Đề bài - đề số 4 - đề kiểm tra học kì 2 (đề thi học kì 2) - toán 12

Đề bài

Câu 1: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = a,\] \[x = b\] là:

A. \[S = \left| {\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} } \right|\]

B. \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} \]

C. \[S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left[ x \right]dx} \]

D. \[S = \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \]

Câu 2: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \[{z^2} - 2z + 5 = 0\] là:

A. \[ - 1 + 2i.\] B. \[1 - 2i.\]

C. \[ - 1 - 2i.\] D. \[1 + 2i.\]

Câu 3: Cho hình phẳng \[\left[ H \right]\] được giới hạn bởi các đường \[x = 0,\] \[x = \pi ,\] \[y = 0\] và \[y = - \cos x\]. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \[\left[ H \right]\] xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

A. \[V = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} \]

B. \[V = \pi \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \]

C. \[V = \pi \left| {\int\limits_0^\pi {\left[ { - \cos x} \right]dx} } \right|\]

D. \[V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} \]

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm \[A\left[ {1; - 4; - 3} \right]\] và \[\overrightarrow n = \left[ { - 2;5;2} \right]\]. Phương trình mặt phẳng \[\left[ P \right]\] đi qua điểm A và nhận \[\overrightarrow n \] làm vecto pháp tuyến là

A. \[ - 2x + 5y + 2z - 28 = 0\]

B. \[x - 4y - 3z + 28 = 0\]

C. \[x - 4y - 3z - 28 = 0\]

D. \[ - 2x + 5y + 2z + 28 = 0\]

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = 3{x^2} - 2x + 3\] là:

A. \[3{x^3} - 2{x^2} + 3x + C.\]

B. \[{x^3} - {x^2} + C.\]

C. \[{x^3} - {x^2} + 3x + C.\]

D. \[6x - 2 + C.\]

Câu 6: Cho hai hàm số \[y = f\left[ x \right],\] \[y = g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và các đường thẳng \[x = a,\] \[x = b\] là:

A. \[\int\limits_a^b {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} .\]

B. \[\int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]

C. \[\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} .} \right|\]

D. \[\int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx - \int\limits_a^b {\left| {g\left[ x \right]} \right|dx} .} .\]

Câu 7: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\left[ {1;9} \right]\], thỏa mãn \[\int\limits_1^9 {f\left[ x \right]dx = 7} \] và \[\int\limits_4^5 {f\left[ x \right]dx = 3} \]. Tính giá trị biểu thức \[P = \int\limits_1^4 {f\left[ x \right]dx + } \int\limits_5^9 {f\left[ x \right]dx.} \]

A. \[P = 4\]. B. \[P = 3\].

C. \[P = 10\]. D. \[P = 2\].

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm \[A\left[ {2;3;5} \right]\]. Tìm tọa độ điểm A là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

A. \[A'\left[ {2;0;5} \right]\]

B. \[A'\left[ {0;3;5} \right]\]

C. \[A'\left[ {0;3;0} \right]\]

D. \[A'\left[ {2;0;0} \right]\]

Câu 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \[A\left[ {1;2;3} \right]\] và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1; - 2} \right].\]

A. \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\]

B. \[\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.\]

C. \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}.\]

D. \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}\]

Câu 10: Gọi \[{z_1};\,\,{z_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[2{z^2} + 10z + 13 = 0\], trong đó \[{z_1}\] có phần ảo dương. Số phức \[2{z_1} + 4{z_2}\] bằng

A. \[1 - 15i.\] B. \[ - 15 + i\]

C. \[ - 15 - i\] D. \[ - 1 - 15i\]

Câu 11: Số phức \[z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}\] có phần thực là

A. 3. B. 1.

C. \[ - 3\]. D. \[ - 1.\]

Câu 12: Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \[\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\] là:

A. \[\overrightarrow n = \left[ { - 5;1; - 2} \right]\]

B. \[\overrightarrow n = \left[ { - \frac{1}{5}; - 1; - \frac{1}{2}} \right]\]

C. \[\overrightarrow n = \left[ {2; - 10;5} \right]\]

D. \[\overrightarrow n = \left[ { - 2; - 10;20} \right]\]

Câu 13: Phần thực của số phức \[\left[ {2 - i} \right]\left[ {1 + 2i} \right]\] là:

A. 4. B. 5.

C. 3. D. 0.

Câu 14: Cho các số phức \[{z_1} = 3 + 4i,\] \[{z_2} = 5 - 2i\]. Tìm số phức liên hơp \[\overline z \] của số phức \[z = 2{z_1} + 3{z_2}\].

A. \[\overline z = 8 - 2i.\]

B. \[\overline z = 21 - 2i.\]

C. \[\overline z = 21 + 2i.\]

D. \[\overline z = 8 + 2i.\]

Câu 15: Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là \[\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k \] cho điểm

\[M\left[ {3; - 4;12} \right]\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \[\overrightarrow {OM} = - 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \]

B. \[\overrightarrow {OM} = - 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 12\overrightarrow k \]

C. \[\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \]

D. \[\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \]

Câu 16: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \[A\left[ {3;1;2} \right]\] và vuông góc với mặt phẳng \[x + y + 3z + 5 = 0\] có phương trình là

A. \[\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}\]

B. \[\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\]

C. \[\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\]

D. \[\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\]

Câu 17: \[\int {{e^{ - 2x + 1}}dx} \] bằng

A. \[\frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\]

B. \[ - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\]

C. \[{e^{ - 2x + 1}} + C.\]

D. \[ - 2{e^{ - 2x + 1}} + C.\]

Câu 18: Tính môđun \[\left| z \right|\] của số phức \[z = \left[ {2 + i} \right]{\left[ {1 + i} \right]^2} + 1\].

A. \[\left| z \right| = 17.\]

B. \[\left| z \right| = \sqrt {15} .\]

C. \[\left| z \right| = 3.\]

D. \[\left| z \right| = \sqrt {17} .\]

Câu 19: Cho \[{z_1};\,\,{z_2}\] là hai nghiệm phức của phương trình \[{z^2} - 2z + 5 = 0\], biết \[{z_1} - {z_2}\] có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức \[{\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2\].

A. 3. B. \[ - 12.\]

C. \[ - 3.\] D. \[12.\]

Câu 20: Cho tích phân \[I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx} \]. Nếu đặt \[t = \ln x\] thì:

A. \[I = \int\limits_1^e {\left[ {2t + 3} \right]dt} .\]

B. \[I = \int\limits_0^1 {\left[ {2t} \right]dt} .\]

C. \[I = \int\limits_0^1 {\left[ {2t + 3} \right]dt} .\]

D. \[I = \int\limits_0^1 {\left[ {2\ln t + 3} \right]dt} .\]

Câu 21: Cho hai hàm số \[y = g\left[ x \right]\] và \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;c} \right]\] có đồ thị như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên được tính theo công thức:

A. \[S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left[ x \right] - f\left[ x \right]} \right]dx} \]\[ + \int\limits_b^c {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx.} \]

B. \[S = \int\limits_a^c {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]

C. \[S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left[ x \right] - f\left[ x \right]} \right]dx} \]\[ - \int\limits_b^c {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx.} \]

D. \[S = \left| {\int\limits_a^c {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\]

Câu 22: Biết \[\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx} = a\ln 2 + b\] với \[a,\,\,b\] là các số hữu tỉ. Khi đó \[{b^2} - 2a\] bằng

A. 33. B. 26.

C. 17. D. 6.

Câu 23: Cho hai số phức \[{z_1} = - 1 + 2i;\] \[{z_2} = 1 + 2i\]. Tinh \[T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\]

A. \[T = 2\sqrt 5 \] B. \[T = 4\]

C. \[T = 10\] D. \[T = 7\]

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,3x + 4y - 12z + 5 = 0\] và điểm \[A\left[ {2;4; - 1} \right]\]. Trên mặt phẳng \[\left[ P \right]\] lấy điểm M. Gọi B là điểm sao cho \[\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM} \]. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng \[\left[ P \right]\].

A. \[d = 9.\] B. \[d = \frac{{30}}{{13}}.\]

C. \[d = 6.\] D. \[d = \frac{{66}}{{13}}.\]

Câu 25: Biết \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left[ {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right]dx = - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}} \] với \[a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}\], phân số \[\frac{a}{b}\] tối giản. Tính \[T = a + b + c.\]

A. \[T = 156.\] B. \[T = 62.\]

C. \[T = 159.\] D. \[T = 167.\]

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \[\left[ S \right]\] tâm \[I\left[ {1;2;1} \right]\] và cắt mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x - y + 2z + 7 = 0\] theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] là:

A. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 81\]

B. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 25\]

C. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 5\]

D. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 9\]

Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[I\left[ {3;4; - 5} \right]\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có phương trình \[2x + 6y - 3z + 4 = 0\]. Phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\] và tiếp xúc với \[\left[ P \right]\] là:

A. \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} + {\left[ {z + 5} \right]^2} = \frac{{361}}{{49}}\]

B. \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} + {\left[ {z + 5} \right]^2} = 49\]

C. \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {\left[ {y + 4} \right]^2} + {\left[ {z - 5} \right]^2} = 49\]

D. \[{\left[ {x + 3} \right]^2} + {\left[ {y + 4} \right]^2} + {\left[ {z - 5} \right]^2} = \frac{{361}}{{49}}\]

Câu 28: Trong không gian Oxyz, biết \[\overrightarrow n = \left[ {a;b;c} \right]\] là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua \[A\left[ {2;1;5} \right]\] và chứa trục Ox. Tính \[k = \frac{b}{c}.\]

A. \[k = - 5.\] B. \[k = \frac{1}{5}\]

C. \[k = 5.\] D. \[k = - \frac{1}{5}\]

Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x\] và đồ thị hàm số \[y = x - {x^2}\].

A. \[S = \frac{{81}}{{12}}\] B. \[S = 13\]

C. \[S = \frac{9}{4}\] D. \[S = \frac{{37}}{{12}}\]

Câu 30: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 4\] và các đường thẳng \[y = 0,\] \[x = - 1,\] \[x = 5\] bằng:

A. \[\frac{{49}}{3}\] B. 18

C. \[\frac{{65}}{3}\] D. 36

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \[A\left[ {0;1; - 1} \right],\] \[B\left[ {1;1;2} \right],\] \[C\left[ {1; - 1;0} \right]\] và \[D\left[ {0;0;1} \right]\]. Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] song song với mặt phẳng \[\left[ {BCD} \right]\] và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng \[\frac{1}{{27}}\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\].

A. \[ - y + z - 4 = 0\]

B. \[y - z - 1 = 0\]

C. \[y + z - 4 = 0\]

D. \[3x - 3z - 4 = 0\]

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \[A\left[ {0;0;1} \right],\] \[B\left[ {0;2;0} \right],\] \[C\left[ {3;0;0} \right]\]. Gọi \[H\left[ {x;y;z} \right]\] là trực tâm của tam giác ABC. Tính \[k = x + 2y + z.\]

A. \[k = \frac{{66}}{{49}}\] B. \[k = \frac{{36}}{{29}}\]

C. \[k = \frac{{74}}{{49}}\] D. \[k = \frac{{12}}{7}\]

Câu 33: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {e^{2x}},\] \[y = 0,\] \[x = 0,\] \[x = 2\] được biểu diễn bởi \[\frac{{{e^a} - b}}{c}\] với \[a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\]. Tính \[P = a + 3b - c.\]

A. \[P = 5.\] B. \[P = - 1\]

C. \[P = 6\] D. \[P = 3\]

Câu 34: Tìm nguyên hàm \[F\left[ x \right]\] của hàm số \[f\left[ x \right] = {\tan ^2}x\] biết phương trình \[F\left[ x \right] = 0\] có một nghiệm bằng \[\frac{\pi }{4}.\]

A. \[F\left[ x \right] = \tan x - 1\]

B. \[F\left[ x \right] = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1\]

C. \[F\left[ x \right] = \tan x + x + \frac{\pi }{4} - 1\]

D. \[F\left[ x \right] = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 4\]

Câu 35: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] đi qua hai điểm \[A\left[ {1;4;4} \right]\] và \[B\left[ { - 1;0;2} \right].\]

A. \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\]

B. \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\]

C. \[\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\]

D. \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\]

Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\]. Đường thẳng đi qua điểm \[M\left[ {2;1; - 1} \right]\] và song song với đường thẳng d có phương trình là:

A. \[\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\]

B. \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\]

C. \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\]

D. \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\]

Câu 37: Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết \[A\left[ {2;0;0} \right],\] \[B\left[ {0;3;0} \right]\] và \[C\left[ {0;0;4} \right]\]

A. \[S = 2\sqrt {61} \] B. \[S = \frac{{\sqrt {61} }}{2}\]

C. \[S = \frac{{\sqrt {61} }}{3}\] D. \[S = \sqrt {61} \]

Câu 38: Cho hình phẳng [H] giới hạn bởi đồ thị các hàm số \[y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi \]. Tính thể tích \[V\] của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \[\left[ H \right]\] quay xung quanh trục Ox.

A. \[V = \frac{\pi }{6}\left[ {3{\pi ^2} + 4\pi - 8} \right]\]

B. \[V = \frac{\pi }{{16}}\left[ {3{\pi ^2} - 4\pi - 8} \right]\]

C. \[V = \frac{\pi }{8}\left[ {3{\pi ^2} + 4\pi - 8} \right]\]

D. \[V = \frac{1}{{16}}\left[ {3{\pi ^2} - 4\pi - 8} \right]\]

Câu 39: Số phức liên hợp \[\overline z \] của số phức \[z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}}\] là:

A. \[\overline z = - 2 - 10i\]

B. \[\overline z = - 1 + 5i\]

C. \[\overline z = - 2 + 10i\]

D. \[\overline z = - 1 - 5i\]

Câu 40: Tính tích phân \[I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} .\]

A. \[I = 19\] B. \[I = 38\]

C. \[I = \frac{{670}}{3}\] D. \[I = \frac{{38}}{3}\]

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\] và \[\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\]. Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.

A. \[OM = \sqrt {35} \] B. \[OM = 2\sqrt {35} \]

C. \[OM = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\] D. \[OM = \sqrt 5 \]

Câu 42: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = - {3^x},\] \[y = 0,\] \[x = 0,\] \[x = 4\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \[S = \pi \int\limits_0^4 {{3^{2x}}dx} \]

B. \[S = \int\limits_0^4 {\left[ { - {3^x}} \right]dx} \]

C. \[S = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \]

D. \[S = \pi \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \]

Câu 43: Gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \[\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \]. Biết \[z = a + bi\] với\[a,\,\,b \in \mathbb{R}\], tính \[m = 2{a^2} - 3b.\]

A. \[m = 14.\] B. \[m = - 18.\]

C. \[m = - 10.\] D. \[m = 54.\]

Câu 44: Cho phương trình \[{x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\] [với phân số \[\frac{c}{d}\] tối giản] có hai nghiệm phức. Gọi A; B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều [O là gốc tọa độ]. Tính \[P = c + 2d.\]

A. \[P = - 14\] B. \[P = 22\]

C. \[P = 18\] D. \[P = - 10\]

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có phương trình \[2x - 6y - 4z + 7 = 0\] và ba điểm \[A\left[ {2;4; - 1} \right];\] \[B\left[ {1;4; - 1} \right];\] \[C\left[ {2;4;3} \right]\]. Gọi S là điểm nằm trên mặt phẳng \[\left[ P \right]\] sao cho \[SA = SB = SC\]. Tính \[l = SA + SB\].

A. \[l = \sqrt {53} \]

B. \[l = \sqrt {37} \]

C. \[l = \sqrt {117} \]

D. \[l = \sqrt {101} \]

Câu 46: Biết \[\int\limits_0^4 {x\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]dx} = \frac{a}{b}\ln a - c\], trong đó \[a,b\] là các số nguyên tố, c là số nguyên dương. Tính \[T = a + b + c.\]

A. \[T = 27.\] B. \[T = 35.\]

C. \[T = 23.\] D. \[T = 11.\]

Câu 47: Trên tập số phức, phương trình \[{z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\] có một nghiệm là

A. \[z = 3 - {2019^{2020}}i\]

B. \[z = 3 - {2019^{1010}}i\]

C. \[z = 3 + {2019^{1010}}i\]

D. \[z = 3 + {2019^{2020}}i\]

Câu 48: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\]

A. \[I\left[ {2; - 1; - 1} \right];R = 9\]

B. \[I\left[ { - 2;1;1} \right];R = 9\]

C. \[I\left[ { - 2;1;1} \right];R = 3\]

D. \[I\left[ {2; - 1; - 1} \right];R = 3\]

Câu 49: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = x\ln x\], trục hoành và đường thẳng \[x = e\]. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành được viết dưới dạng \[\frac{\pi }{a}\left[ {b.{e^3} - 2} \right]\] với a và b là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \[T = a - {b^2}.\]

A. \[T = 2.\] B. \[T = - 12.\]

C. \[T = - 1.\] D. \[T = - 9.\]

Câu 50: Biết \[\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = \frac{{a - be}}{a}} \] với a là số nguyên tố. Tính \[S = 2{a^2} + b.\]

A. \[S = 19.\] B. \[S = 241.\]

C. \[S = 99.\] D. \[S = 9.\]

Lời giải chi tiết

Câu 1 [NB]

Phương pháp:

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = a,\] \[x = b\] là: \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} \].

Cách giải:

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = a,\] \[x = b\] là: \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} \].

Chon B.

Câu 2 [NB]

Phương pháp:

Tìm hai nghiệm phức của phương trình, sử dụng MTCT.

Cách giải:

Phương trình \[{z^2} - 2z + 5 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\]

Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là \[z = 1 + 2i.\]

Chọn D.

Câu 3 [NB]

Phương pháp:

Cho hình phẳng \[\left[ H \right]\] được giới hạn bởi các đường \[x = a,\] \[x = b,\] \[y = 0\] và \[y = f\left[ x \right]\]. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \[\left[ H \right]\] xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left[ x \right]dx} \].

Cách giải:

Cho hình phẳng \[\left[ H \right]\] được giới hạn bởi các đường \[x = a,\] \[x = b,\] \[y = 0\] và \[y = f\left[ x \right]\]. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \[\left[ H \right]\] xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \[V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\left[ { - \cos x} \right]}^2}dx} = \pi \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} .\]

Chọn D.

Câu 4 [NB]

Phương pháp:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua \[A\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\] là:

\[A\left[ {x - {x_0}} \right] + \left[ {y - {y_0}} \right] + C\left[ {z - {z_0}} \right] = 0\].

Cách giải:

Mặt phẳng \[\left[ P \right]\] đi qua \[A\left[ {1; - 4; - 3} \right]\] và có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left[ { - 2;5;2} \right]\] nên phương trình mặt phẳng \[\left[ P \right]\] là \[ - 2\left[ {x - 1} \right] + 5\left[ {y + 4} \right] + 2\left[ {z + 3} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.\]

Chọn D.

Câu 5 [NB]

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\] \[\left[ {n \ne - 1} \right]\].

Cách giải:

Ta có \[\int {f\left[ x \right]dx} = \int {\left[ {3{x^2} - 2x + 3} \right]dx} \].

\[ \Rightarrow \int {f\left[ x \right] = {x^3} - {x^2} + 3x + C} .\]

Chọn C.

Câu 6 [NB]

Phương pháp:

Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]

Cách giải:

Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]

Chọn B.

Câu 7 [TH]

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tích phân: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_a^c {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_c^b {f\left[ x \right]dx} ,\] \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = - \int\limits_b^a {f\left[ x \right]dx} .\]

Cách giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}P = \int\limits_1^4 {f\left[ x \right]dx + } \int\limits_5^9 {f\left[ x \right]dx.} \\P = \int\limits_1^9 {f\left[ x \right]dx + } \int\limits_9^4 {f\left[ x \right]dx} \\ + \int\limits_5^4 {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_4^9 {f\left[ x \right]dx} \\P = \int\limits_1^9 {f\left[ x \right]dx} - \int\limits_4^5 {f\left[ x \right]dx} \\P = 7 - 3 = 4.\end{array}\]

Chọn A.

Câu 8 [NB]

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \[A\left[ {x;y;z} \right]\] lên trục \[Oy\] có tọa độ là \[\left[ {0;y;0} \right]\].

Cách giải:

Hình chiếu của điểm \[A\left[ {2;3;5} \right]\] lên trục Oy là điểm \[A'\left[ {0;3;0} \right].\]

Chọn C.

Câu 9 [NB]

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] có phương trình là: \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\].

Cách giải:

Đường thẳng đi qua \[A\left[ {1;2;3} \right]\] và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1; - 2} \right]\] có dạng: \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\]

Chọn A.

Câu 10 [TH]

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi suy ra \[{z_1};\,\,{z_2}\].

- Xác định đúng \[{z_1},\,\,{z_2}\] dựa vào giả thiết, sau đó tính \[2{z_1} + 4{z_2}\].

Cách giải:

Ta có \[2{z^2} + 10z + 13 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\\z = - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\end{array} \right.\]

Mà \[{z_1}\] có phần ảo dương nên \[{z_1} = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i;\,\,{z_2} = - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i.\]

Vậy \[2{z_1} + 4{z_2} = - 15 - i.\]

Chọn C.\[\]

Câu 11 [NB]

Phương pháp:

Tính số phức z bằng MTCT sau đó suy ra phần thực.

Cách giải:

\[z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}} = 3 + i\]

Vậy phần thực của z bằng 3.

Chọn A.

Câu 12 [TH]

Phương pháp:

- Mặt phẳng \[Ax + By + Cz + D = 0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n \left[ {A;B;C} \right]\].

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ \[\overrightarrow n \] đều là 1 VTPT của \[\left[ P \right]\].

Cách giải:

Ta có \[\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\]\[ \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z + 10 = 0\]

Suy ra mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left[ {2; - 10;5} \right].\]

Chọn C.

Câu 13 [NB]

Phương pháp:

Tính số phức z bằng MTCT và suy ra phần thực của nó.

Cách giải:

Ta có \[z = \left[ {2 - i} \right]\left[ {1 + 2i} \right] = 4 + 3i.\]

Vậy phần thực của số phức z là 4.

Chọn A.

Câu 14 [TH]

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức \[z = a + bi\] là \[\overline z = a - bi\].

Cách giải:

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 5 - 2i\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow z = 2{z_1} + 3{z_2}\] \[ = 2\left[ {3 + 4i} \right] + 3\left[ {5 - 2i} \right]\] \[ = 21 + 2i\]

\[ \Rightarrow \overline z = 21 - 2i.\]

Chọn B.

Câu 15 [NB]

Phương pháp:

Điểm \[M\left[ {x;y;z} \right]\] thì \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \].

Cách giải:

Ta có \[M\left[ {3; - 4;12} \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \]

Chọn D.

Câu 16 [TH]

Phương pháp:

- Đường thẳng d vuông có với mp[P] nên có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} \] với \[\overrightarrow {{n_P}} \] là 1 VTPT của [P].

- Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] có phương trình là: \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\].

Cách giải:

Mặt phẳng \[\left[ P \right]:x + y + 3z + 5 = 0\] có 1 VTPT \[\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {1;1;3} \right].\]

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P] nên có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {1;1;3} \right].\]

Mà đường thẳng d đi qua \[A\left[ {3;1;2} \right]\] nên phương trình đường thẳng d là \[\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}.\]

Chọn B.

Câu 17 [TH]

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \[\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .\]

Cách giải:

Ta có \[\int {{e^{ - 2x + 1}}dx = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C} \]

Chọn B.

Câu 18 [TH] Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].

Cách giải:

Ta có \[z = \left[ {2 + i} \right]{\left[ {1 + i} \right]^2} + 1 = - 1 + 4i.\]

Vậy \[\left| z \right| = \sqrt {{{\left[ { - 1} \right]}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} .\]

Chọn D.

Câu 19 [TH]

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho.

- Sử dụng dữ kiện để tìm \[{z_1};\,\,{z_2}\] rồi tính số phức w.

Cách giải:

Ta có \[{z^2} - 2z + 5 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\]

Mà \[{z_1} - {z_2}\] có phần ảo là số thực âm nên \[\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 - 2i\\{z_2} = 1 + 2i\end{array} \right..\]

\[ \Rightarrow {\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2 = - 3 - 12i\].

Vậy phần ảo của số phức w là \[ - 12.\]

Chọn B.

Câu 20 [TH]

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ \[t = \ln x\], biểu diễn tất cả theo \[t\] và \[dt\].

- Đổi cận.

- Từ đó suy ra I biểu diễn theo t.

Cách giải:

Đặt \[t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}\]

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = e \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\].

Khi đó ta có: \[I = \int\limits_0^1 {\left[ {2t + 3} \right]dt} \]

Chọn C.

Câu 21 [TH]

Phương pháp:

- Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]

- Dựa vào đồ thị hàm số để phá trị tuyệt đối.

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\] trên đoạn \[\left[ {a;c} \right]\] có diện tích\[S = \int\limits_a^c {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]\[ = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + \int\limits_b^c {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]:\] \[f\left[ x \right] > g\left[ x \right] \Rightarrow f\left[ x \right] - g\left[ x \right] > 0\], do đó \[\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right| = f\left[ x \right] - g\left[ x \right],\]\[\forall x \in \left[ {a;b} \right]\]

+ Trên đoạn \[\left[ {b;c} \right]:\] \[f\left[ x \right] < g\left[ x \right] \Rightarrow f\left[ x \right] - g\left[ x \right] < 0\], do đó \[\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right| = - \left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right],\]\[\forall x \in \left[ {b;c} \right]\]

Vậy \[S = \int\limits_a^b {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} \]\[ - \int\limits_b^c {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} .\]

Chọn C.

Câu 22 [TH]

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \[\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\] \[\left[ {n \ne - 1} \right]\], \[\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|} + C.\]

Cách giải:

Ta có

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_1^3 {\frac{{2x + 2 - 5}}{{x + 1}}dx} \\I = \int\limits_1^3 {\left[ {2 - \frac{5}{{x + 1}}} \right]dx} \\ = \left. {\left[ {2x - 5\ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_1^3\\I = 6 - 5\ln 4 - 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln {2^2} + 5\ln 2\\I = 4 - 10\ln 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln 2\end{array}\]

Khi đó \[a = 4;\,\,b = - 5\,\,\left[ {tm} \right].\]

Vậy \[{b^2} - 2a = {\left[ { - 5} \right]^2} - 2.4 = 17.\]

Chọn C.

Câu 23 [NB]

Phương pháp:

Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \].

Cách giải:

Ta có

\[\begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left[ { - 1} \right]}^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \\{z_2} = 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \end{array}\]

Vậy \[T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5 + 5 = 10.\]

Chọn C.

Câu 24 [TH]

Phương pháp:

- Gọi \[H,\,\,K\] lần lượt là hình chiếu của A, B lên [P].

- Sử dụng định lí Ta-lét chứng minh \[\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left[ {A;\left[ P \right]} \right]}}{{d\left[ {B;\left[ P \right]} \right]}}\].

- Tính khoảng cách từ A đến [P]: Khoảng cách từ \[A\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là \[d\left[ {A,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].

Cách giải:

Vì \[\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM} \Rightarrow A;\,\,B\] nằm hai phía của mặt phẳng \[\left[ P \right]\] và \[\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}\].

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên [P]. Khi đó ta có AH // BK. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left[ {A;\left[ P \right]} \right]}}{{d\left[ {B;\left[ P \right]} \right]}} = \frac{1}{2}\].

Mà \[d\left[ {A;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12\left[ { - 1} \right] + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left[ { - 12} \right]}^2}} }} = 3\].

Vậy \[d\left[ {B;\left[ P \right]} \right] = 2d\left[ {A;\left[ P \right]} \right] = 6.\]

Chọn C.

Câu 25 [VD]

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ t = tanx.

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính tổng T = a + b + c.

Cách giải:

Ta có \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left[ {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right]dx} \]

Đặt \[t = \tan x\]\[ \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\] \[ = \left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right]dx\] \[ = \left[ {1 + {t^2}} \right]dx\]

\[ \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\]

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\].

Khi đó ta có: \[I = \int\limits_0^1 {\left[ {{t^2} + 2{t^8}} \right]\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {2{t^6} - 2{t^4} + 2{t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right]dt} \\ \Rightarrow I = \left. {\left[ {\frac{{2{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{2{t^3}}}{3} - t} \right]} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\ \Rightarrow I = - \frac{{47}}{{105}} + {I_1}\end{array}\]

Đặt \[t = \tan u\]\[ \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = \left[ {1 + {{\tan }^2}u} \right]du\]

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\].

Khi đó ta có: \[{I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left[ {1 + {{\tan }^2}u} \right]du}}{{1 + {{\tan }^2}u}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du} = \frac{\pi }{4}\].

\[ \Rightarrow I = - \frac{{47}}{{105}} + \frac{\pi }{4}\]\[ \Rightarrow a = 47,\,\,b = 105,\,\,c = 4\]

Vậy \[T = a + b + c\]\[ = 47 + 105 + 4 = 156\]

Chọn A.

Câu 26 [TH]

Phương pháp:

- Tính \[d = d\left[ {I;\left[ P \right]} \right]\]. Khoảng cách từ \[I\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng là \[d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\].

- Sử dụng định lí Pytago: \[{R^2} = {r^2} + {d^2}\] với R là bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến.

- Mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\], bán kính \[R\] có phương trình \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].

Cách giải:

Mặt phẳng [P] cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có đường kính bằng 8 nên có bán kính r = 4.

Ta có: \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {2.1 - 2 + 2.1 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 1} \right]}^2} + {2^2}} }} = 3\]

Gọi R là bán kính mặt cầu [S], áp dụng định lí Pytago ta có: \[{R^2} = {r^2} + {d^2} = {4^2} + {3^2} = 25\]

Vậy phương trình mặt cầu là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 25\].

Chọn B.

Câu 27 [VD]

Phương pháp:

+] \[\left[ P \right]\] tiếp xúc với \[\left[ S \right] \Rightarrow d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = R\].

+] Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] bán kính \[R\] là \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\].

Cách giải:

+] \[\left[ P \right]\] tiếp xúc với \[\left[ S \right]\]

\[ \Rightarrow d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = R\] \[ = \frac{{\left| {2.3 + 6.4 - 3\left[ { - 5} \right] + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} }}\] \[ = \frac{{49}}{7} = 7\]

+] Phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\] và tiếp xúc với \[\left[ P \right]\] là: \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 4} \right]^2} + {\left[ {z + 5} \right]^2} = 49\]

Chọn B.

Câu 28 [TH]

Phương pháp:

- \[\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left[ P \right]\\Ox \subset \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\] là 1 VTPT của [P].

- \[\overrightarrow n \left[ {a;b;c} \right]\] cũng là 1 VTPT của [P] nên \[\overrightarrow n \] cùng phương với vectơ \[\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\].

Cách giải:

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left[ P \right]\\Ox \subset \left[ P \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\] là 1 VTPT của [P].

\[\overrightarrow {OA} = \left[ {2;1;5} \right],\,\,\overrightarrow i = \left[ {1;0;0} \right]\] \[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left[ {0;5; - 1} \right]\].

Vì \[\overrightarrow n \left[ {a;b;c} \right]\] cũng là 1 VTPT của [P], ta chọn \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left[ {0;5; - 1} \right]\] \[ \Rightarrow a = 0,\,\,b = 5,\,\,c = - 1\].

Vậy \[k = \frac{b}{c} = \frac{5}{{ - 1}} = - 5\].

Chọn A.

Câu 29 [VD]

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^3} - x = x - {x^2}\]\[ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \[y = {x^3} - x\] và \[y = x - {x^2}\] là

\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {{x^3} + {x^2} - 2x} \right]dx} } \right|\\ + \left| {\int\limits_0^1 {\left[ {{x^3} + {x^2} - 2x} \right]dx} } \right|\\ = \frac{8}{3} + \frac{5}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}.\end{array}\]

Chọn D.

Câu 30 [VD]

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\].

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 4\] và các đường thẳng \[y = 0,\] \[x = - 1,\] \[x = 5\] là:

\[\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {{x^2} - 4} \right]dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^5 {\left[ {{x^2} - 4} \right]dx} } \right|\\ = 9 + 27 = 36.\end{array}\]

Chọn D.

Câu 31 [VD]

Phương pháp:

- Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] song song với mặt phẳng \[\left[ {BCD} \right]\] cắt AB,AC,AD lần lượt tại B,C,D.

- Áp dụng tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A, B, C. Khi đó ta có: \[\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\].

- Tính tỉ số, từ đó xác định tọa độ điểm B.

- Viết phương trình mặt phẳng song song với [BCD] và đi qua điểm B.

Cách giải:

Giả sử mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] song song với mặt phẳng \[\left[ {BCD} \right]\] cắt AB, AC, AD lần lượt tại B, C, D.

Đặt \[\frac{{AB'}}{{AB}} = k\]. Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được \[\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{AD'}}{{AD}} = k\].

Khi đó ta có \[\frac{{{V_{AB'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{AD'}}{{AD}}\]\[ \Leftrightarrow {k^3} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}.\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow AB' = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 0 = \frac{1}{3}.1\\{y_{B'}} - 1 = \frac{1}{3}.0\\{z_{B'}} + 1 = \frac{1}{3}.3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{1}{3}\\{y_{B'}} = 1\\{z_{B'}} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow B'\left[ {\frac{1}{3};1;0} \right]\end{array}\]

Mặt khác \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} = \left[ {0; - 2; - 2} \right]\\\overrightarrow {BD} = \left[ { - 1; - 1; - 1} \right]\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left[ {BCD} \right]}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\] \[ = \left[ {0;2; - 2} \right]\parallel \left[ {0;1; - 1} \right]\]

Vì \[\left[ \alpha \right]\parallel \left[ {BCD} \right]\] nên \[\overrightarrow n \left[ {0;1; - 1} \right]\] cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\].

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] là: \[0.\left[ {x - \frac{1}{3}} \right] + 1.\left[ {y - 1} \right] - 1.z = 0\] \[ \Leftrightarrow y - z - 1 = 0\].

Chọn B.

Câu 32 [VD]

Phương pháp:

- Áp dụng tính chất của trực tâm: \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left[ {ABC} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\H \in \left[ {ABC} \right]\end{array} \right.\].

- Gọi \[H\left[ {x;y;z} \right]\], giải hệ phương trình tìm \[H\].

Cách giải:

Phương trình mặt phẳng [ABC] là: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\]\[ \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 6 = 0\]

Gọi \[H\left[ {x;y;z} \right]\].

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left[ {ABC} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\H \in \left[ {ABC} \right]\end{array} \right.\].

Ta có

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left[ {x;y;z - 1} \right];\,\,\overrightarrow {BH} = \left[ {x;y - 2;z} \right]\\\overrightarrow {BC} = \left[ {3; - 2;0} \right];\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left[ {3;0; - 1} \right]\end{array}\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 0\\3x - z = 0\\2x + 3y + 6z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{{49}}\\y = \frac{{18}}{{49}}\\z = \frac{{36}}{{49}}\end{array} \right.\].

Vậy \[k = x + 2y + z = \frac{{12}}{7}.\]

Chọn D.

Câu 33 [TH]

Phương pháp:

- Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]

- Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: \[\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C.\]

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính P.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.

Sử dụng các công thức tính nguyên hàm.

Cách giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {e^{2x}},\] \[y = 0,\] \[x = 0,\] \[x = 2\] là

\[S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^{2x}}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx} \]\[ = \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^4} - 1}}{2}\]

Khi dó \[a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 2.\]

Vậy \[P = a + 3b - c\] \[ = 4 + 3.1 - 2 = 5.\]

Chọn A.

Câu 34 [TH]

Phương pháp:

- Sử dụng biến đổi lượng giác: \[{\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\].

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \tan x + C\].

- Sử dụng giả thiết \[F\left[ {\frac{\pi }{4}} \right] = 0\] tìm C.

Cách giải:

Ta có \[F\left[ x \right]\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left[ x \right] = {\tan ^2}x\] nên

\[\begin{array}{l}F\left[ x \right] = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left[ x \right] = \int {\left[ {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right]dx} \\ \Rightarrow F\left[ x \right] = \tan x - x + C\end{array}\]

Mà \[F\left[ {\frac{\pi }{4}} \right] = 0 \Rightarrow 1 - \frac{\pi }{4} + C = 0\]\[ \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} - 1.\]

Vậy \[F\left[ x \right] = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1.\]

Chọn B.

Câu 35 [VD]

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận \[\overrightarrow {AB} \] là 1 VTCP.

- Đường thẳng đi qua \[A\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] có phương trình là: \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\].

Cách giải:

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 2; - 4; - 2} \right]\] là 1 VTCP của đường thẳng \[\Delta \] , suy ra \[\overrightarrow u \left[ {1;2;1} \right]\] cũng là 1 VTCP của \[\Delta \].

Phương trình đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[A\left[ {1;4;4} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {1;2;1} \right]\] là: \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{1}\].

Ta thấy \[M\left[ {0;2;3} \right] \in \Delta \] , do đó phương trình \[\Delta \] cũng có dạng \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\].

Chọn A.

Câu 36 [VD]

Phương pháp:

- Hai đường thẳng song song thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của đường thẳng kia.

- Đường thẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có 1 VTCP \[\overrightarrow u \left[ {a;b;c} \right]\] có phương trình là: \[\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\].

Cách giải:

Đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow u \left[ { - 1;2; - 1} \right]\].

Do đó đường thẳng d song song với d có 1 VTCP là \[\overrightarrow {u'} \left[ {1; - 2;1} \right]\].

Vậy phương trình đường thẳng d đi qua M[2;1;-1] và song song với d có phương trình là: \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\].

Dễ thấy điểm \[A\left[ {0;5; - 3} \right] \in d'\], do đó phương trình đường thẳng d có dạng \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\].

Chọn B.

Câu 37 [TH]

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\].

Cách giải:

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 2;3;0} \right];\,\,\overrightarrow {AC} = \left[ { - 2;0;4} \right]\] \[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {12;8;6} \right]\].

Vậy \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\]\[ = \frac{1}{2}.\sqrt {{{12}^2} + {8^2} + {6^2}} = \sqrt {61} \]

Chọn D.

Câu 38 [VD]

Phương pháp:

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[\left[ H \right]\] là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục Ox và hai đường thẳng \[x = a\] và \[x = b\]. Thể tích \[V\] của khối tròn xoay tạo thanh khi quay \[\left[ H \right]\] quanh trục Ox được tính theo công thức \[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left[ x \right]dx} .\]

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[y = \sqrt x \cos \frac{x}{2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\]

Xét \[x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right] \Rightarrow x = \pi \]

\[ \Rightarrow V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {x{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} \approx 1,775\].

Chọn B.

Câu 39 [TH]

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức \[z = a + bi\] là \[\overline z = a - bi\].

Cách giải:

Ta có \[z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}} = - 1 + 5i\]\[ \Rightarrow \overline z = - 1 - 5i\]

Chọn D.

Câu 40 [TH]

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm \[\int {\sqrt {ax + b} dx} \]\[ = \frac{1}{a}.\frac{2}{3}\left[ {ax + b} \right]\sqrt {ax + b} + C\]

Cách giải:

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} \\ = \frac{2}{3}\left. {\left[ {x + 2} \right]\sqrt {x + 2} } \right|_2^7 = \frac{{38}}{3}.\end{array}\]

Chọn D.

Câu 41 [VD]

Phương pháp:

- Gọi giao điểm của đoạn vuông góc chung với hai đường thẳng đã cho.

- Áp dụng tính chất vuông góc để tìm hai giao điểm đó.

Cách giải:

Gọi \[A \in {d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\]\[ \Rightarrow A\left[ {a + 2;a + 4; - 2a} \right]\]

\[B \in {d_2}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\]\[ \Rightarrow B\left[ {2b + 3; - b - 1; - b - 2} \right]\]

Khi đó \[\overrightarrow {AB} = \left[ {2b - a + 1; - b - a - 5; - b + 2a - 2} \right]\]

Mà \[\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_1}} = \left[ {1;1; - 2} \right]\] và \[\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_2}} = \left[ {2; - 1; - 1} \right]\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a + 1 - b - a - 5 -\\2\left[ { - b + 2a - 2} \right] = 0\\2\left[ {2b - a + 1} \right] + b + a + 5 + b\\ - 2a + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + 3b = 0\\ - 3a + 6b + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left[ {1;3;2} \right]\\B\left[ { - 1;1;0} \right]\end{array} \right.\end{array}\]

Vậy trung điểm M của AB là \[M\left[ {0;2;1} \right] \Rightarrow OM = \sqrt 5 .\]

Chọn D.

Câu 42 [TH]

Phương pháp:

Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = - {3^x},\] \[y = 0,\] \[x = 0,\] \[x = 4\] có diện tích là:

\[S = \int\limits_0^4 {\left| { - {3^x}} \right|dx} = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \]

Chọn C.

Câu 43 [VD]

Phương pháp:

- Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

- Gọi \[M\left[ {a;b} \right]\] là điểm biểu diễn số phức z.

- Khi đó: \[{\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }}\].

Cách giải:

Vì \[\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \] nên tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn [C] tâm \[I\left[ {2;8} \right]\], bán kính \[R = \sqrt {17} .\]

Gọi \[M\left[ {a;b} \right]\] là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó ta có \[\left| z \right| = OM\].

Do đó \[{\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} \Rightarrow M\] là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn [C].

Ta có đường thẳng OI có dạng \[y = 4x\]

M là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn [C] nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 8} \right]^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {4x - 8} \right]^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\17{\left[ {x - 2} \right]^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left[ {x - 2} \right]^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,\,\,y = 12\\x = 1,\,\,y = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left[ {3;12} \right]\\M\left[ {1;4} \right]\end{array} \right.\end{array}\]

Với M[3;12] thì \[OM = \sqrt {{3^2} + {{12}^2}} = 3\sqrt {17} \].

Với M[1;4] thì \[OM = \sqrt {{1^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \].

Vậy \[O{M_{\min }} = \sqrt {17} \Leftrightarrow a = 1,\,\,b = 4\] \[ \Rightarrow m = 2{a^2} - 3b = - 10.\]

Chọn C.

Câu 44 [VD]

Phương pháp:

- Áp dụng định lý viet.

- Sử dụng tính chất tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

Cách giải:

Phương trình \[{x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\] có hai nghiệm phức \[{z_1};{z_2}\] thỏa mãn \[\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{d}\end{array} \right.\]

Ta có \[{z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\]

Nên \[{z_1} + {z_2} = 2a = 4 \Rightarrow a = 2\]

Đặt \[A\left[ {2;b} \right];B\left[ {2; - b} \right]\]

Vì tam giác OAB đều nên \[OA = AB\]

\[ \Rightarrow 4 + {b^2} = 4{b^2} \Rightarrow {b^2} = \frac{4}{3}\]

Mà \[\frac{c}{d} = {z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{{16}}{3}\]

Nên \[\left\{ \begin{array}{l}c = 16\\d = 3\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow P = c + 2d = 22\]

Chọn B.

Câu 45 [VD]

Phương pháp:

- Gọi \[S\left[ {a;b;c} \right]\].

- Lập 3 phương trình ba ẩn, giải hệ phương trình tìm a, b, c.

- Tính \[SA\], sau đó tính l.

Cách giải:

Gọi \[S\left[ {a;b;c} \right].\]

Vì \[S \in \left[ P \right]\]\[ \Rightarrow 2a - 6b - 4c + 7 = 0\,\,\,\left[ 1 \right]\]

Theo bài ra ta có:

Thay vào [1] ta có: \[2.\frac{3}{2} - 6b - 4.1 + 7 = 0\]\[ \Leftrightarrow b = 1.\]

Khi đó ta có: \[S\left[ {\frac{3}{2};1;1} \right]\]\[ \Rightarrow SA = \sqrt {\frac{1}{4} + 9 + 4} = \frac{{\sqrt {53} }}{2}\]

Vậy \[l = SA + SB = 2SA = \sqrt {53} .\]

Chọn A.

Câu 46 [VD]

Phương pháp:

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \[t = {x^2} + 1\], sau đó sử dụng phương pháp từng phân.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính T.

Cách giải:

Ta có \[I = \int\limits_0^4 {x\ln \left[ {{x^2} + 1} \right]dx} \]

Đặt \[t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\]

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 17\end{array} \right.\].

Khi đó ta có: \[I = \frac{1}{2}\int\limits_1^{17} {\ln tdt} \].

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\].

\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left[ {\left. {t.\ln t} \right|_1^{17} - \int\limits_1^{17} {t.\frac{1}{t}dt} } \right]\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left[ {17\ln 17 - \int\limits_1^{17} {dt} } \right]\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left[ {17\ln 17 - \left[ {17 - 1} \right]} \right]\\ \Rightarrow I = \frac{{17}}{2}\ln 17 - 8\end{array}\]

\[ \Rightarrow a = 17,\,\,b = 2,\,\,c = - 8\].

Vậy \[T = a + b + c\] \[ = 17 + 2 + \left[ { - 8} \right] = 11.\]

Chọn D.

Câu 47 [VD]

Phương pháp:

Áp dụng định lý Vi-et: \[\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\].

Cách giải:

Ta có \[{z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}.{z_2} = {2019^{2020}} + 9\end{array} \right.\]

Đặt \[{z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\]

Nên \[{z_1} + {z_2} = 2a = 6 \Rightarrow a = 3\]

Mà \[{z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2}\]\[ \Rightarrow {b^2} = {2019^{2020}}\] \[ \Rightarrow b = \pm {2019^{1010}}\]

Vậy \[z = 3 \pm {2019^{1010}}i.\]

Chọn B.

Câu 48 [NB]

Phương pháp:

Mặt cầu \[\left[ S \right]:\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by \]\[+ 2cz + d = 0\] có tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \] với \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].

Cách giải:

Mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\] có tâm là \[I\left[ {2; - 1; - 1} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {4 + 1 + 1 + 3} = 3.\]

Chọn D.

Câu 49 [VD]

Phương pháp:

Cho hàm số \[f\left[ x \right]\]liên tục \[\left[ {a;b} \right]\], thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], \[y = g\left[ x \right]\], các đường thẳng \[x = a,\,\,x = b\] là \[V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left[ x \right] - {g^2}\left[ x \right]} \right|dx} .\]

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[x\ln x = 0\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\]

Khi đó ta có: \[V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \]

Đặt

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\ln ^2}x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{x}\ln xdx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right|_1^2 - \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} } \right]\end{array}\]

Đặt \[I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{2}{3}\left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} } \right]\\ = \frac{2}{3}\left. {\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{{{x^3}}}{9}} \right]} \right|_1^2\end{array}\]

Khi đó

\[V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x - \frac{2}{9}{x^3}\ln x + \frac{{2{x^3}}}{{27}}} \right|_1^2} \right]\]

\[ = \frac{\pi }{{27}}\left[ {5{e^3} - 2} \right]\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\b = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow T = a - {b^2} = 2\end{array}\]

Chọn A.

Câu 50 [VDC]

Cách giải:

Ta có

\[\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left[ {{x^2} - 4} \right]{e^x}}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left[ {x - 2} \right]{e^x}}}{{x + 2}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left[ {x - 2} \right]{e^x}}}{{x + 2}} + \left[ {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right]'.{e^x}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{{e^x}\left[ {x - 2} \right]}}{{x + 2}}} \right]} 'dx\\ = \left. {\frac{{{e^x}\left[ {x - 2} \right]}}{{x + 2}}} \right|_0^1 = \frac{{ - e}}{3} + 1 = \frac{{3 - e}}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = 2{a^2} + b = 19.\end{array}\]

Chọn A.

Nguồn: Sưu tầm