Đề bài
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
\[[\alpha ]\]: 3x y + 4z + 2 = 0
\[[\beta ]\]: 3x y + 4z + 8 = 0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi tọa độ điểm \[M\left[ {x;y;z} \right]\], sử dụng công thức tính khoảng cách suy ra mối quan hệ \[x,y,z\].
Từ đó suy ra mặt phẳng cần tìm.
Lời giải chi tiết
Xét điểm M[x; y; z]. Ta có: M cách đều hai mặt phẳng \[[\alpha ]\] và \[[\beta ]\]
\[ \Leftrightarrow d[M,[\alpha ]] = d[M,[\beta ]]\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{|3x - y + 4z + 2|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\] \[ = \dfrac{{|3x - y + 4z + 8|}}{{\sqrt {9 + 1 + 16} }}\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left| {3x - y + 4z + 2} \right| = \left| {3x - y + 4z + 8} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - y + 4z + 2 = 3x - y + 4z + 8\\
3x - y + 4z + 2 = - \left[ {3x - y + 4z + 8} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2 = 8\left[ {vo\,li} \right]\\
6x - 2y + 8z + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 3x - y + 4z + 5 = 0
\end{array}\]
Vậy tập hợp điểm M là mặt phẳng \[3x - y + 4z + 5 = 0\].