DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên \[x\] sao cho tồn tại số thực \[y\] thỏa mãn biểu thức
\[{\log _3}\left[ {x + \sqrt 2 y} \right] = {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\].
A. \[3\].
B. \[2\].
C. \[1\].
D. Vô số.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận:
Điều kiện \[x + \sqrt 2 y > 0;{x^2} + {y^2} \ne 0\].
Đặt \[{\log _3}\left[ {x + \sqrt 2 y} \right] = {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = t\]
Khi đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \sqrt 2 y = {3^t}}\\{{x^2} + {y^2} = {2^t}}\end{array}} \right.\]
Vì \[{\left[ {x + \sqrt 2 y} \right]^2} \le 3\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] \Rightarrow {9^t} \le {3.2^t} \Leftrightarrow {\left[ {\frac{9}{2}} \right]^t} \le 3 \Leftrightarrow t \le {\log _{\frac{9}{2}}}3\].
Như vậy \[{x^2} + {y^2} = {2^t} \Rightarrow {x^2} \le {2^t} \le {2^{{{\log }_{\frac{9}{2}}}3}} \approx 1,65\]. Vì \[x\] nguyên nên \[{x^2} \in \left\{ {0;1} \right\}\].
Với \[x = 0\] ta có hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{{3^t}}}{{\sqrt 2 }}}\\{{y^2} = {2^t}}\end{array}} \right.\] suy ra \[\frac{{{9^t}}}{2} = {2^t} \Leftrightarrow {\left[ {\frac{9}{2}} \right]^t} = 2 \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{9}{2}}}2 \Rightarrow y = \frac{{{3^{{{\log }_{\frac{9}{2}}}2}}}}{{\sqrt 2 }} \approx 1,17\].
Với \[x = 1\] ta có phương trình \[{\log _3}\left[ {1 + \sqrt 2 y} \right] = {\log _2}\left[ {1 + {y^2}} \right]\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{y \approx 0,7686}\end{array}} \right.\]
Với \[x = – 1\] ta có phương trình \[{\log _3}\left[ {\sqrt 2 y – 1} \right] – {\log _2}\left[ {1 + {y^2}} \right] = 0\].
Xét hàm số \[f\left[ y \right] = {\log _3}\left[ {\sqrt 2 y – 1} \right] – {\log _2}\left[ {1 + {y^2}} \right]\]. Lập bảng biến thiên ta chứng minh được \[\max f\left[ y \right] \approx f\left[ {1,369} \right] \approx – 1,583 < 0\] nên phương trình vô nghiệm.
Do đó ta chọn được \[x \in \left\{ {0;1} \right\}\]. Vậy có \[2\] giá trị \[x\] thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Tư duy + C. asio:
+ Ta có \[{\log _3}\left[ {x + \sqrt 2 y} \right] = {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\]
+ Ta đặt \[{\log _3}\left[ {x + \sqrt 2 y} \right] = {\log _2}\left[ {{x^2} + {y^2}} \right] = t\]. Suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \sqrt 2 y = {3^t}}\\{{x^2} + {y^2} = {2^t}}\end{array}} \right.\]
+ Lượng giác hóa: Đặt \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt {{2^t}} .\cos \left[ \alpha \right]}\\{y = \sqrt {{2^t}} .\sin \left[ \alpha \right]}\end{array}} \right.;\left[ \alpha \right] \in \left[ {0;2\pi } \right]\].
+ Từ đó ta được \[\sqrt {{2^t}} .\cos \left[ \alpha \right] + \sqrt {{2^t}} .\sin \left[ \alpha \right] = {3^t} \Rightarrow \cos \left[ \alpha \right] + \sin \left[ \alpha \right] = \frac{{{3^t}}}{{\sqrt {{2^t}} }} = {\left[ {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right]^t}\].
\[ \Rightarrow t = {\log _{\frac{3}{{\sqrt 2 }}}}\left[ {\cos \left[ \alpha \right] + \sin \left[ \alpha \right]} \right]\].
+ Ta có \[x = \sqrt {{5^t}} .\cos \left[ \alpha \right] = \sqrt {{5^{{{\log }_{\frac{3}{{\sqrt 2 }}}}\left[ {\cos \left[ \alpha \right] + \sin \left[ \alpha \right]} \right]}}} .\cos \left[ \alpha \right]\]
Vậy có \[2\] giá trị \[x\] thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'[x] 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'[x] 3. Lập BBT xét dấu g'[x] 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========
Đáp án C
Lời giải chi tiết:
log3x+2y=log2x2+y2=t→x+2y=3tx2+y2=2t→x+2y-3t=0x2+y2=2t
Để tồn tại x,y => Đường thẳng dx+2y-3t=0 và đường tròn C x2+y2=2t giao nhau
Ta có: I[0;0], R = 2t là tâm và bán kính của [C]
Ta có:
Nếu t f[t]>0 > f[t] = 0 vô nghiệm
Nếu t≥0→9t≥2t→9t-2t≥0→ft>0→ft=0 vô nghiệm
Với y = -1 Loại
với y = 1
Chúc em học tốt!
...Xem thêmCó bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log3x+y=log4x2+y2 ?
A.3
B. 2
C.1
D.Vô số.
Đáp án và lời giải
Đáp án:B
Lời giải:Hướng dẫn giải:
Đặt log3x+y=log4x2+y2=t⇔x+y=3tx2+y2=4t
Do đó x;y là tọa độ giao điểm của đường thẳng d:x+y−3t=0 và đường tròn tâm O bán kính R=2t .
Điều kiện tồn tại giao điểm này là dO,d≤R⇔3t2≤2t⇔32t≤2⇔t≤log322
Dễ thấy hoành độ giao điểm x luôn thỏa mãn −R≤x≤R⇔−2t≤x≤2t . Mà t≤log322 nên 0