Cùng tìm hiểu phương trình lượng giác qua bài viết cùng bài giảng dưới đây nhé!.
Các dạng phương trình lượng giác
Phương trình sinx = m
Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\].
Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = \pi – \alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]
Phương trình cosx = m
Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] .
Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = – \alpha + k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]
Phương trình tanx = m
Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan \alpha = m\].
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
\[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k \epsilon \mathbb{Z}]\]
Hoặc \[\tan x = m \Leftrightarrow m – \arctan m + k\pi\] [m bất kỳ]
Chú ý: \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\], \[\tan x\] không xác định khi \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi\]
Phương trình cot[x] = m
Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\].
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
\[\csc x = \csc \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k\epsilon \mathbb{Z}]\] Hoặc \[\cot x = m \Leftrightarrow m = \textrm{arccsc}m + k\pi\] [m bất kỳ]
Chú ý: \[\csc x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\],
\[\csc x\] không xác định khi \[x = k\pi\]
Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:
Phương trình lượng giác chứa tham số
Phương trình lượng giác chứa tham số dạng \[a\sin x + b \cos x = c\] có nghiệm khi và chỉ khi \[a^{2} + b^{2} \geq c^{2}\]
Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:
- Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
- Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm
Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản
- Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
- Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước
Ví dụ: Xác định m để phương trình \[[m^{2} – 3m + 2]\cos ^{2}x = m[m-1]\] [1] có nghiệm.
Cách giải
\[[1]\Leftrightarrow [m-1][m-2]\cos ^{2}x = m [m-1]\] [1’]
Khi m = 1: [1] luôn đúng với mọi \[x\epsilon \mathbb{R}\]
Khi m = 2: [1] vô nghiệm
Khi \[m\neq 1; m\neq 2\] thì:
[1’] \[\Leftrightarrow [m-2]\cos ^{2}x = m \Leftrightarrow \cos ^{2}x = \frac{m}{m-2}\] [2]
Khi đó [2] có nghiệm \[\Leftrightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0\]
Vậy [1] có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, \[m\leq 0\]
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát
Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g[x,m] = 0 [1]. Xác định m để phương trình [1] có nghiệm \[x\epsilon D\]
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ t = h[x] trong đó h[x] là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình [1]
- Tìm miền giá trị [điều kiện] của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
- Đưa phương trình [1] về phương trình f[m,t] = 0
- Tính f’[m, t] và lập bảng biến thiên trên miền D1
- Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.
Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.VN. Nếu có góp ý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:
[Nguồn: www.youtube.com]
Please follow and like us:
18:48:1027/08/2019
Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.
I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác
1. Phương trình sinx = a. [1]
° |a| > 1: Phương trình [1] vô nghiệm
° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình [1] có các nghiệm là:
x = α + k2π, [
và x = π - α + k2π, [
- Nếu α thỏa mãn điều kiện
x = arcsina + k2π, [
và x = π - arcsina + k2π, [
- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:
x = β0 + k3600, [
và x = 1800 - β0 + k3600, [
2. Phương trình cosx = a. [2]
° |a| > 1: Phương trình [2] vô nghiệm
° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình [2] có các nghiệm là:
x = ±α + k2π, [
- Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình [2] là:
x = ±arccosa + k2π, [
- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:
x = ±β0 + k3600, [
3. Phương trình tanx = a. [3]
- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình [3] là:
- Nếu α thỏa mãn điều kiện
x = arctana + kπ, [
- Phương trình tanx = tanβ0 có các nghiệm là:
x = β0 + k1800, [
4. Phương trình cotx = a. [4]
- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình [3] là:
- Nếu α thỏa mãn điều kiện
x = arccota + kπ, [
- Phương trình cotx = cotβ0 có các nghiệm là:
x = β0 + k1800, [
5. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác
• Dạng: asinx + b = 0; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx + b = 0 [a,b ∈ R; a≠0].
• Phương pháp giải:
- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ:
• Dạng tổng quát: asin[f[x]] + b = 0 ; acos[f[x]] + b = 0; atan[f[x]] + b = 0; acot[f[x]] + b = 0 [a,b ∈ R; a≠0].
6. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
• Dạng: asin2x + bsinx + c = 0; [a,b ∈ R; a≠0].
• Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:
Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;
Đặt t=sinx [-1≤t≤1], ta có phương trình at2 + bt + c = 0.
* Lưu ý: Khi đặt t=sinx [hoặc t=cosx] thì phải có điều kiện: -1≤t≤1
• Dạng tổng quát: asin2[f[x]] + bsin[f[x]] + c = 0; [a,b ∈ R; a≠0]. [các hàm cos, tan, cot tương tự].
7. Phương trình dạng asinx + bcosx = c [a≠0,b≠0].
• Phương pháp giải:
◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho
- Nếu
- Nếu
[hoặc
- Đưa PT về dạng:
◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo
- Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.
* Lưu ý: PT asinx + bcosx = c, [a≠0,b≠0] có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2
• Dạng tổng quát của PT là:asin[f[x]] + bcos[f[x]] = c, [a≠0,b≠0].
II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải
° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản
* Phương pháp
- Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình.
* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11]: Giải các phương trình sau:
a]
b]
d]
* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:
a]
b]
c]
d]
* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a]
b]
c]
d]
° Lời giải:
a]
b]
c]
d]
° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản
* Phương pháp
- Dùng các công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1.
* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a]
b]
c]
d]
° Lời giải:
a]
+ Với
+ Với
b]
c]
d]
* Lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:
* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a]
b]
° Lời giải:
a]
b]
* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a]1 + 2cosx + cos2x = 0
b]cosx + cos2x + cos3x = 0
c]sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0
d]sin2x + sin22x = sin23x
° Lời giải:
a]
b]
c]
d]
* Lưu ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:
° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác
* Phương pháp
- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ:
* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a]
b]
° Lời giải:
a]
+ Với
+ Với
b]
+ Với
+ Với
° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác
* Phương pháp
♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:
+ Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;
+ Đặt t=sinx [-1≤t≤1], ta có phương trình at2 + bt + c = 0.
* Lưu ý: Khi đặt t=sinx [hoặc t=cosx] thì phải có điều kiện: -1≤t≤1
* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a]
b]
° Lời giải:
a]
- Đặt
⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.
+ Với t = 1: sinx = 1
+ Với t=1/2:
b]
+ Đặt
⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.
+ t = 3/2 >1 nên loại
+
* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, [a,b,c≠0]. Phương pháp giải như sau:
- Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình vì a≠0,
Chia 2 vế cho cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 [được PT bậc 2 với tanx]
- Nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta thay d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên.
° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c [a,b≠0].
* Phương pháp
◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho
- Nếu
- Nếu
[hoặc
- Đưa PT về dạng:
◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo
- Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.
* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, [a≠0,b≠0] có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2
• Dạng tổng quát của PT là:asin[f[x]] + bcos[f[x]] = c, [a≠0,b≠0].
* Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a]
b]
° Lời giải:
a]
+ Ta có:
+ Đặt
b]
* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:
° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx
a[sinx + cosx] + bsinx.cosx + c = 0 [a,b≠0].
* Phương pháp
- Đặt t = sinx + cosx, khi đó:
bt2 + 2at + 2c - b = 0 [*]
- Lưu ý:
- Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT [*] cần kiểm tra [đối chiếu] lại điều kiện của t.
- Phương trình dạng: a[sinx - cosx] + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng cũng có thể giải bằng cách tương tự:
Đặt t = sinx - cosx;
* Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a] 2[sinx + cosx] - 4sinx.cosx - 1 = 0
b] sin2x - 12[sinx + cosx] + 12 = 0
° Lời giải:
a] 2[sinx + cosx] - 4sinx.cosx - 1 = 0
+ Đặt t = sinx + cosx,
+ Với
+ Tương tự, với
b] sin2x - 12[sinx + cosx] + 12 = 0
- Đặt t = sinx + cosx,
+ Với t=1
+ Với
III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác
* Bài 2 [trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11]: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?
° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:
- Ta có:
- Vậy với
* Bài 3 [trang 28 SGK Đại số 11]: Giải các phương trình sau:
a]
b]
c]
d]
° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:
a]
- Kết luận: PT có nghiệm
b] cos3x = cos12º
⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z
⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z
- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z
c]
d]
* Bài 4 [trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11]: Giải phương trình
° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:
- Điều kiện: sin2x≠1
- Ta có:
+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:
- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1
- Xét k chẵn tức là: k = 2n
- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là
* Bài 1 [trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11]: Giải phương trình: sin2x – sinx = 0
° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:
- Ta có: sin2x – sinx = 0
- Kết luận: PT có tập nghiệm
* Bài 2 [trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11]: Giải các phương trình sau:
a] 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
b] 2sin2x +
° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:
a] 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 [1]
- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT [1] trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0
+ Với t = 1 ⇒ cosx = 1 ⇔ x = k2π, [k ∈ Z]
+ Với
- Kết luận: PT có nghiệm là
Hy vọng với bài viết hệ thống về các dạng toán phương trình lượng giác và phương pháp giải cùng các bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.