Đề bài
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng \[\left[ {MNP} \right]\] chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Giả sử đường thẳng MN cắt CD và BC lần lượt tại K và I.
Dễ thấy :
\[\eqalign{ & CK = {3 \over 2}CD,CI = {3 \over 2}CB, \cr & d\left[ {P,\left[ {ABC} \right]} \right] = {1 \over 2}d\left[ {S,\left[ {ABC} \right]} \right]. \cr & \cr} \]
\[{V_{P.CIK}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}CI.CK\sin\widehat {ICK}\] .\[d\left[ {P,\left[ {ABC} \right]} \right]\]
\[ = {1 \over 3}.{1 \over 2}.{3 \over 2}CB.{3 \over 2}CD\sin\widehat {BCD}\] .\[{1 \over 2}d\left[ {S,[ABC]} \right]\]
=\[{9 \over {16}}[{1 \over 3}CB.CD\sin\widehat {BCD}\] .\[d\left[ {S,[{\rm{ABC]}}} \right]\]
\[ \Rightarrow {V_{P.CIK}} = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}}.\]
Ta có :
\[\eqalign{ & {{{V_{I.BEM}}} \over {{V_{I.CPK}}}} = {{IB} \over {IC}}.{{IE} \over {IP}}.{{IM} \over {IK}}\cr& = {1 \over 3}.{1 \over 2}.{1 \over 3} = {1 \over {18}} \cr & \Rightarrow {V_{I.BEM}} = {1 \over {18}}{V_{I.CPK}} = {1 \over {18}}{V_{P.CIK}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}. \cr} \]
Tương tự , ta cũng có \[{V_{K.NDF}} = {1 \over {18}}{V_{P.CIK}} = {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}.\]
Vậy nếu gọi V2là thể tích của phần khối chóp giới hạn bởi \[mp\left[ {MNP} \right]\] với mặt phẳng đáy thì :
\[\eqalign{ & {V_2} = {V_{P.CIK}} - \left[ {{V_{I.BEM}} + {V_{K.NDF}}} \right] \cr & = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}} - \left[ {{1 \over {32}}{V_{S.ABCD}} + {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}} \right] \cr & = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}} - {1 \over {16}}{V_{S.ABCD}} = {1 \over 2}{V_{S.ABCD}}. \cr} \]
Vậy phần còn lại, tức là phần của khối chóp nằm trên \[mp\left[ {MNP} \right]\], có thể tích V1cũng bằng \[{1 \over 2}{V_{S.ABCD}}\].
Do đó V1= V2.