Đề thi học sinh giỏi lớp 6 môn toán violet năm 2024

Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6: Dãy số theo quy luật", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 6: Dãy số theo quy luật

1. CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 [BD HSG] DÃY SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT I. Phương pháp dự đoán và quy nạp: Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an [1] Bằng cách nào đó ta biết được kết quả [dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả]. Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được. Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1+3+5 + + [2n -1] Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 2 S2 = 1 + 3 =2 2 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 3 Ta dự đoán Sn = n2 Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng 2 Giả sử với n = k [k 1] ta có Sk = k [2] 2 Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = [ k +1 ] [3] Thật vậy cộng 2 vế của [2] với 2k +1 ta có 1+3+5 + + [2k – 1] + [2k +1] = k2 + [2k +1] 2 2 2 Vì k + [2k +1] = [k +1] nên ta có [3] tức là Sk+1 = [ k +1] Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh Vậy Sn = 1+3 + 5 + + [ 2n -1] = n2 Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học. n[n 1] 1, 1 + 2+3 + + n = 2 n[n 1][2n 1] 2, 12 + 2 2 + + n 2 = 6 2 3 3 3 n[n 1] 3, 1 +2 + + n = 2 1 4, 15 + 25 + + n5 = .n2 [n + 1] 2 [2n2 + 2n – 1] 12
2. II. Phương pháp khử liên tiếp: Giả sử ta cần tính tổng [1] mà ta có thể biểu diễn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác, chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ 1 Khi đó ta có ngay: Sn = [ b1 – b2 ] + [ b2 – b3 ] + + [ bn – bn + 1 ] = b1 – bn + 1 Ví dụ 2: Tính tổng: 1 1 1 1 S = 10.11 11.12 12.13 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : , , . , 10.11 10 11 11.12 11 12 99.100 99 100 Do đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 9 S = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 Dạng tổng quát 1 1 1 Sn = [n > 1] 1.2 2.3 n[n 1] 1 n = 1- n 1 n 1 Ví dụ 3: Tính tổng 1 1 1 1 Sn = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n[n 1][n 2] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có Sn = 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 n[n 1] [n 1][n 2] 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n[n 1] [n 1][n 2] 1 1 1 n[n 3] Sn = 2 1.2 [n 1][n 2] 4[n 1][n 2]
3. Ví dụ 4: Tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n .n! [ n! = 1.2.3 n ] Ta có : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = [n + 1] –n! Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! + + [ n+1] ! – n! = [n+1] ! - 1! = [n+ 1] ! - 1 Ví dụ 5 : tính tổng 3 5 2n 1 Sn = [1.2] 2 [2.3] 2 n[n 1]2 2i 1 1 1 Ta có : ; i = 1 ; 2 ; 3; ; n i[i 1]2 i 2 [i 1] 2 1 1 1 1 1 ] Do đó Sn = [ 1- 2 2 2 2 2 2 2 3 n [n 1] 1 n[n 2] = 1- [n 1]2 [n 1]2 III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+22 + + 2100 [ 4] Ta viết lại S như sau : S = 1+2 [1+2+22 + + 299 ] S = 1+2 [ 1 +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 ] => S= 1+2 [ S -2 100 ] [ 5] Từ [5] suy ra S = 1+ 2S -2101  S = 2101-1 Ví dụ 7: tính tổng
4. 2 3 n Sn = 1+ p + p + p + + p [ p 1] Ta viết lại Sn dưới dạng sau : 2 n-1 Sn = 1+p [ 1+p+p + + p ] 2 n-1 n n Sn = 1 + p [ 1+p +p + + p + p –p ] n S n = 1+p [ Sn –p ] n+1 S n = 1 +p.Sn –p n+1 S n [ p -1 ] = p -1 P n 1 1 S n = p 1 Ví dụ 8 : Tính tổng 2 n Sn = 1+ 2p +3p + + [ n+1 ] p , [ p 1] 2 3 n +1 Ta có : p.Sn = p + 2p + 3p + + [ n+ 1] p = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + + [n+1] pn - pn + [n+1]pn –pn + [ n+1] pn+1 = [ 2p + 3p2 +4p3 + +[n+1] pn ] – [ p +p + p + pn ] + [ n+1] pn+1 = [ 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + [ n+1] pn ] – [ 1 + p+ p2 + + p n] + [ n +1 ] pn+1 n 1 P 1 n 1 p.Sn=Sn- [n 1]P [ theo VD 7 ] P 1 n 1 n+1 p 1 Lại có [p-1]Sn = [n+1]p - P 1 [n 1]Pn 1 pn 1 1 S n = p 1 [P 1]2 IV. Phương pháp tính qua các tổng đã biết n Các kí hiệu :  ai a1 a2 a3 an i 1 Các tính chất : n n n 1, [ai bi ]  ai bi i 1 i 1 i 1 n n 2,  a.ai a ai i 1 i 1 Ví dụ 9 : Tính tổng :
5. Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n[ n+1] n n n n 2 2 Ta có : Sn = i[i 1] [i i] i i i 1 i 1 i 1 i 1 Vì : n n[n 1] i 1 2 3 n  2 i 1 [Theo I ] n n[n 1][2n 1] i 2 i 1 6 n[n 1] n[n 1][2n 1] n[n 1][n 2] cho nên : Sn = 2 6 3 Ví dụ 10 : Tính tổng : Sn =1.2+2.5+3.8+ +n[3n-1] n n 2 ta có : Sn = i[3i 1] [3i i] i 1 i 1 n n = 3i 2 i i 1 i 1 Theo [I] ta có : 3n[n 1][2n 1] n[n 1] 2 Sn = n [n 1] 6 2 Ví dụ 11 . Tính tổng 3+ 3 3 3 Sn = 1 +2 +5 + + [2n +1 ] ta có : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Sn = [[ 1 +2 +3 +4 + +[2n+1] ] –[2 +4 +6 + +[2n] ] = [13+23 +33 +43 + + [2n +1 ]3] -8 [13 +23 +33 +43 + + n3 ] [2n 1] 2 [2n 2] 2 8n 2 [n 1] 2 Sn = [ theo [I] – 3 ] 4 4 =[ n+1] 2[2n+1] 2 – 2n2 [n+1]2 = [n +1 ]2 [2n2 +4n +1] V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều [ Học sinh lớp 6 ] Cơ sở lý thuyết:
6. + Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = [số cuối – số đầu] : [khoảng cách] + 1 + Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = [số đầu – số cuối] .[số số hạng] :2 Ví dụ 12 : Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 132 Số số hạng của A là : [ 132 – 19 ] : 1 +1 = 114 [ số hạng ]m A = 114 [ 132 +19 ] : 2 = 8607 Ví dụ 13 : Tính tổng B = 1 +5 +9 + + 2005 +2009 số số hạng của B là [ 2009 – 1 ] : 4 + 1 = 503 B = [ 2009 +1 ] .503 :2 = 505515 VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm toán Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k [ k+1] [k+20 -9k-1]k[k+1] = 3k [ k +1 ] Từ đó tính tổng S = 1 2+2.3 + 3.4 + + n [n + 1] Chứng minh : cách 1 : VT = k[k+1][k+2] –[k-1] k[k+1] = k[ k+1] [k 2] [k 1] = k [k+1] .3 = 3k[k+1] [k 2] [k 1] Cách 2 : Ta có k [ k +1] = k[k+1]. 3 k[k 1][k 2] k[k 1][k 1] = * 3 3  3k [ k-1] = k [k+1][k+2] – [k-1] k[k+1] 1.2.3 0.1.2 => 1.2 = 3 3 2.3.4 1.2.3 2.3 3 3 n[n 1][n 2] [n 1]n[n 1] n[n 1] 3 3
7. 1.2.0 [n 2]n[n 1] [n 1]n[n 2] S = 3 3 3 Ví dụ 15: Chứng minh rằng: k [k+1] [k+2] [k+3] – [k-1] k[k+1] [k+2] =4k [k+1] [k+2] từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 + + n[n+1] [n+2] Chứng minh : VT = k[ k+1] [k+2] [k 3] [k 1] = k[ k+1] [ k +2 ] .4 k[k 1][k 2][k 3] [k 1]k[k 1][k 2] Rút ra: k[k+1] [k+2] = 4 4 1.2.3.4 0.1.2.3 Áp dụng: 1.2.3 = 4 4 2.3.4.5 1.2.3.4 2.3.4 = 4 4 n[n 1][n 2][n 3] [n 1]n[n 1][n 2] n[n+1] [n+2] = 4 4 n[n 1][n 2][n 3] Cộng vế với vế ta được S = 4 * Bài tập đề nghị: Tính các tổng sau 1, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 6 3 2 3 99 100 b, S = 5 + 5 + 5 + + 5 + 5 c, C = 7 + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 + + n[ n +3 ] , n = 1,2,3 , 1 1 1 1 5, S = 1.2 2.3 3.4 99.100 4 4 4 6, S = 5.7 7.9 59.61 5 5 5 5 7, A = 11.16 16.21 21.26 61.66
8. 1 1 1 1 8, M = 30 31 32 32005 1 1 1 9, Sn = 1.2.3. 2.3.4 n[n 1][n 2] 2 2 2 10, Sn = 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 1 1 11, Sn = 1.2.3.4 2.3.4.5 n[n 1][n 2][n 3] 12, M = 9 + 99 + 999 + + 99 9 50 chữ số 9 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 Tính S100 =? Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, [x+1] + [x+2] + [x+3] + + [ x+100 ] = 5070 b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820 1 1 1 2 2013 c, 1 + 1 3 6 10 x[x 1] 2015 Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 là luỹ thừa của 2 2 3 60 b, B =2 + 2 + 2 + + 2  3 ; 7; 15 3 5 2015 c, C = 3 + 3 +3 + + 3  13 ; 41 9 8 7 d, D = 11 + 11 +11 + + 11 + 1  5