Đạo hàm hữu hạn là gì

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

* Vận tốc tức thời

Giới hạn hữu hạn [nếu có]

$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left[ t \right] - s\left[ {{t_0}} \right]}}{{t - {t_0}}}$

Được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm ${t_0}$.

* Cường độ tức thời

Giới hạn hữu hạn [nếu có]

$\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left[ t \right] - Q\left[ {{t_0}} \right]}}{{t - {t_0}}}$

Được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm ${t_0}$.

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số $y = f\left[ x \right]$ xác định trên khoảng $\left[ {a;b} \right]$ và ${x_0} \in \left[ {a;b} \right]$.

Nếu tồn tại giới hạn [hữu hạn]

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left[ x \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{x - {x_0}}}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f\left[ x \right]$ tại điểm ${x_0}$ và kí hiệu là $f'\left[ {{x_0}} \right]$ [hoặc $y'\left[ {{x_0}} \right]$], tức là:

$f'\left[ {{x_0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left[ x \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{x - {x_0}}}$

3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc:

- Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại${x_0}$, tính:

$\Delta y = f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]$.

- Bước 2: Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

- Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

* Định lí 1

Nếu hàm số $y = f\left[ x \right]$ có đạo hàm tại${x_0}$ thì nó liên tục tại điểm đó.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

* Định lí 2

Đạo hàm của hàm số $y = f\left[ x \right]$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến ${M_0}T$ của [C] tại điểm${M_0}\left[ {{x_0};f\left[ {{x_0}} \right]} \right]$.

* Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] của hàm số $y = f\left[ x \right]$ tại điểm ${M_0}\left[ {{x_0};f\left[ {{x_0}} \right]} \right]$ là:

$y - {y_0} = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right]$

Trong đó ${y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]$.

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a] Vận tốc tức thời

$v\left[ {{t_0}} \right] = s'\left[ {{t_0}} \right]$

b] Cường độ tức thời

$I\left[ {{t_0}} \right] = Q'\left[ {{t_0}} \right]$

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số $y = f\left[ x \right]$ được gọi là đạo hàm trên khoảng $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số

$\begin{array}{l} f':\left[ {a;b} \right] \to R\\ x \mapsto f'\left[ x \right] \end{array}$