.10.10.10.10 = 2 160 000 biển số xe2.9 a] Có 5 chữ số lẻ là 1, 3 , 5 , 7 , 9 .Số phải tìm gồm 4 chữ số a1a2 a3 a4netCác chữ số không khác nhau nên mỗi chữ số ai có 5 cách chọn một trong 5 số lẻ .Vậytheo qui tắc nhân có : 2.2.2.5 = 625 số phải tìmb] Số phải tìm gồm 5 chữ số a1a2 a3 a4 a5 với a1 ≠ 0 và theo yêu cầu bài toán thì a1 = a5ilieu.; a2 = a4 .Như vậy có 9 cách chọn chữ số a1 và a5 ; có 10 cách chọn a2 và a4 và có 10cách chọn số chính giữa a3 .Vậy theo qui tắc nhân có : 9.10.10 = 900 số phải tìm.ta2.10 Nhãn của ghế có dạng A12 chẳng hạnCó 24 cách chọn một chữ trong 24 chữ cáiCó 30 cách chọn một số nguyên dương trong tập hợp {1, 2,...,30}oxVậy theo qui tắc nhân có : 22.30 = 720 nhãn.b§ 2. HOÁN VỊ , CHỈNH HP VÀ TỔ HPwwwA.Tóm tắt giáo khoa :Hoán vò :Đònh nghóa : Cho tập hợp A có n phần tử . Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ,tađược một hoán vò các phần tử của tập AVí dụ : Cho tập hợp A = {a, b, c} .Các hoán vò của A là các bộ ba thứ tự [a,b,c] ; [a, c,b] ; [b.a.c] ; [b.c.a] ; [c,a,b] ; [c.b.a]b] Số các hoán vò : Cho số nguyên dương n .Số các hoán vò của một tập hợp có n phầntử là : Pn = n[n – 1][n – 2]. . . 2.1 = n! [1]Ví dụ : Số hoán vò của tập hợp A = {a, b, c} gồm 3 phần tử là3! = 1.2.3 = 6Chỉnh hợp :Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với1 ≤ k ≤ n. . Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được mộtchỉnh hởp chập k của n phần tử của A [gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A]www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất7Ví dụ : Cho tập hợp A = {a, b, c} .Các chỉnh hợp chập 2 của A là :[a,b] ; [b,a] ; [a,c] ; [c,a] ; [b,c] ; [c.b]b] Số các chỉnh hợp : Cho các số nguyên n và k với 1 ≤ k ≤ n.Số các chỉnh hợp chập kcủa một tập hợp có n phần tử là :A kn = n[n – 1][n – 2]. . .[n – k +1] [2]Ví dụ : Một lớp học có 40 học sinh.Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh làmlớp trưởng , một học sinh làm lớp phó và một học sinh làm thủ quỹ.Hỏi có bao nhiêucách chọn?netGiải: Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 3 học sinh trong số 40 học sinh làm 3 chức vụphân biệt [có thứ tự] .Vậy có tất cả :3A40= 40.39.38 = 59 280 cách chọn khác nhaun![3][n − k ]!iliek2/ Công thức [2] có thể viết dưới dạng An =u.Ghi chú :1/ Theo đònh nghóa ta thấy một hoán vò của tập hợp n phần tử là một chỉnhhợp chập n của tập hợp đó Ann = n!w.boxtavới qui ước 0! = 1Tổ hợp :a] Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tửcủa A [ gọi tắt là một tổ hợp chập k của A]Như vậy một tổ hợp chập k của A là một cách chọn k phần tử của A [không quan tâmđến thứ tự]Ví dụ : Cho tập hợp A = {a, b, c} .Các tổ hợp chập 2 của A là :w{a, b} ; {a, c} ; {b, c}wb] Số các tổ hợp : Cho các số nguyên n và k với 1 ≤ k ≤ n. Số các tổ hợp chập k củamột tập hợp có n phần tử là :Ank n[n − 1][n − 2]...[n − k + 1]=C =[4]k!k!Ghi chú : Với 1 ≤ k ≤ n ta có thể viết công thức [4] dưới dạng :n!Cnk =[5] với qui ước Cn0 = 1k ![n − k ]!knc] H ai công thức cơ bản về tổ hợpCnk = Cnn − kvới mọi số nguyên n và k thỏa 0 ≤ k ≤ nwww.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất8Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 với mọi số nguyên n và k thỏa 1 ≤ k ≤ nVí dụ : Trong mặt phẳng cho 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hànga] Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nối liền các điểm đó?b] Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh là các điểm đó?Giảia] Một đoạn thẳng nối liền 2 điểm chọn trong 5 điểm choVậy có C52 =5.4= 10 đoạn thẳng2!b] Một tam giác được tạo ra bởi 3 điểm chọn trong 5 điểm đã cho.net5.4.3= 10 tam giác3!u.Vậy có : C53 =ilieB. Giải toán :Dạng 1 : Bài toán sắp xếp các phần tử theo thứ tự : dùng chỉnh hợp hay hoán vòoxtaVí dụ 1 : Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 họcsinh đó vào một ghế dài sao cho :a] Học sinh nam phải ngồi liền nhau vàb] Nhóm 4 học sinh nữ ngồi chính giữaww.bGiảia] Bảy học sinh nam ngồi liền nhau xem như một vò trí x nên ta sắp xếp x và 4 nữ làmột hoán vò 5 phần tử : có 5! cáchSau đó sắp xếp 7 nam sinh trong vò trí x là một hoán vò 7 phần tử : có 7! cách .Vậy theoqui tắc nhân có 5!.7! = 604800wb] Bốn học sinh nữ ngồi chính giữa nên chiếm một vò trí y cố đònh nên sắp 7 học sinhtrên 7 chỗ : có 7! cáchSau đó hoán vò 4 nữ sinh trong vò trí y : có 4! cáchVậy có 4!.7! = 120960 cáchVí dụ 2 : Có bao nhiêu cách xếp 6 người vào 6 ghế xếp theo bàn tròn nếu không cósự khác biệt giữa các ghế này?Giảiwww.boxtailieu.netTổ hợp và xác suấtB9ACADFBFECEDHình dưới đây cho ta thấy hai lốixếp đặt giống hệt nhau,mặc dầuA thật sự ngồi ở ghế khác.Nhưvậy trong việc ngồi xung quanhbàn tròn ,có một người ngồi tự dovà 5 người còn lại chia nhau ngồi5 ghế còn lại.Vậy có tất cả 5! = 120 cách xếp 6 người ngồi vào 6 ghế của bàn tròn.netVí dụ 3 : Có thể thành lập bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhác nhau và trong đónhất thiết phải có chữ số 8 ?u.GiảiXét tập hợp các số tự nhiên E = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} và số gồm 5 chữ số :iliea1a2 a3a4 a5x=Dạng a1 = 8 thì có m1 = A94 = 9.8.2.6 = 3024 số•Dạng a1 ≠ 0 và 8 thì* có 8 cách chọn a1 ∈ {1, 2,3, 4,5, 6, 7,9}ta•ox* có 4 cách chọn một trong bốn chữ số a2 , a3 , a4 , a5 bằng 8* lập 3 chữ số còn lại trong tập hợp E \ {a1 ,8} : có A83 = 8.2.6 = 336ww.bDo đó có m2 = 8.2.336 = 10 752 số dạng nàyVậy số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 8 là :m1 + m2 = 3024 + 10752 = 13776 sốwVí dụ 4 : Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau,mỗi dãy gồm 6 ghế. Người tamuốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường Lê Hồng Phong và 6 học sinh trường TrầnĐại Nghóa vào bàn nói trên.hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau :a] Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trườngvới nhau.b] Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.GiảiBước 1 : xếp chỗ cho hai nhóm học sinh ngồi cạnh nhau hoặc đối diện thì khác trườngvới nhau thì có hai cách : [ P là học sinh Lê Hồng Phong và N là học sinh Trần ĐạiNghóa]PNPNPNNPNPNPNPNPNPPNPNPNwww.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất10Bước 2 : Trong nhóm học sinh P có 6! cách sắp xếp 6 em vào 6 chỗ ngồiTrong nhóm học sinh N có 6! cách sắp xếp 6 em vào 6 chỗ ngồiVậy có 2 . 6! . 6! = 1 036 800 cáchnetb] Học sinh thứ nhất trường P có 12 cách chọn ghế ngồi trướcSau đó chọn một trong 6 học sinh trường N ngồi đối diện với học sinh trường P thứ nhất: có 6 cách chọnHọc sinh thứ hai của trường P còn 10 chỗ để ngồi : có 10 cách chọn chỗ ngồi cho họcsinh thứ hai trường P . Chọn một trong 5 học sinh còn lại của trường N ngồi đối diệnvới học sinh thứ hai của trường P : có 5 cáchTiếp tục như cách trên ta có :12 × 6 × 10 × 5 × 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 1 × 1 = 33 177 600 cáchSố gồm 3 chữ số khác nhau thành lập từ các chữ số của E mà số 0 đứng ở vò tríhàng trăm là A52 = 20ta•Số gồm 3 chữ số khác nhau thành lập từ các chữ số của E kể cả số 0 ở vò tríhàng trăm là : A 36 = 120oxGiải•iliechử số khác nhau và không chia hết cho 3u.Ví dụ 5 : Cho tập hợp số : E = {0,1, 2,3, 4,5} .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 3Số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số chia hết cho 3 .Như vậy trong tập E cáctập con các chữ số sau đây có tổng chia hết cho 3 : {0,1,2} ; {0,2,4} ; {0 ,4 ,5}; {0,1,5 ; {1,2,3} ; {2,3,4} ; {1,3,5} .Do đó có 2.3! – 2.2! = 36 số chia hết cho 3Vậy có tất cả : 120 – 20 – 36 = 64 số phải tìmww.b•Ví dụ 6 : Cho tập hợp A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}wa] Có bao nhiêu tập con X của tập A thỏa mãn điều kiện X chứa 1 và không chứa 9 ?b] Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chũ số đôi một khác nhau lấy từ tập A màkhông bắt đâu bởi 135 ?Giảia] Xét tập hợp B = {2,3, 4,5, 6, 7,8} .Vì tập X không chứa 9 nên X\ {1} là tập con của B.Như vậy mỗi tập con của B hợp với {1} thì được tập X là tập con của A chứa 1 vàkhông chứa 9 .Vậy số tập con X thỏa mãn điều kiện bài toán là 27 = 128www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất11b] Xét số x = a1a2 a3 a4 a5 gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ A .Vì x là số chẵn nên có 4cách chọn chữ số a5 ∈ {2, 4, 6,8} .Sau khi chọn a5 thì còn lại 8 chữ số của A để chọncác số còn lại nên có A 84 = 8.2.6.5 = 1680Do đó có 4 × 1680 = 6720 số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau .Mặt khác số x bắt đầu bởi 135 gồm có 5 × 4 = 20 sốVậy số các số x thỏa mãn bài toán là 1680 – 20 = 1660Dạng 2 : Bài toán chọn các phần tử không phân biệt thứ tự :dùng tổ hợpVí dụ 7 : a] Có tất cả bao nhiêu đường chéo trong một tứ giác lồi n cạnh?netb] Đa giác lồi nào có số cạnh và số đường chéo bằng nhau?n[n − 1]đoạn thẳng nối liền2u.Giảia] Đa giác lồi n cạnh gồm có n đỉnh.Do đó có tất cả Cn2 =n[n − 1]n[n − 3]−n =22taVậy số đường chéo làiliecác đỉnh này.Các đoạn thẳng này gồm các cạnh và các đường chéooxb] Số cạnh và số đường chéo bằng nhau khi :n[n − 3]=n2.bDo đó n[n – 3] = 2n hay n – 3 = 2 [ vì n > 0 ]Vậy n = 5 .Suy ra ngủ giác lồi có số cạnh và số đường chéo bằng nhauwwVí dụ 8 : Một nhóm giáo viên gồm có 16 người trong đó có 2 cặp vợ chồng. Hiệutrưởng muốn chọn 8 giáo viên vào hội đồng giáo dục nhà trường.Hỏi có bao nhiêucách chọn nếu hội đồng này phải có một cặp vợ chồng ?wGiảiCó 2 cách chọn một cặp vợ chồng và số giáo viên còn lại ngoài 2 cặp vợ chồng là12,hiệu trưởng phải chọn 6 giáo viên trong 12 người này .Có tất cả C126 = 924 cách chọnVậy có tất cả 2 . 924 = 1848 cách chọn thành viên của hội đồng.Ví dụ 9 : Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 10 học sinh thành 3 nhóm, một nhóm gồm 5học sinhlàm công tác xã hội,một nhóm gồm 3 học sinh làm vệ sinh và một nhóm gồm2 học sinh giữ trật tự. Hỏi có mấy cách chia?www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất12GiảiChọn 5 học sinh trong 10 học sinh có C105 = 252Khi chọn xong nhóm thứ nhất ,giáo viên chọn 3 học sinh trong 5 học sinh còn lại nêncó C53 = 10 cách chọnKhi chọn xong hai nhóm này thì còn lại 2 học sinh cho nhóm thứ baVậy có tất cả 252 . 10 = 2520 cách chọn.GiảiChọn 6 học sinh trong 14 học sinh thì có C146 cách chọnnetVí dụ 10 : Từ một nhóm học sinh gồm 8 nam và 6 nữ ,giáo viên muốn chọn một tổcông tác gồm 6 học sinh.Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng tổ công tác phải cónam và nữu.Số cách chọn 6 học sinh nam trong 8 học sinh nam là C86ilieSố cách chọn 6 học sinh nữ trong 6 học sinh nữ là 1Vậy số cách chọn tổ công tác gồm 6 học sinh phải có nam và nữ là :C146 - C86 - 1 = 3003 – 28 – 1 = 2974 cách chọntaDạng 3 : Phương trình , bất phương trình chứa Pn , Ank ; Cnkoxp dụng công thức chỉnh hợp và tổ hợp Ank ; Cnk cần chú ý n , k ∈ N và k ≤ n đểchọn nghiệm.bVí dụ 11 : Giải phương trình : Px . A 2x + 72 = 6[A 2x + 2Px ], trong đó Px là số hoán vòwwcủa x phần tử và A 2x là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tửwGiảiTa có Px = x! và A 2x = x[x – 1] .Do đóPx . A 2x + 72 = 6[A 2x + 2Px ] ⇔ x!.x[x – 1] + 72 = 6 [x[x – 1] + 2x!] với x ≥ 2 và xnguyên dương⇔ x![x[x – 1] – 12]= 6x2 – 6x + 72 ⇔ x![x2 – x – 12] = 6[x2 – x – 12] = 0 ⇔ [x2 – x⎡ x 2 − x − 12 = 0⎡ x = 4 hay x = −3[loai ]⇔ ⎢– 12][x! – 6 ] = 0 ⇔ ⎢x=3x! = 6⎣⎣Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 và x = 4www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất13Ví dụ 12 : Giải phương trình : Cx2+1 + 2Cx2+ 2 + 2Cx2+ 3 + Cx2+ 4 = 149[x là số nguyên dương , Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử]GiảiTa có : Cx2+1 + 2Cx2+ 2 + 2Cx2+3 + Cx2+ 4 = 149 với x là số nguyên dương .⇔[ x + 1] x 2[ x + 2][ x + 1] 2[ x + 3][ x + 2] [ x + 4][ x + 3]+++= 1492!2!2!2!⇔ x2 + x + 2[x2 + 3x + 2] + 2[x2 + 5x + 6] + x2 + 7x + 12 = 298⇔ 6x2 + 24x - 270 = 0 ⇔ x2 + 4x – 45 = 0 ⇔ x = 5 hay x = -9 [loại]⎧2 Axy + 5Cxy = 90yy⎩5 Ax − 2Cx = 80u.Ví dụ 13 : Giải hệ phương trình : ⎨netVậy nghiệm của phương trình là x = 5ilie[ trong đó Ank và Cnk lần lượt là số tổ hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử]Giảix!x!và Cxy =với x , y là số nguyên dương và x ≥ y[ x − y ]!y ![ x − y ]!⎧ x!yyy⎪ [ x − y ]! = 20⎧ Ax = 20⎧2 Ax + 5Cx = 90⎪Do đó ⎨ y⇔ ⎨ y⇔⎨yx!⎩ Cx = 10⎩5 Ax − 2Cx = 80⎪= 10⎪⎩ y ![ x − y ]⎧ y! = 2⇔ ⎨Vậy x = 5 và y = 2⎩ x[ x − 1] = 20www.boxtaTa có : Axy =Ví dụ 14 : Giải bất phương trình : 2C x2+1 + 3 Ax2 < 30GiảiĐiều kiện x là số ngun ≥ 22[ x + 1] x+ 3x[x-1] < 302!⇔ x2 + x + 3x2 – 3x – 30 < 0 ⇔ 4x2 – 2x – 30 < 0 ⇔ 2x2 – x – 15 < 0⇔ -5/2 < x < 3 Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 2Ta có 2C x2+1 + 3 Ax2 < 30 ⇔www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất14Dạng 4 : Chứng minh một đẳng thức,một bất đẳng thức chứa Ank ; CnkVí dụ 15 : Chứng minh rằng : Ann++k1 + Ann++k2 = k 2 Ann+ kGiảiTa có : Ann++k1 + Ann++k2 ==[n + k ]! [n + k ]! [n + k ]![1 + k − 1] k [n + k ]!=+=[k − 1]! [k − 2]![k − 1]![k − 1]!k 2 [n + k ]!= k 2 . Ann+ kk!netVí dụ 16 : Chứng minh rằng : C22n = 2Cn2 + n 2Giảiu.2n[2n − 1] 2n[n + n − 1] 2n 2 + 2n[n − 1]Ta có : C ==== n 2 + 2Cn22!2!2!ilie22noxGiảiXét dãy số uk = C2nn + k .C2nn − k > 0taVí dụ 17 : Chứng minh rằng với 0 ≤ k ≤ n thì : C2nn + k .C2nn − k ≤ [C2nn ] 2[2n + k ]! [2n − k ]!.n ![n + k ]! n ![n − k ]!=[2n + k + 1]! [2n − k − 1]!.n ![n + k + 1]! n ![n − k − 1]!.bukC .C= nuk +1 C2 n + k +1.Cn2n−kn2 n − k −1wwTa có :n2n+kn + k + 1 2n − k 2n 2 + [k + 2]n − k 2 − k.= 2>12n + k + 1 n − k2n − [k − 1] n − k 2 − kw=vì [2n2 + [k+2]n – k2 – k}- [2n2 – [k-1]n – k2 – k] = [2k + 1]n > 0Do đó uk > uk+1 .Vậy dãy số uk giảm nên ta có uk ≤ u0 = C2nn .C2nn = [C2nn ] 2Suy ra : C2nn + k .C2nn − k ≤ [C2nn ] 2Dạng 5 : Tính tổng của các số tự nhiên thỏa điều kiện cho trướcVí dụ 18 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ số1,2,3,4,5,6. Tính tổng của các số nàywww.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất15GiảiMột số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau lấy tứ 1,2,3,4,5,6 là một hoán vò của6 chữ số này .Vậy có P6 = 6! = 720 sốĐể tính tổng số các số này ta nhận thấy mỗi số x = 243165 liên kết với một số duy nhấtx’ = 534612 mà tổng các chữ số theo hàng đơn vò,chục,trăm, nghìn, chục nghìn,trămnghìn đều bằng 7Do đó x + x’ = 777 777 .Như vậy 720 số trên được chia thành ½[720] = 360 cặp [x ; x’].Vậy tổng các số tự nhiên này là :S = 360 × 777 777 = 279 999 720netVí dụ 19 : Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10 000 mà tổng các chữ số bằng 3?ilieu.GiảiSố tự nhiên nhỏ hơn 10 000 mà tổng các chữ số bằng 3 có thể thành lập được từ số0000 [ 4 con số 0] bằng cách thay thế một số 0 duy nhất bởi số 3 hoặc một số 0 bởi số 1và một số 0 bời số 2 hoặc ba số 0 bởi 3 số 1nên chỉ có các trường hợp sau :a] Một trong các chữ số bằng 3 thì các chữ số khác phải bằng 0.Vậy có C41 = 4 sốb] Số gồm một số 1 và một số 2 là 2 ×C42 = 12 sốtac] Số gồm 3 số 1 là C43 = 4oxVậy có tất cả 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa điều kiện bài toánVí dụ 20 : Cho E = {0,1, 2,3} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lấywGiảiw.btừ E. Tính tổng của các số này.wSố có 3 chữ số có dạng a1a2 a3Số các số tự nhiên gồm 3 số khác nhau lấy từ E là A43 = 2.2.2 = 24 sốtrong đó số các số mà a1 = 0 là A32 = 2.2 = 6Vậy có 24 – 6 = 18 số thỏa mãn bài toánTa có A32 số mà số hàng đơn vò là 0 hay 1,2,3 .Do đó tổng các chữ số hàng đơn vò củanhững số trên là A32 [0 + 1+ 2 +3 ] = 36Vậy tổng các chữ số trên là 36 [ 1 + 10 + 100] = 3996 [ kể cả số dạng a1 = 0]Nếu a1 = 0 thì số các chữ số hàng đơn vò là 1 hay 2 hay 3 là 3 nên tổng các chữ số hàngđơn vò của tất cả số trên mà a1 = 0 là 3[1 + 2 + 3] = 18www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất16Vậy tổng các chữ số dạng 0a2 a3 là 18[1 + 10] = 198Suy ra tổng các số thỏa mãn bài toán là : 3996 – 198 = 3798C. Bài tập rèn luyện :2.11. Có bao nhiêu cách xếp 7 bạn Giáp . t , Bính , Đinh, Mậu . Kỷ . Canh ngồi vàomột ghế dài sao cho :a] t ngồi giữab] Giáp và Canh ngồi hai đầu ghếnet2.12 . Có bao nhiêu cách xếp 4 nam sinh và 3 nữ sinh ngồi vào một dãy 7 ghế biết rằng:a] họ ngồi chỗ nào cũng đượcb] nam sinh ngồi gần nhau và nữ sinh ngồi gần nhauc] chỉ có nữ sinh ngồi gần nhauilieu.2.13 .Có15 con ngựa tham dự cuộc đua .Nếu không kể trường hợp có hai con ngựa vềđích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vò trí nhất,nhì,ba?ta2.14. Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội bóng trong mộtgiải có 8 đội bóng tham dự?ox2.15. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau các mẫu tự trong từ NGHIEM trong đó hainguyên âm phải đứng đầu và cuối.b2.16. Trong 120 hoán vò của từ NGHIA là những từ gồm 5 mẫu tự ,được sắp xếp theothứ tự a,b,c… như trong từ điển.Hỏi mẫu tự cuối cùng của từ 80 là gì?ww2.17. Trong một buổi tiệc mỗi ông bắt tay với các người khác trừ vợ mình,các bàkhông người nào bắt tay nhau.Biết có tất cả 15 cặp vợ chồng tham dự tiệc,hỏi có tất cảbao nhiêu cái bắt tay của 30 người này?w2.18. Trong hệ trục tọa độ Oxy,chọn 8 điển trên trục Ox và 5 điểm trên trục Oy.Nốimột điểm trên trục Ox tới một điểm trên trục Oy ta được 40 đoạn .Hỏi trong 40 đoạnnày có tối đa bao nhiêu giao điểm trong phần tư thứ nhất của góc Oxy?2.19. Trong lớp học có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ.Giáo viên chủ nhiệm chọn10 học sinh trong đó có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ đi tham gia chiến dòch mùa hèxanh của Thành Đoàn tổ chức.Hỏi có bao nhiêu cách chọn2.20. Một bài kiểm tra toán có 20 câu trắc nghiệm ,mỗi câu có 4 phương án trả lời.Hỏibài kiểm tra này có bao nhiêu phương án trả lới?2.21 . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất172.22 Một nhóm cựu học sinh trường LHP gồm 60 người.a] Có bao nhiêu cách chọn 4 người vào ban chấp hành?b] Có bao nhiêu cách chọn một trưởng ban, một phó trưởng ban ,một tổng thư ký vàmột thủ quỹ2.23. Giải phương trình 24[ Ax3+1 − Cxx − 4 ] = 23 Ax4 trong đó Anp ; Cnp lần lượt là số chỉnhhợp và số tổ hợp n chập px3 − 6 x 22.24 . Giải phương trình : C − C =+5622.25. Giải phương trình : C23xx+−14 = C2xx +−42 x +352.26. Giải bất phương trình : Cxx+−21 + Cxx+ 2 > Ax22Px +52.27. Giải bất phương trình :≤ 60 Axk++32 trong đó x là ẩn số[ x − k ]!k2.28. Chứng minh rằng : Cn + k .Cnp = Cnp++kk .C pk + k với 0 ≤ p ≤ n2x111+ 2 + .... + 22A2 A3Anilie2.29. Tính tổng S =u.net3xoxta2.30. Chứng minh rằng Pn – Pn-1 = [n-1] Pn- 1 Suy ratổng S = P1 + 2P2 + 3P3 + . . . + nPnww.bD . Hướng dẫn - đáp số :2.11 a] t ngồi giữa thì còn 6 ghế hoán vò cho 6 người.Vậy có P6 = 6! = 720 cách xếpchỗ ngồib] Giáp và Canh ngồi hai đầu ghế nên có 2 cách xếp cho 2 bạn này.Còn lại hoán vò 5bạn trên 5 chỗ nên có P5 = 5! = 120 cách xếpVậy có 2 × 120 = 240 cách xếp chỗ ngồiw2.12. Xếp 4 nam sinh và 3 nữ sinh vào 7 ghế :a] Nếu họ ngồi chỗ nào cũng được thì có 7! = 5040 cách xếpb] Nếu nam sinh ngồi gần nhau và nữ sinh ngồi gần nhau thì có2 × 4! × 3! = 288 cách xếpc] Nếu chỉ có nữ sinh ngồi gần nhau thì trường hợp có thể là :[nam,nữ,nữ,nữ,nam.nam,nam] hay [ nam,nam.nữ,nữ,nữ,nam,nam]hay [nam,nam.nam.nữ,nữ,nữ,nam]Vậy có 3 × 4! × 3! = 432 cách xếp2.38. Có A153 = 2730 kết quả có thể xảy ra2.14. Có 8! = 40320www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất182.15. Từ NGHIEM có hai ngun âm là E và I nên có hai cách xếp đừng đầu và cuối ,cón lại bốn phụ âm ta có 4! = 24 cách xếpVậy có 2 × 24 = 28 cách xếp khác nhau1.1. Từ NGHIA gồm 5 mẫu tự được xếp theo thứ tự như trong từ điển :A, G , H , I , NTa có 4! = 24 từ đầu tiên bằng mẫu tự A ,24 từ tiếp theo bằng mẫu tự G,24 từ sau bắtđầu với mẫu tự H.Do đó từ 80 bắt đầu với mẫu tự I ,và nó là từ thứ 80 – 72 = 8 bắt đầubằng I .Bắt đầu IA ta có 3! = 6 từ , sáu từ sau bắt đầu IG là IGAHN , IGANH, . . .VậyH là mẫu tự cần tìm30.29= 4352net21.2. Trong buổi tiệc nếu 30 người đều bắt tay nhau thì có C30=cặp vợ chồngVậy có : 435 – 105 – 15 = 315 cái bắt tayu.2= 105 cái bắt tay giữa các bà và 15 cái bắt tay giữacái bắt tay .Trong số này có C 15ox6× C154 cách chọn1.4. Có C25tailie1.3. Một giao điểm trong góc phần tư thứ nhất được xác đònh duy nhất bằngcách chọn 2 điểm trên Ox và 2 điểm trên Oy .Số giao điểm tối đa đạt được khi khôngcó 3 đoạn nào trong 40 đoạn đồng qui.Vậy có C82 × C52 = 28 × 10 = 280 giao điểm tối đa.b1.5. Có 20 × 4 = 80 phương án trả lời // 420 phương án trả lời chứ ?w1.6. Số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau a1a2 a3 a4 a5 .Số chia hết cho 5 là số có a5 = 0Nếu a5 = 5 thì A94 − A83 số chia hết cho 5w•whay 5• Nếu a5 = 0 thì có A94 số chia hết cho 5Vậy có 2 A94 − A83 = 6048 – 336 = 5712 số chia hết cho 54cách chọn 4 người vào ban chấp hành1.7. Có C604Có A60cách chọn trưởng ban,phó trưởng ban,thư ký và thủ quỹ1.8. Ta có 24[ Ax3+1 − Cxx − 4 ] = 23 Ax4[ x + 1]!x!x!−] = 23[ x + 1 − 3]! [ x − 4]![ x − x + 4]![ x − 4]!2⇔ x – 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1 [loại] và x = 5⇔ 24[www.boxtailieu.netvới x ≥ 4Tổ hợp và xác suất19x3 − 6 x 2x!x!x 3 − 6 x 2 + 30−=+5 ⇔63![ x − 3]! 2![ x − 2]!632⇔ x[x – 1][x – 2] – 3x[x – 1] = x – 6x + 30 với x ≥ 3⇔ 5x = 30 ⇔ x = 52[2 x + 4]![2 x + 4]!2.25. Ta có C23xx+−14 = C2xx +−42 x +3 ⇔= 2[3 x − 1]![5 − x]! [ x − 2 x + 3]![1 − x 2 + 4 x]!⇔ [3x – 1]![5-x]! = [x2 – 2x + 3]![1 – x2 + 4x]! với 1 ≤ x ≤ 5⇔ x=1,x=2552.26.Ta có C xx+−21 + C xx+ 2 > Ax2 ⇔ C xx+3 > Ax2 với x ≥ 222⇔ [x + 1][x + 2][x + 3] > 15x[x – 1]⇔ x3 – 9x2 + 26x + 6 > 0 ⇔ x[x2 – 9x + 26] + 6 >0 luôn luôn đúng vớimọi x ≥ 2 .Vậy nghiệm của bất phương trình là x ∈ N , x ≥ 2net2.24 Ta có Cx3 − Cx2 =u.Px +5[ x + 5]![ x + 3]!≤ 60 Axk++32 ⇔≤ 60[ x − k ]![ x − k ]![ x + 1 − k ]!⇔ [x + 4][x + 5][x + 1 –k] ≤ 60 với k ≤ xVới x ≥ 4 thì bất phương trình vô nghiệm vì [4 +4][4 + 5] = 72 > 60 và x +ox•1–k>1Lấy x ∈ {0,1, 2,3} ta thấy các cặp [n;k] sau đây thỏa bất phương trình :[0 ;ta•ilie2.27 Ta có :0] , [1 ; 0] , [1 ; 1] , [2 ; 2] , [3 ; 3].b2.28. Để chứng minh : Cnk+ k .Cnp = Cnp++kk .C pk + k[n + k ]![ p + k ]! [n + k ]!n!.=.[ p + k ]![n − p]! k ![ p]!k !n ! p ![n − p ]!kk= Cn + k .Cn1112.29 Tính tổng S = 2 + 2 + .... + 2A2 A3An1111=với n ≥ 2+++ .... +1.2 2.3 3.4n[n − 1]111=−màn[n − 1] n − 1 n1 1 1 1111 n −1− =1- =Do đó S = − + − + .... +1 2 2 3n −1 nnnwwwTa xét : Cnp++kk .C pk + k =1.1. Ta có Pn – Pn-1 = n! – [n-1]! = [n - 1]! [n – 1] = [n – 1] Pn-1www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất20Do đó lần lượt thay n = 1 ,2 ,3 , . . . . , n vào hệ thức trên ta được :P1 = 1P2 – P1 = 1P1P3 – P2 = 2P2.............Pn-1 – Pn – 2 = [n-2] Pn – 2Pn – Pn – 1 = [n – 1] Pn- 1Cộng theo vế ta được :Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + . . . . + [n-1] Pn-1net§3. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TON [NEWTON]A.Tóm tắt giáo khoa1. Công thức nhò thức Niu-ton∑C aknk =0trong đó Cnk =n−kbkilienn!là số tổ hợp n chập kk ![n − k ]!ta=u.[a + b]n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + ..... + Cnk a n − k b k + .... + Cnn b noxĐặc biệt : [1 + x]n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + .... + Cnk x k + .... + Cnn x n.bCho x = 1 ta được tổng các hệ số các số hạng trong công thức nhò thức Niu-tonhay số các tập con của một tập hợp có n phần tử :Cn0 + Cn1 + Cn2 + .... + Cnn = 2nww2. Tam giác Pa-xcan [Pascal]Do tính chất : Cnk + Cnk −1 = Cnk+1 nên các hệ số của các số hạng trong nhò thứcwNiu-ton có thể trình bày dưới dạng sau đây :[a+ b]01[a + b]1112[a + b]1213[a + b] 1331[a+b]4 14641............................................... .......Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 và ta gọi làtam giác Pa-xcan . Tam giác này được thiết lập như sau :Đỉnh được ghi là số 1www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất21Hàng thứ nhất : 1 = C10 1 = C11Hàng thứ hai :1 = C202 = C211 = C22Hàng thứ ba :1 = C303 = C313 = C321 = C33Nếu biết hàng thứ k thì hàng thứ k + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai sốliên tiếp của hàng thứ k rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vò trí giữa hai số trên .Sauđó viết số 1 ở đầu và cuối hàngB. Giải toánDạng 1 : Tìm một hệ số của số hạng trong khai triển nhò thức Niu-tonGiảiHệ số của x25y10 trong khai triển [ x3 + xy]15 là⎛1⎝3Ví dụ 2 : Trong khai triển ⎜ +2x ⎞210⎟ = ao + a1 x + a2 x + ... + a10 x . Tìm hệ số ak3 ⎠oxlớn nhất [ 0 ≤ k ≤ 10 ]10ilieu.15!11.12.13.14.15== 23110![15 − 10]!1.2.3.4.5taC1510 =netVí dụ 1 : Tính hệ số của x25y10 trong khai triển [ x3 + xy]1510.bGiảiTheo công thức Niu-ton ta có :www11⎛ 1 2x ⎞1001221010⎜ + ⎟ = 10 [1 + 2 x] = 10 [C10 + C10 [2 x] + C10 [2 x] + ... + C10 [2 x] ]3333⎝⎠k2Do đó ak = 10 C10k với k = 0 , 1 , 2 , . . ., 103⎧ 2k .10!2k −1.10!>⎪⎧ ak > ak −1⎪ k ![10 − k ]! [k − 1]![10 − k + 1]!Như vậy ak lớn nhất khi ⎨⇔⎨k2k +1.10!⎩ak > ak +1⎪ 2 .10! >⎪⎩ k ![10 − k ]! [k + 1]![10 − k − 1]!1⎧ 222>⎧⎪⎪ k 11 − k⎪k 19>⎪⎩10 − k k + 1Vậy k = 7 vì 0 ≤ k ≤ 10www.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất22Hệ số ak lớn nhất =27 7C10310Ví dụ 3 : Tính hệ số của x5 trong khai triển nhò thức Niu-ton của [ 1 + x]n ,n ∈ N* , biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024GiảiTheo công thức khai triển ta có[1 + x]n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + .... + Cnk x k + .... + Cnn x n∑Ck =0kn= 2n = 1024 = 210Vậy n = 10netCho x = 1 ta đượcnVậy hệ số của x5 trong khai triển là C105 = 252n∑Cbằng khai triển Niu-toniliek =0knu.Dạng 2 :Tính các tổng sốKhai triển [ 1 + x]n và cho x nhận một hay hai giá trị thích hợpoxB = Cn1 + Cn3 + Cn5 + ...taVí dụ 4 : Cho n là sô nguyên dương hãy tính các tổng số :A = Cn0 + Cn2 + Cn4 + ...w.bGiảiKhai triển [1 + x]n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + .... + Cnk x k + .... + Cnn x nwCho x = 1 ta được A + B = 2nCho x = - 1 ta đưôc A – B = 02n= 2n-12wVậy A = B =Ví dụ 5 : Cho n là số nguyên dương chẵn, hãy tính các tổng số :A = Cn0 + 3.Cn1 + 32 Cn2 + ... + 3n CnnB = Cn0 + 32 Cn2 + 34 Cn4 + ... + 3n CnnC = 2. Cn1 + 33 Cn3 + 35 Cn5 + ... + 3n −1 Cnn −1GiảiKhai triển [1 + x]n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + .... + Cnk x k + .... + Cnn x nwww.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất23Cho x = 3 ta được A = Cn0 + 3.Cn1 + 32 Cn2 + ... + 3n Cnn = 4n = B + CCho x = - 3 ta được Cn0 − 3Cn1 + 32 Cn2 − 33 Cn3 + 34 Cn4 − ... − 3n −1 Cnn −1 + 3n Cnn = [-2]nDo đó B – C = 2n vì n là số chẵnVậy B =4n + 2n4n − 2nvà C =22Dạng 3 : Rút gọn tổng các số hạng dạng Cmh Cnk − hvới 0 ≤ h ≤ m ; h ≤ k ; k – h ≤ n và k không đổiVí dụ 6 : Cho 5 ≤ k ≤ n và n , k ∈ N ,chứng minh rằng :netCnk + 5Cnk −1 + 10Cnk − 2 + 10Cnk −3 + 5Cnk − 4 + Cnk −5 = Cnk+5= 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5u.GiảiTa có [1 + x]5 = C50 + xC51 + x 2C52 + x 3C53 + x 4C54 + x 5C55ilie[1 + x]n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + .... + Cnk x k + .... + Cnn x noxC. Bài tập rèn luyệntaDo đó : [1 + x]n+5 =[1 + x]n .[1 + x]5 ,ta xét số hạng xk trong khai triển này ở hai vế vàcho x = 1 ta được : Cnk + 5Cnk −1 + 10Cnk − 2 + 10Cnk −3 + 5Cnk − 4 + Cnk −5 = Cnk+52.31 Tính hệ số x8 trong khai triển đa thức [1 + x2 [1 – x]]87.b2.32 Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niu-ton củaww1 ⎞⎛3⎜ x + 4 ⎟ với x > 0x⎠⎝2.33 Với n là số nguyên dương , gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đawthức của [x2 + 1]n[x + 2]n .Tìm n để a3n-3 = 26n⎛ 1⎞2.34 Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhò thức Niu-ton của ⎜ 3 + x 5 ⎟⎝x⎠n +1nk, biết rằng Cn + 4 − Cn +3 = 7[n + 3] với n là số nguyên dương , x > 0, Cn là số tổ hợp8chập k của n phần tử.2.35 Tìm số nguyên dương n sao cho Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn = 2432.36 Chứng minh rằng : Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk − 2 + 4Cnk −3 + Cnk − 4 = Cnk+ 4 với 4 ≤ k ≤ nwww.boxtailieu.netnTổ hợp và xác suất242.37 Chứng minh rằng :Cm0 Cnk + Cm1 Cnk −1 + ... + CmmCnk − m = Cmk + n với m ≤ k ≤ n2.38 Chứng minh đẳng thức :C20n + C22n 32 + C24n 34 + ... + C22nn 32 n = 22 n −1 [22 n + 1]2.39 Chứng minh :0200512004k2005− k200502006C2006.C2006+ C2006.C2005+ ... + C2006.C2006− k + ... + C2006 .C1 = 1003.22.40 Chứng minh rằng :netC22n + C24n + ... + C22nn − 2 = C21n + C23n + ... + C22nn −1 − 2 với n ≥ 2D. Hướng dẫn hay đáp số :u.2.31 Trong khai triển nhò thức : [1 + x2 [1 – x]]8 ta thấy x8 có trong số hạng[x2 [1 – x]]3 = x6 [1 – 3x + 3x2 – x3 ] với hệ số là 3 C83 = 168ilie[x2 [1 – x]]4 = x8 [1 – 2x + x2 ]2 với hệ số là C84 = 70Vậy hệ số của x8 trong khai triển trên là : 168 + 70 = 238⎛ak+1 = C7k [ x ]−14 k⎝71 ⎞⎟ là :4x⎠7−k k−3 4ox13 7−kta2.32 Ta biết số hạng thứ k + 1 trong khai triển ⎜ 3 x +.[ x ] = C7k .x7−k k− = 0 ⇔ 28 – 7k = 0 ⇔ k = 4 .344Vậy số hạng khọng chứa x trong khai triển là a5 = C7 = 35w.bDo đó ak+1 không chứa x trong khai triển khiw2.33. Ta có [x2 + 1]n = Cn0 x 2 n + Cn1 x 2 n − 2 + Cn2 x 2 n − 4 + ... + Cnnwvà [ x + 2]n = Cn0 x n + 2Cn1 x n −1 + 22 Cn2 x n − 2 + 23 Cn3 x n −3 + ... + 2n CnnTa nhận thấy khi n = 1 và n = 2 thì không thỏa điều kiện bài toán.Với n ≥ 3 thì x3n-3 = x2n.xn-3 = x2n-2.xn-1Do đó hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của [x2 + 1]n[x + 2]nlà a3n-3 = 22. Cn0 .Cn3 + 2Cn1 .Cn1 . Như vậy :⎡ n=52n[2n 2 − 3n + 4]a3n-3 = 26n ⇔= 26n ⇔ ⎢⎢ n = −732⎣Vậy n= 5 vì n là nguyên dươngwww.boxtailieu.netTổ hợp và xác suất25[n + 4]! [n + 3]!−= 7[n + 3]3![n + 1]! 3!n !⇔ [n + 4][n + 2] – [n + 2][n + 1] = 42 ⇔ 3[n + 2] = 42⇔ n + 2 = 14 ⇔ n = 122.34 Ta có Cnn++41 − Cnn+3 = 7[n + 3] ⇔125⎞⎛ 1⎞ ⎛Do đó : Trong khai triển nhò thức ⎜ 3 + x 5 ⎟ = ⎜ x −3 + x 2 ⎟ ,số hạng thứ k là⎝x⎠ ⎝⎠55[12 − k ]C12k [ x −3 ] k .[ x 2 ]12− k Vậy số hạng chứa x8 khi −3k += 8 hay k = 42Vậy hệ số của x8 trong khai triển trên là C124 = 495nnet2.35 Ta có khai triển [1 + x]n = C 0n +Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x nVậy n = 5vàilie2.36. Ta có : [1 + x] 4 = 1 + 4 x + 6 x 2 + 4 x 3 + x 4u.Cho x = 2 ta được : 3n = Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ... + 2n Cnn = 243 =35[1 + x] n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x noxtaDo đó [1 + x]n+4 = [1 + x]n.[1 + x]4 ,ta xét số hạng xk trong khai triển này ở hai vế vàsau đó cho x = 1 ta được :Cnk + 4Cnk −1 + 6Cnk − 2 + 4Cnk −3 + Cnk − 4 = Cnk+ 4 với 4 ≤ k ≤ n2.37. Ta có : [1 + x] m = Cm0 + Cm1 x + Cm2 x 2 + ... + Cmm x m.bvà [1 + x] n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x nwwDo đó : [1 + x]m .[1 + x]n = [1 + x]m+n , xét hệ số xk ở hai vế ta được :Cm0 Cnk + Cm1 Cnk −1 + ... + CmmCnk − m = Cmk + n với m ≤ k ≤ n1.1. Xét hai khai triển nhò thức :[1][1 − x] = C − C x + C x − ... + C x[2]w[1 + x] 2 n = C20n + C21n x + C22n x 2 + ... + C22nn x 2 n2n02n12n22n22n2n2nCộng [1] và [2] vế với vế ta được :[1 + x] 2 n + [1 − x] 2 n = 2[C20n + C22n x 2 + ... + C22nn x 2 n ]Thay x = 3 ta có :42 n + [−2] 2 n = 2[C20n + C22n 32 + ... + C22nn 32 n ]Vậy : C20n + C22n 32 + C24n 34 + ... + C22nn 32 n = 22 n −1 [22 n + 1]www.boxtailieu.net
Page 2
-->
NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN---------------------THÂN TẶNG CÁC EM - CHÚC CÁC EM HỌC GIỎIHÃY SỐNG CÓ KHÁT VỌNG,CÓ NIỀM TIN VÀO BẢN THÂNCÁC EM SẼ THÀNH CÔNG!NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN1TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.II.Quy tắc nhânMột công việc H được thực hiện qua K giai đoạn H1, H2 ,H3 ….Hk,trong đó:Giai đoạn H1 có n1 cách thực hiệnGiai đoạn H2 có n2 cách thực hiệnGiai đoạn H3 có n3 cách thực hiện………………………………….Giai đoạn Hk có nk cách thực hiệnKhi đó để hoàn thành công việc H phải thực hiện đồng thời K giai đoạnthì suy ra có [n1.n2.n3….nk ] cách để hoàn thành công việc HVí dụ 1:Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luậnvà trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắcnghiệm,trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêucách chọn đề thi?Giải:- Số cách chọ 1 đề tự luận là 12 cách- Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cáchVì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thiVí dụ 2:Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhaub. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhaua.Giải:a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: n = a1a2 a3a4Để có số n ta phải chọn đồng thời a1,a2,a3,a4 trong đó:- a1 có 6 cách chọn- a2 có 5 cách chọn- a3 có 4 cách chọn- a4 có 3 cách chọnVậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìmb.Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 trong đó- a5 chỉ có 1 cách chọn [bằng 2]- a1 có 5 cách chọn- a2 có 4 cách chọn- a3 có 3 cách chọn- a4 có 2 cách chọnVậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 sốNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN2TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.IVí dụ 3:Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi mộtkhác nhau lấy ra từ tập AGiải:Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 trong đó:- a1 có 9 cách chọn[vì a1 ≠ 0]- a2 có 9 cách chọn- a3 có 8 cách chọn- a4 có 7 cách chọn- a5 có 6 cách chọnVậy có tất cả 9.9.8.7.6 = 27216 cáchVí dụ 4:Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gòm 5 chữ số đôi một khác nhau vàcác chữ số này lẻ,chia hết cho 5b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau saocho chữ số đứng cuối chia hết cho 4Giải:a. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 trong đó:số n lẻ,chia hết cho 5 nên a5 = 5- a1 có 5 cách chọn[vì a1 ≠ 0,≠ 5]- a2 có 5 cách chọn- a3 có 4 cách chọn- a4 có 3 cách chọnVậy có tất cả 5.5.4.3 = 300 sốb.Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5a6 trong đó:Vì chữ số cuối cùng chia hết cho 4 nên a6 = 8 hoặc a6 = 0 ta chia làm hai trường hợpTrường hợp 1 a6 =8- a1 có 5 cách chọn[vì a1 ≠ 0,≠ 8]- a2 có 5 cách chọn- a3 có 4 cách chọn- a4 có 3 cách chọn- a5 có 2 cách chọnVậy có 5.5.4.3.2 = 600 sốTrường hợp 2: a6 = 0- a1 có 6 cách chọn- a2 có 5 cách chọn- a3 có 4 cách chọn- a4 có 3 cách chọn- a5 có 2 cách chọn có 6.5.4.3.2 = 720 sốNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN3TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.IVậy có tất cả:600 + 720 = 1320 sốVí Dụ 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,8,9}a.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và >50.000b. Từ tập A có thể lậ được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau saocho chữ số đứng ở vị trí thứ 3 chia hết cho 5 và chữ số cuối lẻGiải:a. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5Vì n > 50.000 nên a1 có thể chon trong các chữ số {5,6,8,9}- a1 có 4 cách chọn- a2 có 7 cách chọn- a3 có 6 cách chọn- a4 có 5 cách chọn- a5 có 4 cách chọnVậy có 4.7.6.5.4 = 3360 số cần tìmb. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5a6 theo đề ta có :- a3 chia hết cho 5 nên a3 = 5,chữ số cần tìm là số lẻ a6 = {1,3,9} có 3 cách chọn- a1 có 6 cách chọn- a2 có 5 cách chọn- a4 có 4 cách chọn- a5 có 3 cách chọnvậy có tất cả: 3.6.5.4.3 = 1080 số cần tìmVí dụ 7: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiêngồm 5 chữ sô đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặtGiải:Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 để có được số n ta làm hai bước sau :1. chọn vị trí cho chữ số 2: có 5 vị trí2. Chọn 4 chữ số còn lại - Do vai trò 5 số này giống nhau nên ta giả sử a1 =2 ta có:- a1 có 1 cách chọn- a2 có 8 cách chọn- a3 có 7 cách chọn- a4 có 6 cách chọn- a5 có 5 cách chọnVậy có tất cả 5[8.7.6.5] = 8400 số cần tìmVí dụ 8: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau saocho các số này không bắt đầu bằng 246b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau saocho chữ số 1 có mặt đúng một lần.Giải:a. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5a61. Chọn tùy ý :- a1 có 6 cách chọn[vì a1 ≠ 0]- a2 có 6 cách chọn4NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VNTỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I- a3 có 5 cách chọn- a4 có 4 cách chọn- a5 có 3 cách chọn- a6 có 2 cách chọn có 6.6.5.4.3.2 = 4320 số có 6 chữ số đôi một khác nhau2. Chọn số có 6 chữ số bắt đầu từ 246- a4 có 4 cách chọn- a5 có 3 cách chọn- a6 có 2 cách chọn 4.3.2 = 24 số bắt đầu bằng 246Vậy ycbt = tùy ý - phần bù = 4320 - 24 = 4296 số cần tìmb.Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5Trường hợp 1: nếu a1 = 1 thì số cần tìm có dạng n = 1a2 a3a4 a5- a2 có 6 cách chọn- a3 có 5 cách chọn- a4 có 4 cách chọn- a5 có 3 cách chọn có 6.5.4.3= 360 sốTrường hợp 2: Nếu a1 ≠ 1ta có- a1 có 5 cách chọn[vì a1 ≠ 0]- có 4 vị trí cho số 1 giả sử a2 = 1- a3 có 5 cách chọn- a4 có 4 cách chọn- a5 có 3 cách chọn có 5.4.5.4.3 = 1200 số cần tìm vậy 1200 + 360 = 1560 kết quảVí dụ 9: cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao chochữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhauGiải:1. Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một tùy ý là n = a1a2 a3a4 a5- a1 có 6 cách chọn[vì a1 ≠ 0]- a2 có 6 cách chọn- a3 có 5 cách chọn- a4 có 4 cách chọn- a5 có 3 cách chọn có 6.6.5.4.3 = 2160 số2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một và 2,5 đứng cạnh nhauGiả sử 2,5 là một chữ số a nào đó do vậy ta đi tìm số có 4 chữ sốTrường hợp 1:- a1 = a- a2 có 5 cách chọn- a3 có 4 cách- a4 có 3 cách5NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VNTỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I có 5.4.3 = 60 sốTrường hợp 2:- a1 ≠ a nên a1 có 4 cách chọn [ a1 ≠ 0,2,5]- có 3 vị trí cho số a giả sử a2 = a- a3 có 4 cách- a4 có 3 cách có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 có thể đổi chỗ cho nhau nên ta đc 204.2 = 408 sốVậy YCBT = 2160 - 408 = 1572 cách-có 4 vị trí cho aII. Qui tắc cộng:Một công việc H bao gồm K công việc H1, H2 ,H3 ….Hk,trong đó:Giai đoạn H1 có n1 cách thực hiệnGiai đoạn H2 có n2 cách thực hiệnGiai đoạn H3 có n3 cách thực hiện………………………………….Giai đoạn Hk có nk cách thực hiệnKhi đó để hoàn thành công việc H chỉ phải thực hiện 1trong các công việc trên thì suy racó [n1+ n2 + n3 + nk ] cách để hoàn thành công việc HVí dụ 1: Một nữ sinh trung học khi đến trường có thể chọn một trong hai bộ trang phục làquần trắng áo dài hoặc quần xanh áo sơ mi.Nữ sinh có 7 chiếc quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì có bao nhiêu cáchchọn trang phục:Giải:- Nữ sinh được chọn một trong hai bộ trang phụcTrường hợp 1: Quần trắng + áo dài- có 7 cách chọn quần trắng- 5 cách chọn áo dài có 5.7 cách chọn bộ trang phục thứ nhấtTrường hợp 2: Quần xanh + áo sơ mi- có 4 cách chọn quần xanh- có 6 cách chọn áo sơ mi có 4.6 = 24 cách chọn bộ trang phục thứ 2Vậy theo quy tắc cộng thì nữ sinh có 35 + 24 = 59 cáchVí dụ 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhaub. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho các số này chiahết cho 5Giải:a.Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5- a5 = {1,3,5,7,9} có 5 cách chọnNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN6TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I- a1 có 8 cách chọn[vì a1 ≠ 0]- a2 có 8 cách chọn- a3 có 7 cách chọn- a4 có 6 cách chọnVậy ta được 5.8.8.7.6 = 13440 sốb.Tìm Số có 6 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5a6Vì số này chia hêt cho 5 nên a6 = {0,5}Trường hợp 1: a6 = 0- a1 có 9 cách chọn- a2 có 8 cách chọn- a3 có 7 cách chọn- a4 có 6 cách chọn- a5 có 5 cách chọn có 9.8.7.6.5 = 15120 sốTrường hợp 2:a6 = 5- a1 có 8 cách chọn [ vì a1 ≠ 0]- a2 có 8 cách chọn- a3 có 7 cách chọn- a4 có 6 cách chọn- a5 có 5 cách chọn có 8.8.7.6.5 = 13440 sốVậy thu được 15120 + 13440 = 28560 số cần tìmVí dụ 3: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 5 chữ số mà ko chia hết cho 5b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số mà chữ số thứ 3 luôn lẻGiải:a.Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5Vì số này lẻ, không chia hêt cho 5 nên a5 = {1,3,7,9}- a5 có 4 cách chọn- a1 có 8 cách chọn- a2 có 7 cách chọn- a3 có 6 cách chọn- a4 có 5 cách chọn số cần tìm là 4.8.7.6.5 = 6720 sốb.Tìm Số có 6 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5a6- Vì chữ số thứ 3 luôn lẻ,a3 = {1,3,5,7,9} a3 có 5 cách chọn- Chữ số này là số chẵn nên a6 = {2,4,6,8} có 4 cách chọn- a1 có 7 cách chọn- a2 có 6 cách chọn- a4 có 5 cách chọn- a5 có 4 cách chọn số cần tìm là 5.4.7.6.5.4 = 16800 sốVí dụ 4 :Cho tập A = {1,2,3,4,5,6}NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN7TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.Ia. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khácnhau sao chữ số 2 có mặt đúng một lầnb. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao chotổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số sau 1 đơn vịc. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau sao chochữ số đứng ở giữa và ở cuố đều lẻGiải:a. Tìm Số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4- Trường hợp 1: a4 =2- a1 có 5 cách chọn- a2 có 4 cách chọn- a3 có 3 cách chọn số cần tìm là 5.4.3 = 60 sốTường hợp 2 : a4 ≠ 2 nên có 2 cách chọn {4,6},số 2 có 3 vị trí giả sử a1 = 2- a1 có 1 cách chọn- a2 có 4 cách chọn- a3 có 3 cách chọn có 2.3.4.3.1 = 72 sốVậy có 60 + 72 = 132 số cần tìmb.Số có 6 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5a6Theo đề a1 + a2 + a3 + 1 = a4 + a5 + a6Mà a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 21Vậya1 + a2 + a3 = 10Từ tập A ta chọn bộ ba số a1 ,a2,a3 sao cho a1 + a2 + a3 = 10Ta có [1,3,6];[2,3,5];[1,4,5]Do đó với mỗi bộ thì a1 có 3 cách chọn,a2 có 2 cách,a3 có 1 cách nên ta đc 3.2.1 = 6 sốDo cả ba bộ chọn giống nhau nên được 18 số cần tìmc.Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5Vì chữ số đứng giữa và cuối đều lẻ nên a3,a5 = {1,3,5}a3 có 3 cách chọna5 có 2 cácha1 có 4 cách chọna2 có 3 cách chọna4 có 2 cách chọnVậy có 3.2.4.3.2 = 144 số như vậyVí dụ 5: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số trong đó haichữ số liền kề nhau phai khác nhauGiảiSố có 4 chữ số là n = a1a2 a3a4 [ a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠ a4 ]a1 có 7 cách chọn [a1 ≠ 0]a2 có 7 cách chọn [a1 ≠ a2]a3 có 7 cách chọn [a2 ≠ a3]a4 có 7 cách chọn [a3 ≠ a4 ]Vậy có tất cả 7.7.7.7 = 2401 số8NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VNTỔ HỢP - XÁC SUẤT P.ICHỈNH HỢP1.Định Nghĩa và công thứcCho tập A gồm n phần tử khác nhau đôi một.Từ tập n rút ra k phần tử khác nhau đôimột rồi sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó thì được chỉnh hợp chập k của n phầntửAnk Công thứcn! n k !2.Phương pháp chung để giải bài toán về chỉnh hợpBước 1:Gọi số cần tìm là n = a1a2 ...anBước 2: Liệt kê các tính chất mà số n cần thỏa mãnBước 3:Xử lý tính chật đó bằng cách chọn các chữ số thỏa mãnBước 4: Đếm lại số phần tử còn lại trong tập hợp A bằng cách lấy số phần tử A ban đầu các phần tử đã có mặt trong các tính chất của tập hợp mới A’Bước 5: Chọn các chữ số còn lại ko có tính chất lấy từ tập A’Bước 6: Áp dụng hai qui tắc cơ bản để có kết quả3. Các dạng toánDạng 1 - Tập hợp A không chứa số 0Ví dụ 1:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}a. Có bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy từ tập Ab. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhauc. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau saocho tổng hai chữ số đầu và cuối chia hết cho 10Giải:a.Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5Năm chữ số này được chọn từ A,đôi một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự nhấtđịnh nên số cần tìm là chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tửA75 7! 2520 số[7 5]!b.Số có 6 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5a6vì n là số chẵn nên a6 = {2,4,6} có 3 cách chọnchọn 5 chữ số còn lại từ tập có 7 - a6 = 6 phần tử ta có A65 6! 720[6 5]!Vậy có tất cả 3. A65 = 2160 sốc.Số có 6 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5a6theo giả thiêt a1 + a6 =10 nên bộ 2 số này có thể là {[3,7];[4,6]- ứng với mỗi bộ a1 có 2 cách chọn,a6 có 1 cách nên số cách là 2.2.1- chọn 4 chữ số còn lại trong tập co 5 chữ số ta đượcA54 5! 120[5 4]!Vậy có tất cả 2.2.1.120 = 480 số cần tìmVí dụ 2:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3chữ số chẵn và 3 chữ số lẻNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN9TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.IGiải:Số có 6 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5a6- Chọn 3 chữ số chẵn trong tổng 4 chữ số ta được A43 - Chọn 3 chữ số lẻ trong tổng 5 chữ số lẻ ta có A53 4! 24[4 3]!5! 60[5 3]!Vậy có 24.60 = 1440 số cần tìmVí dụ 3Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm có 6 chữ số đôi một khác nhaub. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao chochữ số đầu lẻ, chữ số cuối chẵnc. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số khác nhau đôi một sao chữsố đầu và cuối đều chẵnGiải:a. Số có 6 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5a6Vì n là số lẻ nên a6 = {1,3,5,7,9} a6 có 5 cách chọn,- Chọn 5 chữ số còn lại trong tổng 8 số còn lại ta đượcA85 8! 6720[8 5]!Vậy có tất cả 5.6720 = 33600 số như vậyb. Số có 6 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5a6Vì số cuối chẵn nên a6 {2,4,6,8} có 4 cách chọnSố đầu lẻ nên a1 {1,3,5,7,9} có 5 cách chọn- Chọn 4 chữ số còn lại trong tổng 9 - 2 = 7 phần tử ta cóA74 7! 840[7 4]!Vậy có 4.5.840 = 16800 sốc. Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5Vì a1 , a5 chẵn nên {2,4,6,8} a1 có 4 cách chọn,a5 có 3 cách chọn- Chọn 3 chữ số còn lại trong tổng 9 - 2 = 7 phần tử ta cóA73 7! 210[7 3]!- Vậy có tất cả 4.3.210 = 2520 sốVí dụ 4: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một vàkhông bắt đầu bằng 345b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đôi một vàchữ số 2 luôn có mặt đúng một lầnc. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau đôimột và chữ số 2 luôn có mặt đúng một lầnGiảia.Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN10TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.Ichọn 5 chữ số trong tổng 6 chữ số ta đượcsố các số bắt đầu bởi 345 có dạng 345a4 a5 làA65 6! 720[6 5]!A32 3!6[3 2]!Vậy số cần tìm là 720 - 6 = 714 sốb.Số có 4 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4Chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần nên có 4 vị trí cho số 2Coi một vị trí bất kì là số 2 vậy còn 3 chữ số được chọn trong 5 phần tử còn lạiA53 5! 60[5 3]!Vậy có 4.60 = 240 sốc.Số có 4 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 do n chẵn nên a4 {2,4,6}Chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần nên xét 2 trường hợpTrường hợp 1: a4 = 2 ,số cách chọn cho 3 chữ số còn lại laiA53 5! 60[5 3]!Trường hợp 1: a4 ≠ 2 nên a4 có 2 cách chọn- có 3 vị trí cho số 2-chọn 2 vị trí còn lại trong tổng 4 phần tử làA42 4! 12[trừ a4 , trừ 2][4 2]!Ta được 2.3.12 = 72Vậy có tất cả 72 + 60 = 132 sốVí dụ 5:Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}a.Từ tập có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữsố 3 luôn có mặt đúng một lầnb. Từ tập có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữsố 3 luôn có mặt đúng một lần và chữ số đứng đầu lẻGiải:a.Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5TH1: a5 = 3Chọn 4 chữ số còn lại ta đượcA74 7! 840[7 4]!TH2: a5 ≠ 3- a5 có 3 cách chọn- có 4 vị trí cho số 3- có A63 cách chọn 3 chữ số còn lạiVậy có 3.4. A63 + A74 = 2280 sốc. Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5TH1: Nếu a1 = 3- a6 có 3 cách chọn {1,5,7}11NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VNTỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I- chọn 4 chữ số còn lại có A64 cách có 3. A64 sốTH2: a1 ≠ 31.Nếu a6 = 3 thì a1 có 3 cách chọn, chọn 4 chữ số còn lại được A64 có 3. A64 số2. Nếu a6 ≠ 3- a1 có 3 cách chọn,a6 có 2 cách chọn,có 4 vị trí cho chữ số 3,chọn 3 chữ số còn lại đượcA53 TH2 = 1 + 2 = 3. A64 + 3.2.4. A53Vậy có tất cả 3. A64 + 3. A64 + 3.2.4. A53 = 3600 số cần tìmVí dụ 8: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữsố đứng giữa không chia hết cho 5,chữ số 5 luôn có mặt đúng một lần và chữ số cuốilẻb. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau hai chữ số1 và 3 luôn đứng cạnh nhauGiảia] Số có 5 chữ số khác nhau đôi một là n = a1a2 a3a4 a5Chữ số đứng giữa không chia hết cho 5 nên : a3 ≠ 5Cách 1 : Xét các trường hợp sau:TH1 : a5 =5:+ a3 có 8 cách chọn+ Chọn 3 chữ số còn lại có A73 cách có 8. A73 sốTH2: a5 ≠ 5:+ a5 có 4 cách chọn+ a3 có 7 cách chọn [ do a3 ≠ 5 và a3 ≠ a5 ]+ có 3 vị trí có 5 chữ số+Chọn hai chữ số còn lại có A62 cách có 4.7.3. A62 sốVậy có tất cả: 8. A73 + 4.7.3. A62 =4200 số cần tìmCách 2:Dùng phép loại trừ :B1: tính số các số lẻ có năm chữ số trong đó chữ số 5 luôn có mặt đúng một lần là :A84 +4.4. A73B2 : Tính số các số lẻ có năm chữ số trong đó a3 = 3 là: 4. A73Vậy có tất cả: A84 + 4.4. A73 - 4. A73 =1200 số cần tìmb] Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5 a6Cách 1 : Chia trường hợp :TH1 : nếu a1 =1 a2 =3:Chọn 4 chữ số còn lại có A74 cáchTH2: nếu a2 =1 có hai vị trí cho chữ số 3Chọn 4 chữ số còn lại có A74 cách có 2. A74 số12NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VNTỔ HỢP - XÁC SUẤT P.ITH3: a3 =1: giống như TH2: có 2. A74 sốTH4: a4 =1:giống như TH2: có 2. A74 sốTH5: a5 =1:giống như TH2 : có 2. A74 sốTH6: a6 =1:giống như TH1Vậy có tất cả: 2. A74 + 4.2. A74 =8400 số cần tìmCách 2:Khi hai chữ số [1 và 3] luôn đứng cạnh nhau thì ta xem như hai chữ số [1,3] là một chữ sốa. Khi đó ta lập một số có năm chữ số sao cho chữ số a luôn có mặt một lần ; rồi hoánđổi vị trí giữa hai chữ số 1,3 sẽ được các số cần tìm theo yêu cầu bài toán.+ Chữ số a có 5 vị trí+ Chọn 4 chữ số còn lại: A47 cách có 4. A73 số+ Hoán đổi vị trí giữa hai chữ số 1 và 3 ta được số các số cần tìm là: 2.5. A74 =8400 số.Ví dụ 9 .Cho tập hợp A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}a] Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có sáu chữ số đôi một khác nhau sao chohai chữ số 1 và 3 không đứng cạnh nhau ?b] Từ tập A có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm có sáu chữ số đôi một khác nhau saocho hai chữ số lẻ không đứng cạnh nhau ?Giảia] Gọi số cần tìm là:: n = a1a2 a3a4 a5 a6Bài toán này được giải bằng cách loại trừ theo hai bước sau :B1 : Tính số các số có sáu chữ số trong đó hai chữ số 1,3 luôn có mặt :+Chữ số 1 có 6 vị trí+Chữ sô 3 có 5 vị trí+ Chọn bốn chữ số còn lại có A74 cách có 6.5. A74 sốB2 : Tính số các số có sáu chữ số trong đó hai chữ số 1 và 3 luôn đứng cạnh nhau :+ Xem hai chữ số [1,3] là một chữ số a. Ta lặp một số có năm chữ số mà chữ số a luôncó mặt một lần :- có 5 vị trí cho chữ số a- Chọn 4 chữ số còn lại có A74 cách có 5. A74 số mà chữ số a luôn có mặt một lần+ Hoán đổi vị trí giữa số 1 và 3 trong chữ số a ta được 2.5. A74 số mà hai chữ số 1 và 3 luônđứng cạnh nhau.Vậy có tất cả: 6.5. A74 - 2.5. A74 = 16800 số cần tìm theo yêu cầu bài toán.b] Bài toán được giải theo các bước sau :B1 : Chọn hai chữ số lẻ trong năm chữ số lẻB2 : Lấy một cặp số lẻ bất kỳ. giải như câu a+ Chọn hai chữ số trong năm chữ số lẻ là : C52+ Lấy một cặp số lẻ điển hình như [1,3] [ giải như câu a]Vậy có: C52 [ 6.5. A74 - 2.5. A74 ] = 168000 số cần tìmNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN13TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.IVí dụ 10.chọn tập A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}a] Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có sáu chữ số đôi một khác nhausao cho ha chữ số 1 và 5 luôn đứng cạnh nhau?b] Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm có sáu chữ số đôi một khác nhaisao cho hai chữ số 1 và 4 luôn đứng chanh nhau?Giảia] Gọi số cần tìm là : n = a1a2 a3a4 a5 a6Số n là số chẵn nên a6 = { 2,4,6,8} a6 có 4 cách chọnĐể đơn giản hơn, lúc này ta qui bài toán về yêu cầu mới là : Tìm các số có năm chữsố sao cho chữ số 1 và 5 luôn đứng cạnh nhau rồi đem ghép với chữ số a6 sẽđược chữ số n cần tìmKhi hai chữ số 1 và 5 luôn đứng cạnh nhau, ta xem [1,5] là một chữ số a.Ta lập mộtsố có bốn chữ số sao cho chữ số a luôn có mặt :-Chữ số a có 4 vị trí- Chọn ba chữ số còn lại có A63 cách có 4. A63 số- Hoán đổi vị trí giữa hai chữ số 1 và 5 ta được: 2.4. A63 số có năm chữ số mà [ 1,5 ]luôn đứng cạnh nhau.- Các chữ số này đem ghép với chữ số a6 ta được các số cần tìm là: 2.4. A63 .4 =3840 số n.b]Gọi số cần tìm là : n = a1a2 a3a4 a5 a6Xét trường hợp sau :TH1 : nếu a6 =4 thì a5 = 2 :Chọn bốn chữ số còn lạo có A cáchTH2: nếu a6 = 2 thì a5 = 4:Chọn bốn chữ số còn lại có A cáchTH3: nếu a6 ≠ 4 và a6 ≠ 2 :+ a 6 có 2 cách chọn+ xem hai chữ số [ 2,6 ] là một chữ số a, ta lập một số có bốn chữ số sao cho chữ sốa luôn có mặt một lần.-Chữ số a có 4 vị trí-Chọn ba chữ số còn lại có A63 cách có 4. A63 số+ Hoán đổi vị trí của hai chữ số a và 6 có 2.4. A63 sốVây có tất cả: 2. A74 + 2.4. A63 = 2640 số cần tìmVí dụ 11. cho tập hợp A ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm có sáu chữ số sao cho chữ số 5 luôn cómặt 2 lần. Các chữ số còn lại có mặt một lần,GiảiNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN14TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.IGọi số cần tìm là : n = a1a2 a3a4 a5 a6Cách 1: Xét hai trường hợp:TH1: a6 =5:+ Do chữ số 5 luôn có mặt 2 lần nên 5 vị trí còn lại thì chữ số 5 có 5 vị trí.+ Chọn 4 chữ số còn lại có A84 cách có 5 số có sau chữ sô mà a6 =5I TH2 : a6 ≠ 5 : a4 có 4 cáchTha : a1 = 5 a2 ≠ 5+ a2 có 7 cách chọn [ a2 ≠ a1 và a2 ≠ a6 ]+có 3 vị trí cho chữ số 5+ chọn 2 chữ số còn lại có A62 cách Ta có: 7.3.4. A62 = 2520 sốThb:a 2 = 5 a1 ≠ 5 và a3 ≠ 5+ a1 có 7 cách chọn+ a3 có 6 cách chọn+ có 2 vị trí cho chữ số 5+ Chọn 1 chữ số còn lại có A51 cách thb: có: 4.7.6.2 - A51 = 1680 sốThc: a3 = 5: giống như thbThd: a4 =5 : giống như thbThe: a5 = 5: giống như thaVậy có: 5. A84 + 2.2520 + 3.1680 = 18480Ví dụ 12: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau sao cho 1,2,3 luôn đứngcạnh nhauGiải:- 1,2,3 luôn đứng cạnh nhau ta coi là một số a nào đó,chữ số a này có 5 vị trí- Chọn 4 chữ số còn lại ta có A64 cách- Hoán đổi vị trí của 1,2,3 ta có 3! CáchVậy có 3!.4. A64 = 10800 số cần tìmDạng 2: Tập A có chứa số 0Phương pháp giải toán:Bước 1: Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3 ....an [ a1 ≠ 0]Bước 2: Liệt kê các tính chất mà số n cần thỏa mãnBước 3:Xử lý các tính chất- Nếu có nhiều tính chất độc lập nhau thì ta không chia trường hợp- Nếu một chữ số a nào đó cụ thể có mặt 1,2,3… lần thì phải chia trường hợp vì a = a1sẽ khác với a ≠ a1- Nếu 2 hay nhiều chữ số trong n có cùng tính chất thì chia trường hợpBước 4: Dùng các qui tắc cộng, nhân giải quyết bài toánVí dụ 1: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A có thể lập đượca.Bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhaub.Bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này đều lẻNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN15TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.IGiải:a. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5Số này ko có tính chất,có chứa số 0 nên ta làm như sau :- a1 có 6 cách chọn [vì a1 ≠ 0]- Chọn 4 chữ số còn lại ta được A64 cách có 6. A64 = 2160 cáchb. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5vì n là số lẻ nên a5 {1,3,5} do đó a5 có 3 cách chọn- a1 có 5 cách chọn do [a1 ≠ 0 và a1 ≠ 5]- Chọn 3 chữ số còn lại ta có A53Vậy có 3.5. A64 =900 sốVí dụ 2 : Cho tập A = {0,2,4,5,6,9}Từ tập A có thể lập đượca. Bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5b. Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhauGiảia.Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4Vì n chia hết cho 5 nên a4 = {0,5},ta chia bài toán làm hai trường hợpTH1:Nếu a4 = 0 [hiển nhiên a1 ≠ 0] vậy 3 số còn lại có A53 cáchTH2: Nế a4 = 5,thì a1 có 4 cách chọn vì a1 ≠ 0 và ≠ 5Chọn 2 số còn lại ta có A42 có 4. A42Vậy có tất cả A53 + 4. A42 = 108 số cần tìmb. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4Vì n là số chẵn nên a4 = {0,2,4,6}, ta chia bài toán làm hai trường hợpTH1 : Nếu a4 = 0 thì chọn 3 số còn lại ta được A53 cáchTH2 : Nếu a4 ≠ 0 thì sẽ có 3 cách chọn a4- có 4 cách chon a1- chọn 2 số còn lại ta có A42 có 4. A42Vậy có tất cả A53 + 4. A42 = 108 số cần tìmCách 2 : Dùng phép đếm loại trừ :- Đếm số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5+ a4 có 2 cách chọn+ chọn ba chữ số còn lại là A53 có 2. A53- Đếm số có 4 chữ số chia hết cho 5 mà a1 = 0 là A42Vậy có 2. A53 - A42 = 108 sốVí dụ 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7}.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có:a.Năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2b.Sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt đúng 1 lầnGiải:. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 do số này chia hêt cho 2 nên a5 = {0,2,4,6}Cách 1: Xét trường hợpNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN16TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.ITH1: Nếu a5 = 0 ta chọn 4 chữ số còn lại thì được A74 cáchTH2: Nếu a5 ≠ 0- a5 có 3 cách chọn- a1 có 6 cách chọn [do a1 ≠ 0, ≠ a5 ]- Chọn 3 chữ số còn lại ta được A63 3.6. A63 cáchVậy ta được A74 + 3.6. A63 = 3000 số cần tìmCách 2 dùng phép loại trừ:1. Tính số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2- a5 có 4 cách chọn- 4 só còn lại có A74 cách chọn có 4. A74 số2. Tính số có 5 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2 và a1 = 0- a5 có 3 cách chọn- chọn 3 chữ số còn lại ta có A63 có 4. A74 - 3. A63 = 3000 sốb. Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5a6TH1 : Nếu a1 = 2,chọn 5 chữ số còn lại ta được A75 cáchTH2 : Nếu a1 ≠ 2- a1 có 6 cách chọn [do a1 ≠ 0,2]- có 5 vị trí cho chữ số 2- chọn 4 chữ số còn lại có A64có 6.5. A64Vậy có tất cả A75 + 6.5. A64 = 13320 sốVí dụ 4: Cho tập A = {0,1,2,4,5,7,8,9}Từ tập A có thể lập được bao nhiêu sốa.Có năm chữ số khác nhau và lớn hơn 50.000b.Có năm chữ số khác nhau và đều là các số chẵnGiải:a.Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 do n > 50000 nên a1 {5,7,8,9}a1 có 4 cách chọn , chọn 4 chữ số còn lại có A74 cáchVậy có 4. A74 3360 sốb.Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5 vì n là số chẵn nên a5 = {0,2,4,8}TH1: nếu a5 = 0, chọn 4 số còn lại ta có A74 cáchTH2: nếu a5 ≠ 0 thì a5 có 3 cách chọn- a1 có 6 cách chọn ,ba chữ số còn lại có A63 có 3.6. A63Vậy có A74 + 3.6. A63 = 3000 sốVí dụ 4: Cho tập hợp A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ Tập A có thế lập được bao nhiêu số:a] Có sáu chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 va 3 luôn đứng cạnh nhau?b] Có sáu chữ số khác nhau sao cho chữ số 0 và 7 không đứng cạnh nhau?NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN17TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.IGiảia] Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5a6Xét hai trường hợp sau :TH1 : nếu a1a2 = 13 :Chọn 4 chữ số còn lại A84 cách có A84 sốTH2 :Nếu a1a2 ≠ 13 :+ a1 có 7 cách chọn [ a1 ≠ 0;a1 ≠ 3 ]+ Có 4 vị trí cho 13+ Chọn 4 chữ số còn lại có A73 cách có 6.4. A73 sốVậy có: A84 + 6.4. A73 số mà [ 1,3 ] luôn đứng cạnh nhau.Do vai trò của 13 cũng giống vai trò của 31 nên có tất cả:2[ A84 + 6.4 A73 ] =13440 số cần tìmb] Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3a4 a5a6Giải theo các bước sau :B 1: Tính số tạo thành có sáu chữ số bất kì:+a 1 có 9 cách chọn [ a 1 ≠ 0 ]+ Chọn 5 chữ số còn lại có A95 cách có 9. A95 sốB2 : Tính số các số có 0,7 đứng cạnh nhau:Tha: hai chữ 70 :+ có 5 vị trí 70+ chọn 4 chữ số còn lại có A84 cách : có 5. A84 số có sáu chữ số mà có 70Thb: hai chữ số 07 :+ có 4 vị trí cho 07+ chọn 4 chữ số còn lại có A84 cách : có: 4. A84 số có sáu chữ số màDo đó có : 5. A84 + 4. A84 = 9. A84 số mà [ 0,7] luôn đứng cạnh nhauB3: số các số cần tìm là :9. A95 - 9. A84 = 120960 sốVí dụ 5 : cho tập hợp A= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu sốcó 7 chữ số khác nhau sao cho :a] luôn có mặt hai chữ số 0 và 9b] hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhauGiảia] gọi số cần tìm là : n = a1a2 a3a4 a5 a6 a7TH1 : Hai chữ số 90+ có sáu vị trí cho cho chữ số 90+ chọn 5 chữ số còn lại có : A85 cáchNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN18TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I có 6. A85 số có 7 chữ số mà hai chữ số 90TH2: Hai chữ số 09+ có 5 vị trí có chữ số 09+ chọn 5 chữ số còn lại có A85 cách có 5. A85 số có 7 chữ số mà hai chữ số 09Vậy có tất cả: 6. A85 + 5. A75 = 11. A85 số cần tìmb] gọi số cần tìm là : n = a1a2 a3a4 a5 a6 a7Giải theo các bước sau :B1: tính số các số có 7 chữ số khác nhau bất kỳ:+a1 có 9 cách chọn+ Chọn 6 chữ số còn lại có A96 cách có 9. A96 sốB2:Tính số các số có 7 chữ số khác nhau có chứa hai chữ sô 1.6 đứng cạnh nhau, xét haitrường hợp:TH1: a1a2 = 16Có A85 cách chọn 5 chữ số còn lạiTH2: a1a2 ≠ 16+ Có 5 vị trí cho chữ 16+a1 có 7 cách chọn [ do a 1 ≠ 0: a 1 ≠ 6 ]+Chọn 4 chữ số còn lại: A74 cách 5.7. A74 cáchTừ hai trường hợp trên ta có số các số có chứa 16 là:A85 + 5.7. A74Tương tự ta cũng có: A85 + 5.7. A74 số các số có chứa 61B3 Vậy số các số thỏa mãn bài toán là:9. A96 - 2[ A85 + 5.7. A74 ] = 472080 sốVí dụ 6: Cho tập A ={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ tập A có thể tạo được bao nhiêu số:a] Có sái chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt hai chữ số 0 và 3b] Có bảy chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt hai chữ số 2 và 5Giảia] Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5a6+ Có 5 vị trí cho chữ số 0+ Có 5 vị trí cho chữ số 3+ Chọn 4 chữ số còn lại có A84 cáchb] Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5 a6 a7Cách 1 :Giải theo các bước sau :B1 : Tính số các số có 7 chữ số bất kỳ :+ a1 có 9 cách chọn+ Chọn 6 chữ số còn lại có A96 cách có 9. A96 sốNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN19TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.IB2 Tính số các số có 7 chữ số có mặt chữ số 2 mà không có mặt chữ số 5 :TH1 :a1 = 2 :Chọn 6 chữ số còn lại có A86 cách [ bỏ đi chữ số 5] có A86 sốTH2 : a1 ≠ 2 :+ a1 có 7 cách chọn [ a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ 5 ]+ Có 6 vị trí cho 2 chữ số 2+ Chọn 5 chữ số còn lại có A75 cách [ bỏ đi chữ số 5 ] có 7.6. A75 sốTừ hai trường hợp trên có : A86 + 7.6. A75 sốB3 : Tính số các số có 7 chữ số; có mặt chữ số 5 mà không có mặt chữ số 2: giống nhưbước 2, ta cũng có: A86 + 7.6. A85 sốB4 : Tính số các số có 7 chữ sô mà không có chữ số 2 và 5:+ a1 có 7 cách chọn [ do a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ 5 ]+ Chọn 6 chữ số còn lại có A76 cách có 7. A76 sốB5 : vậy số các số cần tìm là:9. A96 - 2[ A86 + 7.6. A75 ] - 7. A76 = 257040 sốCách 2: xét các trường hợp sauTH1: nếu a1 =2:+ Chữ số 3 có 6 vị trí+ chọn 5 chữ số còn lại có A85 cáchcó 6. A85 sốTH2: nếu a1 = 3: giống như TH2 có 6. A85 sốTH3: a1 ≠ 2 và a1 ≠ 3:+ Chữ số 2 có 5 vị trí+ Chữ số 3 có 5 vị trí+ a1 có 7 cách chọn [ do a1 ≠0 ;a1 ≠ 2; a1 ≠ 5 ]+ Chọn 4 chữ số còn lại có A74 cách có 6.5.7. A74 sốVậy có tất cả : 2.6. A85 + 6.5..7. A74 = 257040 số cần tìmCách 3: tính theo 2 bước sau:B1 :Tính số các số tạo thành chứa chữ số 0 và luôn có chữ số 2 và 5+ có 6 cahcsh chọn cho chữ sô 0+ có A62 vị trí cho 2 chữ sô 2 và 5+ có A74 cách chọn 4 chữ số còn lại có 6. A62 . A74 sốB2:Tính số các số tạo thành không có chứa cố 0 và luôn có chữ số 2 và 5+ có A72 cách chọn vị trí cho hai chữ số 2 và 5+ có A85 cách chọn 5 chữ số còn lại có A72 . A85 sốNGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN20TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.ITheo quy tắc cộng ta có tất cả các số là:6. A62 . A74 + A72 . A75 = 257040 số cầnBài 11: Cho tập A = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Từ tập A có thế lập được bao nhiêu sốa] Có 6 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt 3 chữ số 0,2,4?b] Có 7 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt 7 chữ số 1,3,5,7?Giảia] Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5a6+ Có 5 vị trí cho chữ sô 0+ Có 5 vị trí cho chữ số 2+ Có 4 vị trí có chữ số 4+ Chọn 3 chữ số còn lại có A73 cách có 5.5.4. A73 số cần tìm.b] Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3a4 a5a6 a7Nhận xét : Khi các số tạo thành luôn có từ 3 chữ số cho trước trở lên thì ta nên sửdụng cách 2 hoặc cách 3 vì sử dụng cách 1 rất dàiCách 1 : Xét các trường hợp :Th1 :Khi a1 =1 cũng giống như khi a1 = {3,5,7}+ a1 có 4 cách chọn+ có 6 vị trí cho chữ số 3+ Có 5 vị trí cho chữ số 5+ Có 4 vị tí cho chữ số 7+ Chọn 3 chữ số còn lại A63 cách có : 4.6.5. A63 sốTH2:a1 ≠ 1;a1 ≠ 3;a1 ≠6 và a1 ≠7:+ a1 có 5 cách chọn+ Có A64 vị trí cho 4 chữ số 1.3.5.7+ Chọn hai chữ số còn lại có A52 sốVậy có tất cả: 4.6.5.4. A63 + 5. A64 . A52 = 93600 số cần tìmCách 2: Giải theo hai bước sau:B1:Tính số các số có chữ số 0 và luôn có mặt 4 chữ số 1.3.5.7+ Có 6 vị trí cho chữ số 0+ Có A64 cách chọn vị trí cho 4 chữ số 1,3,5,7NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN21TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.INGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN22TỔ HỢP - XÁC SUẤT P.I
Page 3