Đề bài
Câu 1[3 điểm]
1. [1,5 điểm]. Hãy điền những từ còn thiếu vào trong các câu sau:
a] Góc nội tiếp là góc có đỉnh..và hai cạnh chứa
b] Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng
2. [1,5 điểm]. Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp trong đường tròn. Kéo dài \[AB\] về phía \[B\] một đoạn \[BE\], biết \[\widehat {ADC} = {68^o}\] . Hãy chọn số đo của góc \[CBE\] trong các số đo sau:
[A] \[66^\circ \] [B] \[68^\circ \]
[C] \[70^\circ \] [D] \[72^\circ \]
Câu 2[3 điểm]. Cho đường tròn \[[O]\] và dây \[AB\] không qua tâm \[O\]. Trên dây \[AB\] lấy các điểm \[C, D, E\] sao cho \[AC = CD = DE = EB\]. Các tia \[OC, OD, OE\] lần lượt cắt đường tròn tại \[M, N\] và \[P\]. Chứng minh rằng:
a [1,5 điểm].\[\overparen{AM}=\overparen{PB}\]
b [1,5 điểm]. \[\widehat {MON} = \widehat {PON}\]
Câu 3[4 điểm]. Cho đường tròn \[[O ; R]\] đường kính \[AB\]. Hai dây \[AD\] và \[BC\] cắt nhau tại \[E\] nằm trong đường tròn. Từ \[E\] kẻ \[EF\] vuông góc với \[AB\] tại \[F\]. Chứng minh:
a] [1,5 điểm]. Tứ giác \[AFEC\] nội tiếp
b] [1,5 điểm]. Tam giác \[EFB\] đồng dạng với tam giác \[ACB\]
c] [1 điểm]. \[AE.AD + BE.BC = 4{R^2}\]
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp:
1. Sử dụng định nghĩa góc nội tiếp và số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
2. Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp: Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng \[180^\circ \] và tính chất hai góc kề bù.
Lời giải:
1. a] Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây của đường tròn
b] Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn
2.
Vì \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp nên \[\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] lại có \[\widehat {ABC} + \widehat {CBE} = 180^\circ \] [hai góc kề bù] nên \[\widehat {CBE} = \widehat {ADC} = 68^\circ \] .
Chọn B.
Câu 2:
Phương pháp:
Sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung: Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
Sử dụng tính chất tam giác cân
Sử dụng tính chất: Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
Lời giải:
a] Ta có \[AC = CD = DE = EB \Rightarrow D\] là trung điểm của \[AB\] và \[D\] là trung điểm của \[CE.\]
Xét tam giác \[AOB\] cân tại \[O\left[ {do\,OA = OB} \right]\] có \[OD\] là đường trung tuyến nên \[OD\] cũng là đường phân giác\[ \Rightarrow \widehat {AON} = \widehat {BON}\] [1]
Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[D\] là trung điểm dây \[AB\] nên \[OD \bot AB\] tại \[D\] [quan hệ giữa đường kính và dây cung]
Suy ra tam giác \[ODE\] cân tại \[O\] [vì \[OD\] vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến] suy ra \[OD\] là phân giác góc \[\widehat {COE} \Rightarrow \widehat {MON} = \widehat {NOP}\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat {AOM} - \widehat {MON} = \widehat {BON} - \widehat {PON}\]\[ \Leftrightarrow \widehat {AOM} = \widehat {POB}\]
Suy ra\[\overparen{AM}=\overparen{PB}\] [hai góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau]
b] Theo [2] ta có \[\widehat {MON} = \widehat {NOP}\].
Câu 3:
Phương pháp:
a] Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \[180^\circ \] là tứ giác nội tiếp
b] Sử dụng trường hợp đồng dạng góc góc
c] Từ các cặp tam giác đồng dạng suy ra các tỉ lệ cạnh để có hệ thức cần chứng minh.
Lời giải:
a] Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[\widehat {ACB} = 90^\circ \] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Xét tứ giác \[ACEF\] có \[\widehat {ACE} + \widehat {AFE} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác \[AFEC\] là tứ giác nội tiếp [dhnb]
b] Xét \[\Delta EFB\] và \[\Delta ACB\] có \[\widehat {ACB} = \widehat {EFB}\left[ { = 90^\circ } \right];\,\widehat {EBF}\] chung nên \[\Delta EFB \backsim \Delta ACB\left[ {g - g} \right]\]
c] Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[\widehat {ADB} = 90^\circ \] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Xét \[\Delta EFA\] và \[\Delta BDA\] có \[\widehat {ADB} = \widehat {EFA}\left[ { = 90^\circ } \right];\,\widehat {EAF}\] chung nên \[\Delta EFA \backsim \Delta BDA\left[ {g - g} \right]\]
Suy ra \[\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{FA}}{{DA}} \Rightarrow AE.AD = AF.AB\] [1]
Theo câu b] ta có \[\Delta EFB \backsim \Delta ACB \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{AB}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\]\[ \Rightarrow BE.BC = AB.BF\] [2]
Từ [1] và [2] và \[AB = 2R\] suy ra \[AE.AD + BE.BC\]\[ = AF.AB + BF.AB\]\[ = AB\left[ {AF + FB} \right] = AB.AB\]\[ =2R.2R = 4{R^2}\]
Vậy \[AE.AD.BE.BC = 4{R^2}\] [đpcm].