Dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang

Câu hỏi: Đường trung bình của hình thang

Lời giải:

- Định lí 1:Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai

- Định nghĩa:Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

- Định lí 2:Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Ví dụ:

Hình thangABCD(AB//CD) có E, F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD, BC.

Suy raEFlà đường trung bình của hình thang ABCD.

Do đó:

Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về hình thang nhé:

Mục lục nội dung

1. Khái niệm hình thang

2. Tính chất hình thang

3. Diện tích hình thang

4. Chu vi hình thang

5. Bài tập:

1. Khái niệm hình thang

Hình thang trong hình học Euclide là một tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.

Hình thang ABCD (AB // CD):

AB và CD gọi là các cạnh đáy ( hoặc đáy). AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn.

AD và BC gọi là các cạnh bên.

Gọi AH là đường cao kẻ từ A đến CD. Khi đó, AH là đường cao của hình thang.

• Các trường hợp đặc biệt của hình thang:

- Hình thang vuông: là hình thang có một góc vuông.

- Hình thang cân: là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

2. Tính chất hình thang

- Tính chất về góc: Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 1800( nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy)

Hình thang ABCD ( AB // CD) có:

3. Diện tích hình thang

Diện tíchcủa hình thang bằng nửa tích của tổng hai cạnh đáy vớichiều cao:

4. Chu vi hình thang

4.1 Công thức tính chu vi hình thang thường

Chu vihình thang bằng tổng độ dài của hai đáy và hai cạnh bên (tất cả các cạnh của nó):

P = a + b + c + d

Trong đó:

- P là ký hiệu chu vi.

-a, b là hai cạnh đáy hình thang.

-c, d là cạnh bên hình thang.

4.2. Công thức tính chu vi hình thang vuông

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Cạnh bên góc vuông là chiều cao của hình thang. Hình thang vuông có cách tính chu vi tương tự hình thang thường.

P = a + b + c + d

Trong đó:

-P là ký hiệu chu vi.

-a, b là hai cạnh đáy hình thang.

-c, d là cạnh bên hình thang.

4.3 Công thức tính chu vi hình thang cân

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 2 cạnh bên của hình thang cân bằng nhau, không song song với nhau. Công thức tính chu vi hình thang cân là:

P = (2 x a) + b + c

Trong đó:

-P là ký hiệu chu vi.

-a, b là hai cạnh đáy hình thang.

-c, d là cạnh bên hình thang.

5. Bài tập:

Bài 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD) có AB = 3cm, CD = 5cm, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 3cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

Giải:

Hình thang ABCD có AB//CD nên hai đáy là AB và CD.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD chính là chiều cao của hình thang.

Áp dụng công thức tính diện tích hình thang:

Chu vi hình thang:

Chu vi hình thang bằng tổng độ dài hai cạnh đáy và hai cạnh bên của hình thang

P = a + b + c + d

Bài 2:Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.

Giải:

Để chứng minh 3 điểm E, F, K thẳng hàng ta có thể chứng minh 2 trong 3 đoạn EK, FK, EF cùng // với AB và CD (theo tiên đề Ơcolit) thông qua tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.

‍Xét hình thang ABCD, có:

E là trung điểm của cạnh bên AD (gt)

F là trung điểm của cạnh bên BC (gt)

⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD (theo định lí 3)

⇒ EF // AB // CD (theo định lí 4) (1)

Xét△ABD, có:

E là trung điểm của AD (gt)

K là trung điểm của BD (gt)

⇒ EK là đường trung bình của tam giác ABD (theo định lí 1)

⇒ EK // AB (theo định lí 2) (2)

Từ (1), (2)⇒ E, F, K thẳng hàng (Theo tiên đề Ơcơlit).

Bài 3:Cho hình thang ABCD với AB = AD = 3cm, CD = 5cm, BC = 4cm. Tính chu vi hình thang ABCD?

Giải:

Chu vi hình thang ABCD là:

P = AB + BC + CD + AD = 3 + 4 + 5 + 3 = 15(cm)

Bài 4:Một hình thang cân có cạnh bên là 2,5cm, đường trung bình là 3cm. Tính chu vi của
hình thang đó.

Giải:

Tổng hai cạnh đáy của hình thang là : 3 x 2 = 6 (cm)

Chu vi hình thang là : 6 + 2,5 + 2,5 = 11 (cm)

Đáp số : 11 cm

Ibaitap: Cùng ibaitap tìm hiểu về định nghĩa cũng như các tính chất, dấu hiệu nhận biết của hình thang.

Xem thêm:

‍

Hình thang là hình tứ giác có hai cạnh đối của chúng song song với nhau.

Trong đó:

• Tứ giác ABCD có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang.
• Hai cạnh AD, BC được gọi là hai cạnh bên hình thang.
• Hai cạnh AB, CB được gọi là hai đáy hình thang.
• Kẻ AH ⊥ CD (H ∈ CD), AH được gọi là một đường cao của hình thang.

2. Tính chất hình thang:

Tính chất về góc: 

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang luôn có tổng bằng 180° (nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy)

Ví dụ bài tập: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có ∠A = 60°, ∠C = 100°. Tính số đo các góc còn lại của hình thang?

Lời giải tham khảo:

Hình thang ABCD có AB//CD nên ta có: 

*) ∠A + ∠D = 180° 

⇔ 60° + ∠D = 180°

⇔ ∠D = 180° - 60° = 120°.

Vậy ta có ∠D = 120°.

*) ∠B + ∠C = 180°

⇔  ∠B + 100° = 180°

⇔ ∠B = 180° - 100° = 80°.

Vậy ta có ∠B = 80°.

Tính chất về cạnh

Một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên của chúng sẽ song song và bằng nhau.

Một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên đó sẽ bằng nhau và hai cạnh đáy của chúng sẽ bằng nhau.

Đường trung bình của hình thang:

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng được nối giữa trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Tính chất: Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy hình thang và bằng một nửa tổng hai đáy đó.

Trong hình thang ABCD (AB//CD) có:

• ∠A + ∠D = ∠B + ∠C = 180°.
• AB // EF // CD.
• EF = (AB + CD) / 2.

Vậy tổng kết tính chất của hình thang gồm có tính chất về góc, tính chất về cạnh và đường trung bình của hình thang như sau:

• Hai góc kề một cạnh bên của hình thang luôn có tổng bằng 180° (nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy).
• Một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên của chúng sẽ song song và bằng nhau.
• Một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên đó sẽ bằng nhau và hai cạnh đáy của chúng sẽ bằng nhau.
• Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy hình thang và bằng một nửa tổng hai đáy đó.
  

3. Hình thang vuông

a) Định nghĩa và tính chất: 

Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 

Tính chất: Hình thang vuông ABCD có:

∠A =∠D = 90° hay AD ⟂ AB, AD ⟂ DC

b) Dấu hiệu nhận biết: 

Tứ giác là hình thang có một góc vuông là hình thang vuông:

∠A =∠D = 90° hay AD ⟂ AB, AD ⟂ DC

4. Hình thang cân:

a) Định nghĩa và tính chất: 

Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau.

Tính chất: Hình thang cân ABCD có:

∠DAB =∠ABC với ∠ADC =∠BCD, AD = BC, AC = BD

b) Dấu hiệu nhận biết: 

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân khi và chỉ khi:

• Hình thang có hai góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau.
• Hình thang có hai cạnh bên hình thang bằng nhau.
• Hình thang có hai đường chéo của chúng bằng nhau.

5. Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết hình thang chính là định nghĩa của hình thang hay: tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau.

Ví dụ: Tứ giác ABCD có AB // CD ⇔ Tứ giác ABCD là hình thang.

Tổng hợp các dấu hiệu nhận biết hình thang là:

• Hình thang là hình tứ giác có hai cạnh đối song song với nhau.
• Tứ giác là hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.
• Tứ giác là hình thang có hai góc kề 1 cạnh đáy bằng nhau thì là hình thang cân.
• Tứ giác là hình thang có hai cạnh bên hình thang bằng nhau thì là hình thang cân.
• Tứ giác là hình thang mà hai đường chéo của chúng bằng nhau thì là hình thang cân.