Đề bài
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. \[\displaystyle \int\limits_0^1 {\sin \left[ {1 - x} \right]dx} = \int\limits_0^1 {\sin xdx} \]
B. \[\displaystyle \int\limits_0^\pi {\sin \frac{x}{2}dx} = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \]
C. \[\displaystyle \int\limits_0^1 {{{\left[ {1 + x} \right]}^x}dx} = 0\]
D. \[\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{2007}}\left[ {1 + x} \right]dx} = \frac{2}{{2009}}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tính đúng sai của các đáp án và kết luận.
Lời giải chi tiết
Đáp án A: Đặt \[\displaystyle t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {\sin \left[ {1 - x} \right]dx} = \int\limits_1^0 {\sin t\left[ { - dt} \right]} \] \[\displaystyle \int\limits_0^1 {\sin \left[ {1 - x} \right]dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_0^1 {\sin tdt} = \int\limits_0^1 {\sin xdx} \] nên A đúng.
Đáp án B: Ta có: \[\displaystyle \int\limits_0^\pi {\sin \frac{x}{2}dx} = - \left. {2\cos \frac{x}{2}} \right|_0^\pi = 2\].
\[\displaystyle 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = - \left. {2\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\] nên \[\displaystyle \int\limits_0^\pi {\sin \frac{x}{2}dx} = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \] hay B đúng.
Đáp án D: \[\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{2007}}\left[ {1 + x} \right]dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{x^{2007}} + {x^{2008}}} \right]dx} \] \[\displaystyle = \left. {\left[ {\frac{{{x^{2008}}}}{{2008}} + \frac{{{x^{2009}}}}{{2009}}} \right]} \right|_{ - 1}^1\] \[\displaystyle = \frac{1}{{2008}} + \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}} + \frac{1}{{2009}}\] \[\displaystyle = \frac{2}{{2009}}\] hay D đúng.
Đáp án C:
Sai vì \[{\left[ {1 + x} \right]^x} \ge 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\] nên nhờ ý nghĩa hình học của tích phân ta có \[\int\limits_0^1 {{{\left[ {1 + x} \right]}^x}dx} > 0\]
Chọn C.