Hay nhất
Chọn B
Tâp xác định :D=R
\[y'=3x^{2} -6mx+3\left[2m-1\right]\]
Ta có: \[\Delta '=\left[-3m\right]^{2} -3.3.\left[2m-1\right]\]
Để hàm số luôn đồng biến trên \[{\rm R} thì \Delta '\le 0\Leftrightarrow 9m^{2} -18m+9\le 0\]
\[\Leftrightarrow 9\left[m^{2} -2m+1\right]\le 0\Leftrightarrow 9\left[m-1\right]^{2} \le 0\Leftrightarrow m=1.\]
Giải chi tiết:
Xét hàm số \[y = \left| {{x^3} - mx + 2} \right|\] xác định trên \[\mathbb{R}.\]
Ta có \[y' = \frac{{\left[ {3{x^2} - m} \right]\left[ {{x^3} - mx + 2} \right]}}{{\left| {{x^3} - mx + 2} \right|}}\]
Đề hàm số đồng biến trên \[\left[ {2; + \infty } \right]\] thì \[y' \ge 0;\,\forall x > 2\]
Suy ra \[\left[ {3{x^2} - m} \right]\left[ {{x^3} - mx + 2} \right] \ge 0;\,\forall x > 2\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - m \ge 0\\{x^3} - mx + 2 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - m \le 0\\{x^3} - mx + 2 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} \ge m\\{x^3} + 2 \ge mx\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} \le m\\{x^3} + 2 \le mx\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} \ge m\\{x^2} + \frac{2}{x} \ge m\end{array} \right.\,\,\left[ I \right]\\\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} \le m\\{x^2} + \frac{2}{x} \le m\end{array} \right.\,\,\left[ {II} \right]\end{array} \right.\] với mọi \[x > 2.\]
Xét hệ \[\left[ I \right]\]
+ Để bất phương trình \[3{x^2} \ge m\] đúng với mọi \[x > 2\] thì hoặc \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right]} \left[ {3{x^2}} \right] = {3.2^2} = 12 \Rightarrow m \le 3{x^2};\,\forall x > 2 \Rightarrow m \le 12\] hoặc với \[m \le 0\] thì bất phương trình \[3{x^2} \ge m\] đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}.\] [1]
Xét hàm số \[g\left[ x \right] = {x^2} + \frac{2}{x}\] trên \[\left[ {2; + \infty } \right]\]
Ta có \[g'\left[ x \right] = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2; + \infty } \right]\]
BBT của \[g\left[ x \right]\] trên \[\left[ {2; + \infty } \right]\] : [hình bên]
Suy ra \[{x^2} + \frac{2}{x} \ge m \Leftrightarrow m \le 5\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[m \le 5\] mà \[m \in \left[ { - 10;10} \right];m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8;...;4;5} \right\}\] nên có 15 giá trị thỏa mãn.
+ Xét hệ \[\left[ {II} \right]:\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} \le m\\{x^2} + \frac{2}{x} \le m\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right]} \left[ {3{x^2}} \right]\\m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right]} g\left[ x \right]\end{array} \right.\]
Nhận thấy hệ [II] vô nghiệm vì không tồn tại GTLN của các hàm số \[3{x^2};g\left[ x \right] = {x^2} + \frac{2}{x}\] trên \[\left[ {2; + \infty } \right]\].
Chọn B.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = {x^2}\left[ {m - x} \right] - m\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {1;2} \right]\]?
A.
B.
C.
D.
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023