Đề bài
Cho hai đoạn thẳng \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[E.\] Biết \[AE.EC = BE.ED\]. Chứng minh bốn điểm \[A, B, C, D \]cùng nằm trên một đường tròn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Các điểm cùng nhìn một cạnh cố định dưới góc bằng nhau thì các điểm đó cùng thuộc một cung chứa góc vẽ trên cạnh cố định.
+] Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Lời giải chi tiết
Từ \[AE. EC =BE. ED \;\;[gt]\]
\[ \Rightarrow \displaystyle {{AE} \over {ED}} = {{BE} \over {EC}}\]
Xét \[AEB\] và \[DEC:\]
\[\displaystyle{{AE} \over {ED}} = {{BE} \over {EC}}\]
\[\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\][đối đỉnh]
Suy ra: \[AEB\] đồng dạng \[DEC\;\; [c.g.c]\]
\[ \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {CDE}\] hay \[\widehat {BAC} = \widehat {CDB}\]
Từ đó: \[A\] và \[D\] nhìn đoạn \[BC\] cố định dưới một góc bằng nhau nên \[4\] điểm \[A,B, C, D\] nằm trên một đường tròn.