Đồ thị hàm số và đồ thị hàm số có bao nhiêu giao điểm

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.Morbi adipiscing gravdio, sit amet suscipit risus ultrices eu.Fusce viverra neque at purus laoreet consequa.Vivamus vulputate posuere nisl quis consequat.

Create an account

Mã câu hỏi: 274651

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

CÂU HỎI KHÁC

• Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M
• Cho cấp số cộng \[\left[ {{u}_{n}} \right]\], biết: \[{{u}_{n}}=-1,{{u}_{n+1}}=8\]. Tính công sai $d$ của cấp số cộng đó.
• Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có BBT như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
• Cho hàm số \[y=f\left[ x \right]\] có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Giá trị CĐ của hàm số đã cho là
• Cho hàm số \[y=f\left[ x \right]\] có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] và bảng xét dấu của đạo hàm như sau: ​ Hỏi hàm số \[y=f\left[ x \right]\] có bao nhiêu điểm cực trị?
• Cho hàm sô \[y=\frac{2x-1}{x+5}\] Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?
• ĐT của hs nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình
• Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số \[y={{x}^{3}}+3x-3\] với trục Ox?
• Với \[a,b\] là hai số thực dương khác 1, ta có \[{{\log }_{b}}a\] bằng:
• Đạo hàm của hàm số \[y={{\log }_{2018}}x\] là
• Cho \[a\] là số thực dương. Biểu thức \[{{a}^{2}}.\sqrt[3]{a}\] được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
• Tập nghiệm của phương trình \[{{2}^{{{x}^{2}}-x-4}}=\frac{1}{16}\] là
• Số nghiệm của phương trình \[{{\log }_{2}}\left[ {{x}^{2}}+x \right]=1\] là
• Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?
• Nguyên hàm của hàm số \[f[x]=\frac{1}{2x+1}\] là
• Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ 1;3 \right]\] thỏa mãn \[f\left[ 1 \right]=2\] và \[f\left[ 3 \right]=9\]. Tính \[I=\int\limits_{1}^{3}{{f}'\left[ x \right]\text{d}x}\].
• Tích phân \[I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{x+1}\text{d}x}\] có giá trị bằng
• Sp nào dưới đây là số thuần ảo?
• Cho hai số phức \[{{z}_{1}}=1+2i\], \[{{z}_{2}}=3-i\]. Tìm số phức \[z=\frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}\].
• Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức? ​
• Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; chiều cao có độ dày bằng 6a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
• Thể tích của khối hộp chữ nhật \[ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\] có các cạnh \[AB=3;\text{ }AD=4;\text{ }A{A}'=5\] là
• Tính V của khối nón có chiều cao bằng 4 và độ dài đường sinh bằng 5.
• Một khối trụ có chiều cao và bk đường tròn đáy cùng bằng R thì có thể tích là
• Trong không gian\[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left[ 2;3;-1 \right]\] và \[B\left[ 0;-1;1 \right]\]. Trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] có tọa độ là
• Cho mặt cầu \[\left[ S \right]:\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0\] Tính bán kính R của mặt cầu \[\left[ S \right]\]
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \[\left[ P \right]:x+\left[ m+1 \right]y-2z+m=0\] và \[\left[ Q \right]:2x-y+3=0\], với m là tham số thực. Để \[\left[ P \right]\] và \[\left[ Q \right]\] vuông góc thì giá trị của m bằng bao nhiêu?
• Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng Một vectơ chỉ phương của d là
• Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng \[11\] là:
• Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \[\left[ -\infty ;\,+\infty \right]\]?
• Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-1\] trên đoạn \[\left[ -1;2 \right]\] lần lượt là M,m. Khi đó giá trị của tích M.m là
• Tập nghiệm của bất phương trình \[{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left[ x-2 \right]\ge -1\]
• Cho \[\int\limits_{0}^{1}{f\left[ x \right]\text{d}x}=2\] & \[\int\limits_{0}^{1}{g\left[ x \right]\text{d}x}=5\], khi đó \[\int\limits_{0}^{1}{\l
• Cho hai số phức \[{{z}_{1}}=3-i\] và \[{{z}_{2}}=4-i\] Tính môđun của sp \[z_{1}^{2}+{{\bar{z}}_{2}}\]
• Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \[SA\bot \left[ ABCD \right]\] và SA=a. Góc giữa đường thẳng SB và \[\left[ SAC \right]\] là
• Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết \[SB=a\sqrt{10}\] Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng \[\left[ ABCD \right]\] bằng:
• Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left[ 2;1;1 \right], B\left[ 0;3;-1 \right]\] Mặt cầu \[\left[ S \right]\] đường kính AB có phương trình là
• Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \[M\left[ 3;-1;2 \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u}=\left[ 4;5;-7 \right]\] là:
• Cho hs \[y=f\left[ x \right]\] có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] và có bảng xét dấu \[{f}\left[ x \right]\] như sauHỏi hàm s�
• Cho hàm số \[y=f\left[ x \right]\]. Hàm số \[y={f}'\left[ x \right]\] có bảng biến thiên như sau ​ Bất phương trình \[f\left[ x \right]
• Hàm số \[f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\left[ 0;+\infty \right]\]. Biết rằng tồn tại hằng số a>0 để \[\int\limits_{a}^{x}{\frac{f\left[ t \right]}{{{t}^{4}}}}dt=2\sqrt{x}-6, \forall x>0\]. Tính tích phân \[\int\limits_{1}^{a}{f\left[ x \right]dx}\] là
• Cho số phức \[z={{\left[ \frac{2+6i}{3-i} \right]}^{m}},\,\] m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị \[m\in \left[ 1;50 \right]\] để z là số thuần ảo?
• Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC=a. Biết SA vuông góc với đáy ABC và SB tạo với đáy một góc \[{{60}^{\text{o}}}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABC
• Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v\left[ t \right]=200-20t\] m/s. Trong đó t khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được quãng đường là
• Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{-1}\] và mặt phẳng \[[P]:2x-3y+z-6=0\]. Đường thẳng \[\Delta \] nằm trong [P] cắt và vuông góc với d có phương trình
• Cho hàm số bậc bốn \[y=f\left[ x \right]\]. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm \[f'\left[ x \right]\]. Hàm số \[g\left[ x \right]=f\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+2x+2} \right]\] có bao nhiêu điểm cực trị ?
• Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực \[a,\,\,b>1\] thỏa mãn \[{{\log }_{9}}a={{\log }_{12}}b={{\log }_{16}}\frac{5b-a}{c}\].
• Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\], đồ thị hàm số \[y={f}'\left[ x \right]\] như trong hình vẽ bên. ​ Hỏi phương trình \[f\left[ x \right]=0\] có tất cả bao nhiêu nghiệm biết \[f\left[ a \right]>0\]?
• Cho số phức z thỏa \[\left| z \right|=1\]. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức \[P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|\]. Tính M-m.
• Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho ba điểm \[A\left[ 0;1;1 \right]\], \[B\left[ 3;0;-1 \right]\], \[C\left[ 0;21;-19 \right]\] và mặt cầu \[\left[ S \right]:{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=1\]. Gọi điểm \[M\left[ a;b;c \right]\] là điểm thuộc mặt cầu \[\left[ S \right]\] sao cho biểu thức \[T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \[S=a+b+c\].

Đã gửi 08-09-2012 - 19:26

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

I – Lý thuyết:
1] Sự tương giao của hai đồ thị:
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y = f[x]$ và $y = g[x]$ là nghiệm của phương trình:

$$f[x] = g[x], \ \ \ [*]$$

Từ đó suy ra số giao điểm của hai đồ thị đã cho bằng số nghiệm của phương trình $[*]$.
2] Đường thẳng với hệ số góc: Hệ số góc của đường thẳng là tang của góc tạo bởi phần đường thẳng phía trên $Ox$ và chiều dương trục $Ox$ Đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc là $a$. Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục $Ox$ thì có hệ số góc bằng 0. Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục $Oy$ thì không có hệ số góc. Đường thẳng đi qua $M[x_0 ;y_0]$ và có hệ số góc $k$ thì có phương trình $y = k[x – x_0] + y_0$. Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc. Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1.

3] Định lý Bézout và lược đồ Horner:

Đa thức bậc $n$ là biểu thức có dạng $f[x] = a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + ... + a_1x + a_0.$ Số $x_0$ được gọi là nghiệm của đa thức $f[x]$ nếu $f[x_0] = 0.$

Định lý Bézout:

Nếu $x_0$ là một nghiệm của $f[x]$ thì tồn tại đa thức $g[x]$ sao cho:

$$f[x] = [x – x_0].g[x]$$

Lược đồ Horner dùng để chia đa thức $f[x]$ cho đa thức $x-\alpha$ $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{} & a_n & a_{n-1} & … & a_1 & a_0 \\ \hline \alpha & b_n=a_n & b_{n – 1} = a_n \alpha + a_{n – 1} & … & b_1 & b_0\\ \hline \end{array}$$

Khi đó:

$$f[x] = [x – \alpha][a_nx^{n – 1} + ... + b_1] + b_0.$$

Đặc biệt, khi $\alpha$ là nghiệm của $f[x]$ thì $b_0=0$

4] Tam thức bậc hai: $f[x] = ax^2 + bx + c [a \neq 0].$
a] Định lí Viète: Nếu $f[x]$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{­2}$ thì $$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}; x_1.x_2 = \frac{c}{a}$$.

b] Nhận xét:

* $f[x]$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac < 0$ * $f[x]$ có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\ \frac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$ * $f[x]$ có hai nghiệm âm khi và chỉ khi: $$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ - \frac{b}{a} < 0\\ \frac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$ * $f[x]$ có hai nghiệm phân biệt cùng lớn hơn $\alpha$ khi và chỉ khi: $$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ x_1+x_2 > 2\alpha\\ [x_1-\alpha][x_2-\alpha] > 0 \end{array} \right.$$ * $f[x]$ có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn $\alpha$ khi và chỉ khi: $$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ x_1+x_2 < 2\alpha\\ [x_1-\alpha][x_2-\alpha] > 0 \end{array} \right.$$ * $f[x]$ có hai nghiệm phân biệt, $x_1 < \alpha 0\\ [x_1-\alpha][x_2-\alpha] < 0 \end{array} \right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:23

• Tham Lang, L Lawliet, batigoal và 10 người khác yêu thích

Đã gửi 08-09-2012 - 19:46

II – Các dạng toán thường gặp
1. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định

Trong đề thi ĐH một số năm gần đây, thường có câu phụ của bài toán khảo sát, yêu cầu tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định. Đối với các bài toán ấy, cách làm chung là ta xét phương trình $[*]$, biến đổi nó về dạng bậc hai và sử dụng định lý Viète. Ta hãy bắt đầu với 1 ví dụ đơn giản

Ví dụ 1.1. Xác định $m$ để đồ thị $\left [ C \right ]$ của hàm số $y = [x – 1][x^2 + mx + m]$ cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt.

Giải Hoành độ giao điểm của đồ thị $\left [ C \right ]$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình :$$[x – 1][x^2 + mx + m] = 0$$\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + mx + m = 0 \ \ \ \ [1.1]\end{array} \right.\].

Đồ thị $\left [ C \right ]$ và trục $Ox$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $[1.1]$ có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với:

$$\left\{ \begin{array}{l}1 + m + m \neq 0\\m^2 - 4m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \neq - \frac{1}{2}\\ \left [ \begin{array}{l} m < 0 \\ m > 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}-\frac{1}{2} \neq m < 0 \\ m > 4\end{array} \right.$$

Ví dụ 1.2. Cho hàm số $y = 2x^3 – 3x^2 – 1$ có đồ thị $\left [ C \right ]$.

a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b] Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A[0;-1]$ và có hệ số góc bằng $k$. Tìm $k$ để $d$ cắt $\left [ C \right ]$ tại 3 điểm phân biệt.
Giải
b] Đường thẳng $d$ có phương trình: $y = kx – 1$.
Hoành độ giao điểm của $\left [ C \right ]$ và $d$ là nghiệm của phương trình:
$$2x^3 – 3x^2 – 1 = kx – 1$$$$\Leftrightarrow x[2x^2 – 3x – k] = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} - 3x - k = 0 \ \ \ \ [1.2] \end{array} \right.$$

$\left [ C \right ]$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $[1.2]$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:

$$\left\{ \begin{array}{l}k \neq 0\\9 + 8k > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow -\frac{9}{8} < k \neq 0$$.

Ví dụ 1.3. Cho hàm số $y = x^3 – [2m + 3]x^2 + [2m^2 – m + 9]x – 2m^2 + 3m – 7$ [$m$ là tham số] có đồ thị là $[C_m]$. Tìm $m$ để $[C_m]$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn 1.

Phân tích:Ngoài việc tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm, ta còn cần tìm điều kiện để ba nghiệm không vượt quá 1. Dễ thấy, $x=1$ là một nghiệm của phương trình đó. Để hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng lớn hơn 1 thì $x_1+x_2>2$ và $[x_1-1].[x_2-1]>0$

Giải

Hoành độ giao điểm của đồ thị $[C_m]$ và trục hoành là nghiệm của phương trình:$$x^3 – [2m + 3]x^2 + [2m^2 – m + 9]x – 2m^2 + 3m – 7 = 0$$$$\Leftrightarrow [x-1]\left [ x^2-2[m+1]x+ 2m^2-3m+7 \right ]=0$$$$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=1\\ x^2-2[m+1]x+ 2m^2-3m+7=0, \ \ \ \ [1.3]\end{matrix}\right.$$Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình $[1.3]$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Điều này tương đương với:$$\left\{\begin{matrix}\Delta '&>0\\x_1+x_2&>2 \\[x_1-1].[x_2-1] &>0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-m^2+5m-6&>0\\2[m+1]&>2 \\ 2m^2-5m+6&>0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}20]$. Trong trường hợp này hai nghiệm khác $0$ của phương trình có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.

Giải

Hoành độ giao điểm của $\left [ C \right ]$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình:$$x^3 – 3mx^2 + 3[2m – 1]x = 0$$$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3mx + 3[2m - 1] = 0 \ \ \ \ [1.4] \end{array} \right.$$.Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:TH1 : phương trình $[1.4]$ có hai nghiệm khác 0 và hai nghiệm đó đối nhau. Điều này tương đương với:$$\left\{ \begin{array}{l}3m = 0\\2m - 1 \neq 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$$TH2: phương trình $[1.4]$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_­2$ khác 0 và $x_1 = 2x_2.$ Điều này tương đương với:$$\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12[2m - 1] > 0\\2m - 1 \neq 0\\{x_1} + {x_2} = 3{x_2}\end{array} \right.$$$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12[2m - 1] > 0\\2m - 1 \neq 0\\3m = 3{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12[2m - 1] > 0\\2m - 1 \ne 0\\ - 2{m^2} + 6m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$$.KL: $m = 0$ hoặc $m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$.

Ví dụ 1.5. Cho $K[1;3], \left [ C \right ]$ là đồ thị của hàm số $y = x^3 + 2mx^2 + [m + 3]x + 4$ và đường thẳng $d: y = x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $\left [ C \right ]$ tại 3 điểm phân biệt $A[0;4], B, C$ sao cho $\Delta KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt 2 $.

Phân tích:Ta biết rằng $S_{\Delta KBC} = \frac{1}{2}.BC.d_{K,BC}$. Mà $d_{K,BC}$ dễ dàng tính được. Từ đó ta tính được độ dài $BC$. Độ dài này hoàn toàn phụ thuộc vào hoành độ của $B,C$ [cũng chính là 2 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm]. Ta dễ dàng liên hệ với định lý Viète.

Giải

Hoành độ giao điểm của $d$ và $\left [ C \right ]$ là nghiệm của phương trình:$$x^3 + 2mx^2 + [m + 3]x + 4 = x + 4$$$$ \Leftrightarrow x[x^2 + 2mx + m + 2] = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0 \ \ \ \ [1.5]\end{array} \right.$$Điều kiện cần và đủ để $\left [ C \right ]$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt là phương trình $[1.5]$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:$$\left \{ \begin{array}{l}m + 2 \neq 0\\m^2 - m - 2 > 0\end{array} \right. [1.5']$$Với điều kiện $[1.5']$, ta có hai giao điểm $B[x_B; x_B + 4]$ và $C[x_C; x_C + 4]$. Gọi $KH$ là đường cao của tam giác $KBC$. Khi đó:$$KH = d_{[K, BC]} = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \sqrt{2}$$Từ đó, ta có:$$BC = \frac{2S_{\Delta KBC}}{KH} = 16$$$$BC = 16 \Leftrightarrow \sqrt2 |x_B – x_C | = 16 \Leftrightarrow [x_B – x_C]^2 = 128 \Leftrightarrow m^2 – m – 34 \Leftrightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt {137}}{2}$$.KL: nghiệm của bài toán là: $m = \frac{{1 \pm \sqrt {137}}}{2}$

Ví dụ 1.6. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{3}-3[m+1]x^{2}+3mx-m+1=0$ cắt $Ox$ tại $3$ điểm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ điểm có hoành độ âm.

Phân tích:Trực tiếp tìm điều kiện để 1 phương trình có 3 nghiệm phân biệt, có ít nhất 1 nghiệm âm e là hơi khó. Ta sẽ tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm không âm. Khi đó, yêu cầu của bài toán chính là phần bù của điều kiện vừa tìm.Do hệ số của $x^3$ dương nên ta có 2 trường hợp sau:

Trong cả hai trường hợp trên, $y[0] \leq 0$ và $y_{CD}, y_{CT}$ trái dấu, thêm nữa, các điểm cực đại, cực tiểu đều dương. Như vậy ta đã tạm hình dung ra điều kiện cần giải quyết.

Giải

Yêu cầu của bài toán tương đương với Tìm $m$ phương trình$$x^{3}-3[m+1]x^{2}+3mx-m+1=0 \ \ \ \ [1.6]$$có $3$ nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ nghiệm âm.Ta có:$$y'=3x^2-6[m+1]x+3m; y = \frac{1}{3}y'[x-m-1]-2[m^2+m+1]x+m^2+1$$$y'$ là tam thức bậc hai có:$$\Delta = 9[m^2+m+1]>0$$Vậy phương trình $y'=0$ luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$Điều kiện cần và đủ để phương trình $[1.6]$ có 3 nghiệm phân biệt là$$y[x_1].y[x_2] < 0 \Leftrightarrow [m+1][m^3-m^2-m-3] > 0 \ \ \ [1.6a]$$Với điều kiện $[1.6a]$, phương trình $[1.6]$ có 3 nghiệm không âm khi và chỉ khi:\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y[0] \leq 0}\\{{x_1}.{x_2} > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- m + 1 \leq 0\\m > 0\\2\left[ {m + 1} \right] > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \geq 1\\m > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \geq 1\]Vậy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:$$\left\{\begin{matrix} m &< 1\\ [1.6a] \end{matrix}\right. \ \ \ [1.6b]$$Xét hàm số $g[m] = m^3-m^2-m-3$, bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số:$$\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hlinem & -\infty & \; & - \dfrac{1}{3} & \; & \; & 1 &\; &\; +\infty\\\hlineg'\left[ m \right] & \; & + & 0 & - & \; & 0 \; & + &\; \\\hline& \;& \; & \; - \frac{{76}}{{27}} & \; & \; & \; & \; & \; +\infty \\g\left[ m \right] & \; & \nearrow& \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; \\& -\infty\; & \; & \; & \; & \; & -4 & \; \\\hline\end{array}$$ta có:$$g[m] < 0, \forall m \leq 1$$Từ đó, ta có$$[1.6b] \Leftrightarrow -1 < m < 1$$

Ví dụ 1.7. Cho đường thẳng $[d]:y=x+m$ và đồ thị $[G]:y=\frac{2x+1}{x-1}$

a] CMR: Với mọi $m$,$[d]$ luôn cắt $[G]$ tại 2 điểm phân biệt $E,F$.Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn $EF$ khi $m$ thay đổib] Xác định $m$ để đoạn $EF$ ngắn nhấtPhân tích:a] Ta chỉ cần chứng minh phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt là xongb] Ta sẽ biểu diễn độ dài $EF$ qua $m$. Muốn vậy, cần dùng định lý Vi-etGiảia] Hoành độ giao điểm [nếu có] của $[G]$ và $[d]$ là nghiệm của phương trình:$$\dfrac{2x+1}{x-1} = x+m,\,\,\,\, [1.7a]$$$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 1\\x^2+[m-3]x-m-1=0,\,\,\, [1.7b]\end{matrix}\right.$$Ta có:$$\Delta = m^2-2m+10>0$$Nên phương trình $[2]$ có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của $[1.7b]$. Từ đó, phương trình $[1.7a]$ có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $[G]$ và $[d]$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:$$E\left [ e;e+m \right ],F\left [ f;f+m \right ]$$trong đó $e,f$ là các nghiệm của $[1.7b]$. Ta có:$$e+f=-m+3$$Trung điểm của $EF$ là: $H\left [ \frac{e+f}{2}; \frac{e+f}{2}+m \right ]$ hay: $H\left [ \frac{3-m}{2}; \frac{m+3}{2}\right ]$. Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng: $y=3-x$b] Ta có:$$EF=\sqrt{2[e-f]^2}=\sqrt{2[e+f]^2-8ef} = \sqrt{2[3-m]^2+8[m+1]}=\sqrt{2[m^2-2m+13}$$Vậy$$minEF=\sqrt{24} \Leftrightarrow m = 1$$

• Tham Lang, L Lawliet, batigoal và 7 người khác yêu thích

Đã gửi 08-09-2012 - 21:56

Bài tập tự luyện
1.1] D-2006. Tương ví dụ 2 với $y = x^3 – 3x + 2$ và $A[3;20]$. [ĐA: $k \neq 24$ và $k > \frac{15}{4}$].

1.2] Xác định $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – mx^2 + m – 1$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt. [ĐA: $m \neq 2, m>1$]

1.3] D-2003. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}$ có đồ thị $\left [ C \right ]$. Tìm $m$ để $\left [ C \right ]$ và đường thẳng $d: y=mx+2-2m$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. [ĐA: $m > 1$].

1.4] A-2003. Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} + x + m}}{{x - 1}}$ có đồ thị $\left [ C \right ]$. Tìm $m$ để $\left [ C \right ]$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. [ĐA: $-\frac{1}{2}0$$Vậy phương trình $y'=0$ luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$Điều kiện cần và đủ để phương trình $[1.6]$ có 3 nghiệm phân biệt là

$$y[x_1].y[x_2] < 0 \Leftrightarrow [m+1][m^3-m^2-m-3] > 0 \ \ \ [1.6a]$$

Với điều kiện $[1.6a]$, phương trình $[1.6]$ có 3 nghiệm không âm khi và chỉ khi:\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y[0] \leq 0}\\{{x_1}.{x_2} > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- m + 1 \leq 0\\m > 0\\2\left[ {m + 1} \right] > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \geq 1\\m > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \geq 1\]Vậy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:$$\left\{\begin{matrix} m &< 1\\ [1.6a] \end{matrix}\right. \ \ \ [1.6b]$$Xét hàm số $g[m] = m^3-m^2-m-3$, bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số:$$\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hlinem & -\infty & \; & - \dfrac{1}{3} & \; & \; & 1 &\; &\; +\infty\\\hlineg'\left[ m \right] & \; & + & 0 & - & \; & 0 \; & + &\; \\\hline& \;& \; & \; - \frac{{76}}{{27}} & \; & \; & \; & \; & \; +\infty \\g\left[ m \right] & \; & \nearrow& \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; \\& -\infty\; & \; & \; & \; & \; & -4 & \; \\\hline\end{array}$$ta có:$$g[m] < 0, \forall m \leq 1$$Từ đó, ta có$$[1.6b] \Leftrightarrow -1 < m < 1$$

Em chưa rõ về đoạn có dòng chữ xanh này, anh giúp em với.Nếu lấy biểu thức y theo y' ở dòng [chữ xanh] trên thế vào biểu thức $$y[x1]y[x2]$$ ở dưới thì vẫn còn x1,x2. Nhưng dòng [chữ xanh] dưới lại không có x[1],[x2], chỉ có m ?Anh giải thích hộ em đoạn này nhé.

• E. Galois và minhson95 thích

Đã gửi 22-09-2012 - 18:24

$$y = \frac{1}{3}y'[x-m-1]-2[m^2+m+1]x+m^2+1$$Dòng này có được nhờ việc ta chia $y$ cho $y'$. Hi vọng là em còn nhớ cách chia đa thức

$$y[x_1].y[x_2] < 0 \Leftrightarrow [m+1][m^3-m^2-m-3] > 0 \ \ \ [1.6a]$$

Cái này có thể giải thích kĩ như sau:$$y[x_1].y[x_2] = \left [\frac{1}{3}y'[x_1][x-m-1]-2[m^2+m+1]x_1+m^2+1 \right ].\left [\frac{1}{3}y'[x_2][x-m-1]-2[m^2+m+1]x_2+m^2+1 \right ]=A$$Nhưng do $x_2,x_2$ là nghiệm của $y'=0$ nên $y'[x_1]=y'[x_2]=0$. do đó$A= \left [-2[m^2+m+1]x_1+m^2+1 \right ].\left [-2[m^2+m+1]x_2+m^2+1 \right ]$$=4[m^2+m+1]^2x_1x_2-2[m^2+m+1][m^2+1][x_1+x_2]+[m^2+1]^2$mà $y'=3x^2-6[m+1]x+3m$ nên Áp dụng định lý Vi-et, ta có:$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 2[m+1]; x_1.x_2 = \frac{c}{a}=m$$Do đó$A=4[m^2+m+1]^2m-2[m^2+m+1][m^2+1][m+1]+[m^2+1]^2$Đến đây, chắc là em hiểu rồi

• Mai Duc Khai, Mrnhan và tkf thích

Đã gửi 23-09-2012 - 21:08

Ví dụ 1.7. Cho đường thẳng $[d]:y=x+m$ và đồ thị $[G]:y=\frac{2x+1}{x-1}$a] CMR: Với mọi $m$,$[d]$ luôn cắt $[G]$ tại 2 điểm phân biệt $E,F$.Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn $EF$ khi $m$ thay đổib] Xác định $m$ để đoạn $EF$ ngắn nhấtPhân tích:a] Ta chỉ cần chứng minh phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt là xongb] Ta sẽ biểu diễn độ dài $EF$ qua $m$. Muốn vậy, cần dùng định lý Vi-etGiảia] Hoành độ giao điểm [nếu có] của $[G]$ và $[d]$ là nghiệm của phương trình:$$\dfrac{2x+1}{x-1} = x+m,\,\,\,\, [1.7a]$$$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 1\\x^2+[m-3]x-m-1=0,\,\,\, [1.7b]\end{matrix}\right.$$Ta có:$$\Delta = m^2-2m+10>0$$Nên phương trình $[2]$ có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của $[1.7b]$. Từ đó, phương trình $[1.7a]$ có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $[G]$ và $[d]$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:$$E\left [ e;e+m \right ],F\left [ f;f+m \right ]$$trong đó $e,f$ là các nghiệm của $[1.7b]$. Ta có:$$e+f=-m+3$$

Trung điểm của $EF$ là: $H\left [ \frac{e+f}{2}; \frac{e+f}{2}+m \right ]$ hay: $H\left [ \frac{3-m}{2}; \frac{m+3}{2}\right ]$. Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng: $y=3-x$

cho em hỏi rõ hơn phần in đậm làm sao để tìm ra được như thế ạ

Đã gửi 23-09-2012 - 21:22

cho em hỏi rõ hơn phần in đậm làm sao để tìm ra được như thế ạ

Bạn có thể hiểu như thế này.Ta tìm được tọa độ trung điểm $H$ của đoạn $EF$ là $H\left[ {\frac{{3 - m}}{2};\frac{{m + 3}}{2}} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{3 - m}}{2}\\{y_M} = \frac{{m + 3}}{2}\end{array} \right.$.Ta có: ${y_M} = \frac{{m + 3}}{2} = \frac{{6 - \left[ {3 - m} \right]}}{2} = 3 - \frac{{3 - m}}{2} = 3 - {x_M}\,\,\,[*]$.Tọa độ của điểm $H$ thỏa mãn $[*]$ với mọi $m$ hay quỹ tích là đường thẳng $y = 3 - x$.

• E. Galois, minhson95, Mrnhan và 1 người khác yêu thích

Đã gửi 28-09-2012 - 23:09

thầy ơi em thấy ở ví dụ 3 điều kiện để pt có 2 nghiệm: x1 + x2 > 2 và x1.x2 > 1 hình như có vấn đề thì phải. Thử đơn giản lấy 2 số 1/2 và 4 chẳng hạn. Tuy đáp ứng đ/k x1 + x2 > 2 và x1.x2 > 1 nhưng không thõa mãn pt có 3 ngiệm lớn hơn 1. Em nghĩ phải là thế này: $\bigtriangleup$' > 0 : a.f[1] > 0; -b/2a > 1
mong mọi người xem lại thử có đúng không

Đã gửi 29-09-2012 - 00:07

Cảm ơn nhận xét của bạn Mình đã sửa lại như trên

Đã gửi 17-10-2012 - 21:04

Cho hàm số y=$x^{3}-3x^{2}-9x+m [Cm] Tìm m để [Cm] cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cống Mong mọi người cho e ý kiến e mới học nên còn chưa hiếu lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi talaai01: 17-10-2012 - 21:07

Đã gửi 17-10-2012 - 21:09

Cho hàm số y=$x^{3}-3x^{2}-9x+m [Cm]$Tìm m để [Cm] cắt Ox tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cốngMong mọi người cho e ý kiến e mới học nên còn chưa hiếu lắm

Em xem Ví dụ 1.4 ở trên Bài giảng nhé. Nếu có gì thắc mắc thì em cứ nêu ra.

II – Các dạng toán thường gặp
1. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định
Ví dụ 1.4. Cho hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3[2m – 1]x$ có đồ thị là $\left [ C \right ]$. Tìm $m$ để $\left [ C \right ]$ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Chúc em học tốt.

Đã gửi 01-03-2013 - 12:44

Dạng toán này cơ bản là vẽ đồ thị phải không ạ, em gài emất kém và yếu về phần tượng hình, nên mỗi khi vướng dạng này dù em nghĩ nó rất dễ, em gái em vẫn rất sợ và không thể suy nghĩ được gì, không biết có bạn nào biết cách để em gái mình không còn sợ dạng toán đồ thig nữa?

Mình nghĩ, vấn đề là em ấy sợ quá nên không đụng vào dẫn đến là không biết làm thôi, còn còn về mặt lí thuyết mà nói thì cái gì có thể biểu diễn bằng hình ảnh thì bao giờ cũng trực quan và dễ hiểu hơnÝ kiến chủ quan của mình thế này, đầu tiên hãy tập cho em ấy vẽ đồ thị, bằng cách làm thật cẩn thận các bài toán khảo sát trong các đề thi ấy [vừa kết hợp ôn tập luôn] nhớ là phải làm thật cẩn thận, mỗi dạng đồ thị chỉ cần làm khoảng 3 bài thôiHàm số và đồ thị chẳng qua là hai cách thể hiện của cùng một vấn đề, cũng giống như việc đưa tin, cùng một tin nhưng đài phát thanh thì dùng lời nói, còn đài truyền hình thì dùng hình ảnh!Vì vậy giữa hàm số và đồ thị có mối liên hệ với nhau!Hàm số $y=f[x]$ có đồ thị $[C_1]$Hàm số $y=g[x]$ có đồ thị $[C_2]$Xét phương trình hoành độ giao điểm $f[x]=g[x]\quad [1]$Số nghiệm của $[1]$ là số giao điểm của $[C_1]$ và $[C_2]$ và nghiệm của $[1]$ là hoành độ giao điểm và ngược lại !Tùy mức độ nhận thức của em mà giải thích hay cho em ghi nhớ điều này [vì mục đích học thi]Sau khi đã hiểu về các vấn đề trên lại cho em học đến các cách vẽ các đồ thị của hàm số: $y=|f[x]|$ và $y=f[|x|]$Mỗi dạng cũng luyện tập 3, 4 bài thì em sẽ hiểu và nhớ thôi!

Cứ kiên trì thì sẽ không vấn đề gì cả

Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com

Đã gửi 22-04-2014 - 23:17

cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+\frac{8}{3}$

vấn đề đặt ra:

Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị [C] tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

tam giác OAB cân tại O [O là gốc toạ độ].

giải chi tiết giùm em, tại đáp án có chổ khó hiểu nên cần bản chi tiết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhoangqn: 22-04-2014 - 23:18

Đã gửi 15-07-2014 - 22:06

dạ cho em hỏi ở chỗ 1.7 

$$EF=\sqrt{2[e-f]^2}=\sqrt{2[e+f]^2-8ef} = \sqrt{2[3-m]^2+8[m+1]}=\sqrt{2[m^2-2m+13}$$

Vậy
$$minEF=\sqrt{24} \Leftrightarrow m = 1$$

b] 

thầy tính ntn mà ra minEF ạ em hơi chậm mong thầy giải thích rõ cho em hiểu ạ 

Đã gửi 15-07-2014 - 23:50

thầy tính ntn mà ra minEF ạ em hơi chậm mong thầy giải thích rõ cho em hiểu ạ 

Trong căn thức là một tam thức bậc hai có hệ số a dương nên giá trị nhỏ nhất của nó đạt tại đỉnh của parabol đó em

Đã gửi 05-09-2014 - 12:50

cho e hỏi sao không có kiến thức dạy cách giải là tìm A,B để tạo nên tam giác đều hay cân ạ