Đề cương ôn tập học kì 1 toán 8 violet năm 2024
Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016. \(\begin{array}{l}1.{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\\2.{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\\3.{A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\\4.{\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\\5.\left( {A - {B^3}} \right) = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\\6.{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\\7.{A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\end{array}\) - Phân tích đa thức thành nhân tử 3. Phân thức đại số, các phép toán với phân thức đại số- Phân thức đại số - Cộng, trừ phân thức - Nhân, chia phân thức Hình học1. Hình chóp đều- Hình chóp tam giác đều – tứ giác đều - Diện tích xung quanh, thể tích hình chóp tam giác đều – tứ giác đều 2. Định lí Pythagore3. Tứ giác: các định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết- Tứ giác - Hình thang – Hình thang cân - Hình bình hành – Hình thoi - Hình chữ nhật - Hình vuông Dữ liệu – biểu đồ- Thu thập và phân loại dữ liệu - Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn - Phân tích dữ liệu B. BÀI TẬPĐề bàiI. Phần trắc nghiệmCâu 1: Kết quả phân tích đa thức \(4{x^2} - 9\) thành đa thức là:
Câu 2: Thực hiện phép chia đa thức \({x^3} + 1\) cho đa thức \({x^2} - x + 1\) ta được số dư là:
Câu 3: Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} - 9}}\) là:
Câu 4: Rút gọn phân thức \(\frac{{2x - 2y}}{{x - y}}\) ta được kết quả là :
Câu 5: Phép tính \(M - \frac{{2x - 1}}{{5 - x}}\) không biến đổi được thành:
Câu 6: Kết quả của phép tính \(\frac{{4x + 1}}{{7{x^2}}} - \frac{{1 - 3x}}{{7{x^2}}}\) bằng :
Câu 7: Kết quả rút gọn phân thức \(\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\) là:
Câu 8: Giá trị của x để giá trị phân thức \(\frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) bằng 0 là :
Câu 9: Hình bình hành là tứ giác có
Câu 10: Hai đường chéo của hình chữ nhật
Câu 11: Một tứ giác là hình vuông nếu nó
Câu 12: Hình thang cân là hình thang
Câu 13: Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 14: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, ta có:
Câu 15: Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự tại E và F. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để AEDF là hình chữ nhật?
Câu 16: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của BC. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để AEDF là hình vuông?
Câu 17: Hình bình hành cần thêm điều kiện gì để trở thành hình vuông?
Câu 18: Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AI, BD, CE đồng quy tại G. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB. Khi đó tứ giác MNED là hình gì?
Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 7cm, độ dài trung đoạn của hình chóp là 8cm. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là:
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4cm, chiều cao của hình chóp là h = 3cm. Thể tích của hình chóp đã cho là:
Câu 21: Tam giác có độ dài ba cạnh trong trường hợp nào sau đây là tam giác vuông?
Câu 22: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 20cm, AC = 21cm. Độ dài cạnh BC là:
Câu 23: Một chiếc ti vi màn hình phẳng 32 inch với chiều ngang màn hình là 70cm. Tính chiều cao của màn hình ti vi đó, làm tròn đến số thập phân thứ nhất (biết 1 inch \( \approx \) 2,54 cm).
Câu 24: Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 40 cm, đường chéo AC bằng 12 cm. Độ dài đường chéo BD là:
Câu 25: Trong các dữ liệu sau dữ liệu nào là dữ liệu định tính?
Câu 26: Cho bảng thống kê về tỉ số phần trăm các loại sách trong tủ sách của lớp 8A như sau: Cho các phát biểu sau: (I) Dữ liệu định lượng là các loại sách Lịch sử Việt Nam, Truyện tranh, thế giới động vật, các loại sách khác; (II) Dữ liệu đinh tính là tỉ số phần trăm: 25%; 20%; 30%; 25%; (III) Dữ liệu chưa hợp lí là tỉ số phần trăm. Số phát biểu sai là:
Câu 27: Biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn kết quả thống kê (tính theo tỉ số phần trăm) các thị trường cung cấp cà phê cho Tây Ban Nha trong 7 tháng đầu năm 2022. (Nguồn: Eurostat)
Câu 28: Biểu đồ cột ở hình vẽ bên biểu diễn tỉ lệ về giá trị đạt được của khoáng sản xuất khẩu nước ngoài của nước ta (tính theo tỉ số phần trăm).
Câu 29: Biểu đồ đoạn thẳng dưới đây biểu diễn lượng mưa trung bình các tháng trong năm 2019 tại Thành phố Hồ Chí Minh. Những tháng có lượng mưa trên 300mm là
Câu 30: Biểu đồ cột kép dưới đây biểu diễn diện tích gieo trồng sắn của Bình Thuận và Bình Phước trong các năm 2018; 2019; 2020 (đơn vị: Nghìn ha). (Nguồn: Niên giám thống kê 2021, NXB Thống kê, 2021) Diện tích nghìn hecta gieo trồng sắn của Bình Thuận trong năm 2019 là
II. Phần tự luậnBài 1. Thực hiện các phép tính:
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Bài 3. Cho biểu thức: \(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\)
Bài 4. Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{{2x - 9}}{{{x^2} - 5x + 6}} - \frac{{x + 3}}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{3 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{1}{{x + 2}}} \right)\) (Với \(x \ne - 1;x \ne - 2;x \ne 2;x \ne 3\))
Bài 5. Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Bài 6. Thống kê trong lần kiểm tra cuối học kì I của lớp 8A vừa qua là:
Bài 7. Cho biểu đồ về lượng mưa và nhiệt độ trong năm 2022 của Hà Nội
Bài 8. Biểu đồ hình quạt tròn ở hình bên biểu diễn tỉ lệ các yếu tố ảnh hưởng đến sinh trưởng của cây trồng như: Phân bón; Nước tưới; Giống; Kiểm soát dịch hại; Kiểm soát cỏ dại; Yếu tố khác.
Bài 9.
Bài 10. Một chiếc thang có chiều dài AB = 3,7m đặt cách một bức tường khoảng cách BH = 1,2m.
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại C. Gọi D là trung điểm của AB, Kẻ DM vuông góc với AC (M \( \in \) AC). Gọi E là điểm đối xứng với D qua BC, DE cắt BC tại N.
Bài 13. Cho tam giác MNP vuông cân tại M. Gọi Q là điểm đối xứng của M qua NP.
Bài 14*.
Bài 15*. Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức sau: \(M = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6{a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\). -- Hết -- Lời giải chi tiếtI. Trắc nghiệmCâu 1. A Câu 2. A Câu 3. C Câu 4. C Câu 5. C Câu 6. A Câu 7. A Câu 8. B Câu 9. B Câu 10. B Câu 11. B Câu 12. D Câu 13. C Câu 14. D Câu 15. B Câu 16. C Câu 17. D Câu 18. B Câu 19. B Câu 20. A Câu 21. C Câu 22. C Câu 23. B Câu 24. C Câu 25. B Câu 26. D Câu 27. a) A b) A Câu 28. a) A b) A c) A Câu 29. B Câu 30. B II. Phần tự luậnBài 1. Thực hiện các phép tính:
Phương pháp Sử dụng các phép tính với đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ. Lời giải
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}x{y^2}.6xy + \frac{1}{2}x{y^2}.\frac{3}{2}{x^3}y - \frac{1}{2}x{y^2}\\ = 3{x^2}{y^3} + \frac{3}{4}{x^4}.{y^3} - \frac{1}{2}x{y^2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = 6{x^5}{y^2}:3{x^3}{y^2} - 9{x^4}{y^3}:3{x^3}{y^2} + 15{x^3}{y^4}:3{x^3}{y^2}\\ = 2{x^2} - 3xy + 5{y^3}\end{array}\)
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Phương pháp Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích Lời giải
Bài 3. Cho biểu thức: \(P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\)
Phương pháp
Lời giải
Phân thức \(\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\) xác định \( \Leftrightarrow x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\). Phân thức \(\frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x}\) xác định \( \Leftrightarrow x \ne 0\). Phân thức \(\frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\) xác định \( \Leftrightarrow {x^2} + x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne - 1\). Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là \(x \notin \left\{ { - 1;0} \right\}\).
\(\begin{array}{l}P = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x}}\\ = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{x} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^3}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 2\left( {{x^2} - 1} \right) + x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 2{x^2} - 2 + x + 2}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = x + 1\end{array}\)
Tại x = -1, ta có: \(P = - 1 + 1 = 0\) Bài 4. Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{{2x - 9}}{{{x^2} - 5x + 6}} - \frac{{x + 3}}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{3 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{1}{{x + 2}}} \right)\) (Với \(x \ne - 1;x \ne - 2;x \ne 2;x \ne 3\))
Phương pháp
Lời giải
\(M = \left( {\frac{{2x - 9}}{{{x^2} - 5x + 6}} - \frac{{x + 3}}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{3 - x}}} \right):\left( {1 - \frac{1}{{x + 2}}} \right)\)(Với \(x \ne - 1;x \ne - 2;x \ne 2;x \ne 3\)) \(\begin{array}{l} = \left[ {\frac{{2x - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{x + 3}}{{x - 2}} + \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right]:\frac{{x + 2 - 1}}{{x + 2}}\\ = \left[ {\frac{{2x - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right]:\frac{{x + 1}}{{x + 2}}\\ = \frac{{2x - 9 - {x^2} + 9 + 2{x^2} + x - 4x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}.\frac{{x + 2}}{{x + 1}}\\ = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}.\frac{{x + 2}}{{x + 1}}\\ = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow 5\left( {x + 2} \right) = 3\left( {x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow 5x + 10 = 3x - 9\\ \Leftrightarrow 2x = - 19\\ \Leftrightarrow x = \frac{{ - 19}}{2}\end{array}\) Vậy \(x = \frac{{ - 19}}{2}\) thì \(M = \frac{3}{5}\).
TH1. x – 1 = 3 \( \Leftrightarrow \) x = 4 Thay x = 4 vào M, ta được: \(M = \frac{{4 + 2}}{{4 - 3}} = \frac{6}{1} = 6\). TH2. x – 1 = -3 \( \Leftrightarrow \) x = -2 Thay x = -2 vào M, ta được: \(M = \frac{{ - 2 + 2}}{{ - 2 - 3}} = \frac{0}{{ - 5}} = 0\).
\(\begin{array}{l} = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ = {x^2} + 5x + 6\\ = \left( {{x^2} + 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4}} \right) - \frac{1}{4}\\ = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge - \frac{1}{4}\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 5}}{2}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{{ - 1}}{4}\) khi \(x = \frac{{ - 5}}{2}\). Bài 5. Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Phương pháp Sử dụng các phép tính với đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ biến đổi biểu thức sao cho không còn ẩn. Lời giải
\(\begin{array}{l}A = 2xy + {x^2} - 2xy + 2x - {x^2} - 2x\\A = \left( {2xy - 2xy} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {2x - 2x} \right)\\A = 0\end{array}\) Vì A = 0 nên A không phụ thuộc vào biến x, y.
\(\begin{array}{l}B = \left( {x + 2 - x + 3} \right)\left( {x + 2 + x - 3} \right) - 10x\\B = 5\left( {2x - 1} \right) - 10x\\B = 10x - 5 - 10x\\B = - 5\end{array}\) Vì B = -5 nên B không phụ thuộc vào biến x, y. Bài 6. Thống kê trong lần kiểm tra cuối học kì I của lớp 8A vừa qua là:
Phương pháp
Lời giải
6 + 7 + 6 + 7 + 4 + 7 + 5 = 42 (bài) Vậy lớp 8A có 42 bài kiểm tra cuối học kì I.
\(\frac{5}{{42}}.100\% \approx 12\% \) Vậy số bài được điểm 10 chiếm khoảng 12% so với tổng số bài kiểm tra cuối học kì I của lớp 8A. Bài 7. Cho biểu đồ về lượng mưa và nhiệt độ trong năm 2022 của Hà Nội
Phương pháp Quan sát biểu đồ để trả lời. Lời giải
- Tháng có nhiệt độ cao nhất là tháng 7 (28,90C). - Tháng có nhiệt độ thấp nhất là tháng 1 (16,40C). Sự khác biệt về nhiệt độ này có vì Hà Nội nằm ở miền Bắc, có sự thay đổi thời tiết rõ ràng mùa nóng và mùa lạnh.
- Tháng có lượng mưa nhiều nhất là tháng 8 (318,0mm) - Tháng có lượng mưa ít nhất là tháng 1 (18,6mm)
Bài 8. Biểu đồ hình quạt tròn ở hình bên biểu diễn tỉ lệ các yếu tố ảnh hưởng đến sinh trưởng của cây trồng như: Phân bón; Nước tưới; Giống; Kiểm soát dịch hại; Kiểm soát cỏ dại; Yếu tố khác.
Phương pháp Quan sát biểu đồ để trả lời. Lời giải
Tỉ lệ phần trăm của yếu tố khác là 4%. Yếu tố kiểm soát dịch hại gấp yếu tố khác là: \(\frac{{12\% }}{{4\% }} = 3\) (lần) Bài 9.
Phương pháp
Lời giải
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có: \(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169\\ \Rightarrow BC = 13\left( m \right)\end{array}\) Vậy con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng 13 mét thì bắt được con cá. b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABH, ta có: \(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {12^2} + {9^2} = 225\\ \Rightarrow AB = \sqrt {225} = 15\left( {cm} \right)\end{array}\) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ACH, ta có: \(\begin{array}{l}C{H^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81\\ \Rightarrow CH = \sqrt {81} = 9\left( {cm} \right)\end{array}\) Suy ra BC = 9 + 9 = 18 (cm). Vì AB = AC = 15 nên tam giác ABC cân tại A. Vì \(A{B^2} + A{C^2} = {15^2} + {15^2} = {\left( {15\sqrt 2 } \right)^2} \ne {18^2} = B{C^2}\) nên tam giác ABC không vuông (theo định lí Pythagore đảo). Vậy tam giác ABC cân tại A. Bài 10. Một chiếc thang có chiều dài AB = 3,7m đặt cách một bức tường khoảng cách BH = 1,2m.
Phương pháp
Lời giải
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABH, ta có: \(\begin{array}{l}A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = 3,{7^2} - 1,{2^2} = 12,25\\ \Rightarrow AH = \sqrt {12,25} = 3,5\left( m \right)\end{array}\)
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD.
Phương pháp
Mà AF = FC (hai cạnh kề bằng nhau) nên AECF là hình thoi.
Lời giải
Xét tam giác ACD có AC vuông góc với AD nên tam giác ACD vuông tại A. F là trung điểm của CD nên AF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD của tam giác ACD. Do đó \(AF = \frac{1}{2}CD = CF\) (F là trung điểm của CD) (đpcm)
AE = \(\frac{1}{2}\) AB (E là trung điểm của AB) CF = \(\frac{1}{2}\)CD (F là trung điểm của CD) Mà AB = CD (cmt) \( \Rightarrow \) AE = CF. Xét tứ giác ABCD có: AE // CF (cmt), AE = CF (cmt) nên tứ giác AECF là hình bình hành. Mà AF = CF (cmt) => AECF là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi) (đpcm).
Vì ABCD là hình bình hành nên giao điểm của AC và BD là trung điểm của AC và BD. Mà O là trung điểm của AC (cmt) nên O là giao điểm của AC và BD. Mà O là giao điểm của AC và BD. Vậy AC, BD và EF đồng quy tại điểm O (đpcm). Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại C. Gọi D là trung điểm của AB, Kẻ DM vuông góc với AC (M \( \in \) AC). Gọi E là điểm đối xứng với D qua BC, DE cắt BC tại N.
Phương pháp
Lời giải
Ta có E là điểm đối xứng với D qua BC nên \(DE \bot BC\) tại N suy ra \(\widehat N = {90^0}\). Xét tứ giác CMDN có: \(\begin{array}{l}\widehat C = {90^0}\left( {gt} \right)\\\widehat M = {90^0}\left( {cmt} \right)\\\widehat N = {90^0}\left( {cmt} \right)\end{array}\) \=> CMDN là hình chữ nhật (đpcm) \=> CM // DN, CM = DN (hai cạnh đối tương ứng)
AC // DN (vì CM // DN) AC = DN (vì \(\frac{1}{2}\)AC = CM = DN = \(\frac{1}{2}\)DE) \=> ADEC là hình bình hành => AD // CE và AD = CE. Mà AD = DB (D là trung điểm của AB) \=> CE = DB Xét tứ giác BDCE có: DB // CE (do AD // CE) DB = CE (cmt) \=> BDCE là hình bình hành. \=> Giao điểm của DE và BC là trung điểm của mỗi đường. Mà \(DE \bot BC\) => BDCE là hình thoi (đpcm).
\( \Rightarrow \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{CMDN}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AC.BC}}{{\frac{1}{4}AC.BC}} = 2 \Rightarrow {S_{ABC}} = 2{S_{CMDN}}\) (đpcm)
Để ABEC là hình thang cân thì AC = BE. Mà BE = BD = AD => AC = AD = DC \=> Tam giác ACD đều suy ra \(\widehat A = {60^0}\). Vậy tam giác ABC phải vuông tại C và có \(\widehat A = {60^0}\) thì ABEC là hình thang cân. Bài 13. Cho tam giác MNP vuông cân tại M. Gọi Q là điểm đối xứng của M qua NP.
Phương pháp
Hình bình hành MNQP có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi. Hình thoi MNQP có một góc vuông nên là hình vuông.
Lời giải
Ta có Q là điểm đối xứng với M qua NP nên MQ \( \bot \) NP tại O và MO = OQ hay O là trung điểm của MQ. Xét tam giác MNP vuông cân tại M có MO là đường cao (MO \( \bot \) NP), ta có MO đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác MNP nên MO = NO = OP hay O là trung điểm của NP. Xét tứ giác MNQP có: O là giao điểm của hai đường chéo NP và MQ O là trung điểm của MQ và O là trung điểm của NP \=> MNQP là hình bình hành. MN = MP (tam giác MNP vuông cân tại M) \=> MNQP là hình thoi. \(\widehat M = {90^0}\) nên MNQP là hình vuông.
MN = NQ (hai cạnh hình vuông) \(\widehat Q = \widehat M = {90^0}\)(MNQP là hình vuông) QA = MB (gt) \( \Rightarrow \Delta ANQ = \Delta BNM\) (c.g.c) \( \Rightarrow AN = BN\) (hai cạnh tương ứng) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}\)(hai góc tương ứng) Suy ra tam giác ABN cân tại N (1) Xét tam giác BMN có \(\widehat M = {90^0}\) nên \(\widehat {{B_1}} + \widehat {BNM} = {90^0}\). Ta có MN // AQ (do MN // PQ) nên \(\widehat {MNA} = \widehat {{A_1}}\) (hai góc so le trong) Mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) (cmt) \( \Rightarrow \widehat {BNM} + \widehat {MNA} = {90^0}\) hay \(\widehat {ANB} = {90^0}\) suy ra tam giác ANB là tam giác vuông (2) Từ (1) và (2) suy ra tam giác ANB vuông cân tại N (đpcm)
Xét tam giác APB có \(\widehat P = {90^0}\) nên tam giác APB là tam giác vuông tại P, I là trung điểm của AB nên PI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác APB \( \Rightarrow PI = \frac{1}{2}AB\). Do đó NI = PI ( = \(\frac{1}{2}\)AB) Suy ra tam giác PIN cân tại I. (đpcm)
Tam giác PIN cân tại I, O là trung điểm của NP nên IO là đường trung trực của NP. \=> \(IO \equiv MQ\) hay I, M, Q thẳng hàng (đpcm) Bài 14*.
Phương pháp Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao. Lời giải
\(\begin{array}{l}B = {x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} - 2xy + 2xz - 2x - 2y - 8z + 2000\\ = \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 + 2z - 2y - 2z - 2xy + 2xz - 2yz} \right) + \left( {{y^2} + {z^2} + 4 + 2yz - 2y - 4z} \right) + \left( {{z^2} - 2z + 1} \right) + 1996\\ = {\left( {x + y + z - 1} \right)^2} + {\left( {y + z - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} + 1996 \ge 1996\,\,\forall x,y,z\end{array}\) vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + z - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,y,z\\{\left( {y + z - 2} \right)^2} \ge 0\,\forall y,z\\{\left( {z - 1} \right)^2} \ge 0\,\forall z\end{array} \right.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + z - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {y + z - 2} \right)^2} = 0\\{\left( {z - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 1\\y + z = 2\\z = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 1\\y + 1 = 2\\z = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\end{array}\) Vậy MinB = 1996 khi x = 1; y = 1; z = 1.
Bài 15*. Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức sau: \(M = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6{a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\). Phương pháp Biến đổi biểu thức thành biểu thức chứa a + b để rút gọn. Lời giải Ta có: Thay a + b = 1 và biến đổi M, ta được: \(M = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6{a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\) \(\begin{array}{l} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6{a^2}{b^2}.1\\ = {a^2} - ab + {b^2} + 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6{a^2}{b^2}\\ = {a^2} + {b^2} - ab + 3ab\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)\\ = {a^2} + {b^2} - ab + 3ab{\left( {a + b} \right)^2}\\ = {a^2} + {b^2} - ab + 3ab\\ = {a^2} + {b^2} + 2ab\\ = {\left( {a + b} \right)^2} = 1\end{array}\) |