Đường thẳng song song với mặt phẳng toanmath

Mục lục

1 ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 3

A Tóm tắt lý thuyết . . . 3

B Bài tập rèn luyện . . . 4

Dạng 0.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . 4

Dạng 0.2. Tìm thiết diện của hình[H]khi cắt bởi mặt phẳng[P] . . . 9

Dạng 0.3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . 14

Dạng 0.4. Tìm thiết diện của hình[H]khi cắt bởi mặt phẳng[P]. . . 23

Dạng 0.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứngminh một điểm thuộc một đường thẳng cố định. . . 24

2 QUAN HỆ SONG SONG 511 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 51A Tóm tắt lý thuyết . . . 51

2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG . . . 52

A Tóm tắt lý thuyết . . . 52

B Bài tập rèn luyện . . . 53

Dạng 2.1. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳngsong song với mặt phẳng. . . 53

Dạng 2.2. Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng[α]và song song vớimột đường thẳng cho trước. Tính diện tích thiết diện . . . 63

3 HAI MẶT PHẲNG THẲNG SONG SONG . . . 82

A Tóm tắt lý thuyết . . . 82

B Bài tập rèn luyện . . . 85

4 KHỐI LĂNG TRỤ . . . 92

5 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG II . . . 111

3 QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1251 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG . . . 125

A Tóm tắt lý thuyết . . . 125

B Bài tập rèn luyện . . . 127

2 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC . . . 145

A Tóm tắt lý thuyết . . . 145

B Bài tập rèn luyện . . . 146

Dạng 2.1. Chứng minh hai mặt phẳng vng góc . . . 146

3 GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . 155

A Tóm tắt lý thuyết . . . 155

B Bài tập rèn luyện . . . 155

Dạng 3.1. Tính góc giữa hai đường thẳng . . . 155

4 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . 160

A Góc giữa hai đường thẳng . . . 160

B Bài tập rèn luyện . . . 160

Dạng 4.1. Tính góc giữa hai đường thẳng . . . 160

C Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . 164

Dạng 4.2. Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . 165

D Bài tập rèn luyện . . . 165

2 MỤC LỤC

Dạng 4.3. Tính góc giữa hai mặt phẳng . . . 173

F Bài tập rèn luyện . . . 174

5 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG . . . 188

A Phương pháp giải toán . . . 188

B Bài tập mẫu . . . 189

Dạng 5.1. Tính khoảng cách nhờ tính chất của tứ diện vng . . . 206

6 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU . . . 211

A Tóm tắt lý thuyết . . . 211

B Bài tập rèn luyện . . . 211

Dạng 6.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . 211

Chương 1.

ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG

GIAN

A.

Tóm tắt lý thuyết

1. Mặt phẳng

Mặt phẳng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng, mặt sàn nhà,... cho ta hình ảnh một phầncủa mặt phẳng.

2. Điểm thuộc mặt phẳng

Cho điểm Avà mặt phẳng[α]. Khi điểm Athuộc mặt phẳng[α], ta nói Anằm trên[α]hay mặt phẳng[α]chứa A, hay mặt phẳng[α]đi qua điểm Avà kí hiệu A ∈ [α], đượcbiểu diễn ở hình2.

Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng.

Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt. thuộc một mặt phẳng thìmọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm khơng cùng thuộc một mặt phẳng.

Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có một điểm chungthì chúng cịn một điểm chung khác nữa.

3. Cách xác định một mặt phẳngCó ba cách xác định một mặt phẳng:

• Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi qua ba điểm khơngthẳng hàng.

• Mặt phẳng được hồn tồn xác định khi biết mặt phẳng đi qua một điểm và chứamột đường thẳng khơng đi qua điểm đó.

• Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi chứa hai đường thẳngcắt nhau.

4. Hình chóp và tứ diện

• Trong mặt phẳng [α] cho đa giác lồi A1A2A3. . .An. Lấy một điểm S không

thuộcmặt phẳng[α]và lần lượt nối điểmSvới các đỉnh A1, A2,A3,. . ., An ta được

ntam giácSA1A2,SA2A3,. . .,SAnA1. Hình gồm đa giác A1A2A3. . .An vàntam

giácSA1A2,SA2A3,. . .,SAnA1được gọi là hình chóp, kí hiệu làS.A1A2A3. . .An.• S được gọi là đỉnh của hình chóp, đa giác A1A2A3. . .An, các tam giác SA1A2,

SA2A3,. . .,SAnA1được gọi là các mặt bên của hình chóp,SA1,SA2,SA3,. . .,SAn

được gọi là các cạnh bên của hình chóp.

• Tên của hình chóp gọi theo tên của đa giác đáy. Hình chóp tam giác cịn gọi làhình tứ diện.

Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là tứ diện đều.

4 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

S

A B

CHình chóp tam giác

[hình tứ diện]

S

AD

BC

Hình chóp tứ giác

S

AD

BCHình chóp tứ giác có

đáy là hình thangS

AD

BCHình chóp tứ giác có

đáy là hình bìnhhành

B.

Bài tập rèn luyện

DẠNG 0.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp giải: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung
phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

Bài 1. Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy mộtđiểmSkhông thuộc mặt phẳng[ABCD]. Xác định giao tuyến của

1. Mặt phẳng[SAC]và mặt phẳng[SBD].2. Mặt phẳng[SAB]và mặt phẳng[SCD].3. Mặt phẳng[SAD]và mặt phẳng[SBC].

Lời giải.

5

Khi đó

®

H ∈ AC

H ∈ BD ⇒ H ∈ [SAC]∩[SBD] [1].

Dễ thấyS ∈[SAC]∩[SBD] [2].Từ [1] và[2] suy ra SH là giao tuyếncủa hai mặt phẳng[SBD]và[SAC].2. Gọi K là giao điểm của hai đường

thẳngCDvàAB.Khi đó

®

K∈ AB

K∈ CD ⇒ K ∈[SAB]∩[SCD] [3].

Dễ thấyS ∈[SAB]∩[SCD] [4].Từ [3] và[4] suy ra SK là giao tuyếnhai mặt phẳng[SAB]và[SCD].3. Gọi L là giao điểm của hai đường

thẳngADvàBC.Khi đó

®

L∈ AD

K ∈ BC ⇒ L ∈[SAD]∩[SBC] [5].

Dễ thấyS ∈[SAD]∩[SBC] [6].Từ [5] và [6] suy ra SL là giao tuyếnhai mặt phẳng[SAD]và[SBC].

S

A

D H

K

L

B

C

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, Jlần lượt là trung điểm các cạnhAD, BC.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng[IBC]và mặt phẳng[J AD].

2. Lấy điểmMthuộc cạnhAB,Nthuộc cạnhACsao choM,Nkhơng là trung điểm.Tìm giao tuyến của mặt phẳng[IBC]và mặt phẳng[DMN].

Lời giải.

1. Do giả thiết I ∈ ADnên I ∈ [J AD].Suy ra I ∈ [BCI]∩[ADJ] [1].

Tương tự, ta có J ∈ [BCI]∩[ADJ] [2].Từ [1] và[2] suy ra I J là giao tuyến của haimặt phẳng[BCI]và[ADJ].

2. GọiElà giao điểm của hai đường thẳngDMvàBI.

Khi đó

®

E ∈ BI

E ∈ DM ⇒ E ∈ [MND] ∩[IBC] [3].

Tương tự, gọi F là giao điểm củaDN vàCIsuy raF∈ [BCI]∩[MND] [4].

Từ[3]và[4]suy ra EFlà giao tuyến hai mặtphẳng[BCI]và[MND].

BJM

A

CE

DN

6 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm Mthuộc cạnhAB, Nthuộc cạnh ACsao choMN cắtBC. GọiI là điểm bên trong tam giácBCD. Tìm giao tuyến của

1. Mặt phẳng[MN I]và mặt phẳng[BCD].2. Mặt phẳng[MN I]và mặt phẳng[ABD].3. Mặt phẳng[MN I]và mặt phẳng[ACD].Lời giải.

1. GọiHlà giao điểm của MNvàBC.Suy ra H ∈[MN I]∩[BCD] [1].Do I là điểm trong 4BCD nên I ∈[MN I]∩[BCD] [2].

Từ [1] và [2] suy ra I H là giao tuyếncủa hai mặt phẳng[MN I]và[BCD].2. Giả sử E là giao điểm của hai đường

thẳngI HvàBD.

Vì H ∈ MN và

®

E ∈ BD

E ∈ I H ⇒ E ∈[MN I]∩[ABD] [3].

Dễ thấyM ∈[ABD]∩[MN I] [4].
Từ [3] và[4] suy ra ME là giao tuyếnhai mặt phẳng[ABD]và[MN I].3. Tương tự, gọi F là giao điểm của

hai đường thẳng I H và CD. Ta suyra

®

F∈ CD

F∈ I H ⇒ F ∈ [MN I] ∩[ACD] [5].

DoN ∈ ACnên N ∈[ACD].Khi đóN ∈ [MN I]∩[ACD] [6].Từ [5] và [6] suy ra NF là giao tuyếncủa hai mặt phẳng[ACD]và[MN I].

HB

IM

A

C

E D

N

F

Bài 4. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thang có cạnhABsong song vớiCD. GọiI là giao điểm củaADvàBC. Lấy điểm Mthuộc cạnhSC. Tìm giao tuyến của

1. Mặt phẳng[SAC]và mặt phẳng[SBD].2. Mặt phẳng[SAD]và mặt phẳng[SBC].3. Mặt phẳng[ADM]và mặt phẳng[SBC].Lời giải.

7Suy ra H ∈[SAC]∩[SBD] [1].

Dễ thấyS ∈[SAC]∩[SBD] [2].

Từ [1] và [2] suy ra SH là giao tuyến của hai mặtphẳng[SAC]và[SBD].

2. DoI là giao điểm của hai đường thẳngADvàBC.Nên

®

I ∈ AD

I ∈ BC ⇒ I ∈[SAD]∩[SBC] [3].Dễ thấyS ∈[SAD]∩[SBC] [4].

Từ [3] và [4] suy ra SI là giao tuyến hai mặt phẳng[SAD]và[SBC].

3. Do giả thiết ta có

®

I ∈ AD

I ∈ BC ⇒ I ∈ [ADM]∩[SBC] [5].

Vì M ∈ SC nên M ∈ [SBC]. Do đó M ∈ [ADM]∩[SBC] [6].

Từ [5] và [6] suy ra I M là giao tuyến của hai mặtphẳng[ADM]và[SBC].

A

S

D

B

I

H C

M

Bài 5. Cho hình chópS.ABCD đáy là hình bình hành tâmO. Gọi M, N, P lần lượt làtrung điểm của cạnhBC,CD, SA. Tìm giao tuyến của

[MNP]và[SAB].

a] b] [MNP]và[SBC].

[MNP]và[SAD].

c] d] [MNP]và[SCD].

Lời giải.

1. [MNP]∩[SAB].

GọiF= MN∩AB,E =MN∩AD[vì MN, AB, AD⊂[ABCD]]Vì

®

P∈ [MNP]

P∈ SA ⊂[SAB] nênP∈ [MNP]∩[SAB] [1].

Mặt khác

®

F ∈ MN ⊂[MNP]F ∈ AB⊂[SAB] nênF∈ [MNP]∩[SAB] [2].

Từ [1]và[2]suy ra [MNP]∩[SAB] =

PF.

2. [MNP]∩[SAD].Ta có

®

P∈ [MNP]

P∈ SA ⊂[SAD] ⇒ P ∈[MNP]∩[SAD] [3].

Mặt khác

®

E ∈ MN ⊂[MNP]

E ∈ AD ⊂[SAD] ⇒E ∈[MNP]∩[SAD] [4].

Từ[3]và[4]suy ra[MNP]∩[SAD] =

PE.

S

EH

A

B C

D

M

N

F

P

8 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN3. Tìm[MNP]∩[SBC].

Trong[SAB]. GọiK =PF∩SB. Ta có

®

K∈ PF⊂[MNP]

K∈ SB⊂[SBC] ⇒K ∈ [MNP]∩[SBC] [5].Mặt khác

®

M∈ [MNP]

M∈ BC ⊂[SBC] ⇒ M∈ [MNP]∩[SBC] [6].Từ[5]và[6]suy ra[MNP]∩[SBC]= MK.

4. Tìm[MNP]∩[SCD].

Trong mặt phẳng [SAD]. Gọi H = PE∩ SD. Ta có

®

H ∈ PE⊂[MNP]

H ∈ SD⊂[SCD] ⇒ H ∈[MNP]∩[SCD] [7].

Mặt khác

®

N ∈ [MNP]

N ∈ CD ⊂[SCD] ⇒ N ∈ [MNP]∩[SCD] [8].Từ[7]và[8]suy ra[MNP]∩[SCD]= NH.

Bài 6. Cho tứ diệnSABC. Lấy M∈ SB, N ∈ AC, I ∈ SC sao choMI không song songvớiBC, N Ikhơng song song vớiSA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng[MN I]với các mặt[ABC]và[SAB].

Lời giải.

1. Tìm[MN I]∩[ABC].Vì

®

N ∈ [MN I]

N ∈ AC ⊂[ABC] nên N ∈ [MN I]∩[ABC] [1].

Trong[SBC], gọiK =MI∩BC.Vì

®

K ∈ MI ⊂[MN I]

K ∈ BC ⊂[ABC] ⇒ K ∈ [MN I]∩[ABC] [2].

Từ[1]và[2]suy ra[MN I]∩[ABC]= NK.2. Tìm[MN I]∩[SAB].

Trong[SAC], gọiJ = N I∩SA.Ta có

®

M ∈ [MN I]

M ∈ SB⊂[SAB] ⇒ M ∈ [MN I]∩[SAB] [3].

Mặt khác

®

J ∈ N I ⊂[MN I]

J ∈ SA ⊂[SAB] ⇒ J ∈[MN I]∩[SAB] [4].

Từ[3]và[4]suy ra[MN I]∩[SAB]= MJ.

S

I

BN

J

C

A K

M

Bài 7. Cho tứ diện ABCD,Mlà một điểm bên trong tam giácABD,Nlà một điểm bêntrong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau

[AMN]và[BCD].

a] b] [DMN]và[ABC].

9

1. Tìm[AMN]∩[BCD].

Trong[ABD], gọiE = AM∩BD.Ta có

®

E ∈ AM⊂[AMN]

E ∈ BD⊂[BCD] ⇒ E ∈ [AMN]∩[BCD] [1].

Trong[ACD], gọiF = AN∩CD.Ta có

®

F ∈ AN ⊂[AMN]

F ∈ CD⊂[BCD] ⇒ F ∈ [AMN]∩[BCD] [2].

Từ[1]và[2]suy ra[AMN]∩[BCD]=EF.2. Tìm[DMN]∩[ABC].

Trong[ABD], gọiP=DM∩AB.Ta có

®

P ∈ DM ⊂[DMN]

P ∈ AB⊂[ABC] ⇒ P ∈ [DMN]∩[ABC] [3].

Trong[ACD], gọiQ= DN∩ AC.
Ta có

®

Q ∈ DN ⊂[DMN]

Q ∈ AC⊂[ABC] ⇒ Q ∈ [DMN]∩[ABC] [4].

Từ[3]và[4]suy ra[DMN]∩[ABC]=PQ.

A

CE

BP

Q

DFM

N

Bài 8. Cho tứ diện ABCD. LấyI ∈ AB, J là điểm trong tam giácBCD,Klà điểm trong
tam giác ACD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng[I JK]với các mặt của tứ diện.

Lời giải.

GọiM=DK∩AC,N =DJ∩BC,H = MN∩K J.VìH ∈ MN ⊂[ABC]⇒ H ∈[ABC].

GọiP= H I∩BC,Q= PJ∩CD, T =QK∩ AD.

Theo cách dựng điểm ở trên ta có





[I JK]∩[ABC]= IP[I JK]∩[BCD]=PQ[I JK]∩[ACD] =QT[I JK]∩[ABD]=T I.

A

P

CJ

H

QB

I

N

K

DM

T

DẠNG 0.2. Tìm thiết diện của hình[H]khi cắt bởi mặt phẳng[P]Thiết diện là phần chung của mặt phẳng[P]và hình[H].

10 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

khác của hình[H], từ đó ta tìm được các giao tuyến tiếp theo.

Đa giác giới hạn bởi các đoạn giao tuyến này khép kín thành một thiết diện cần tìm.

Bài 9. Cho hình chópS.ABCD. GọiMlà một điểm trong tam giácSCD.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng[SBM]và[SAC].

2. Tìm giao điểm của đường thẳngBMvà[SAC].

3. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng[ABM].Lời giải.

1. Tìm[SBM]∩[SAC].

Trong[SCD], gọi N =SM∩CD.Trong[ABCD], gọi AC∩BN =O.Ta có

®

O∈ BN ⊂[SBN]

O∈ AC ⊂[SAC] ⇒ O ∈ [SAC]∩[SBN] [1].

Mặt khácS ∈[SAC]∩[SBN] [2].

Từ[1]và[2]suy ra[SAC]∩[SBN]=SO.2. TìmBM∩[SAC].

GọiH =BM∩SO.Ta có

®

H ∈ BM

H ∈SO ⊂[SAC] ⇒ H = BM∩[SAC].

S

B

CO

N

DM

IJ

A H

3. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi[ABM].Trong[SAC], gọiI = AH∩SC. Ta có

®

I ∈ AH ⊂[ABM]

I ∈ SC ⊂[SCD] ⇒ I ∈[SCD]∩[ABM] [3].Mặt khácM∈ [SCD]∩[ABM] [4].

Từ[3]và[4]suy ra[SCD]∩[ABM]= I M.

Trong[SCD], gọiJ = I M∩SD. Khi đó[SAC]∩[ABM] = AJvà[SBC]∩[ABM]=BI.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ABI J J.

Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lấy 2điểm M, N sao cho MN không songsongBC. GọiOlà một điểm trong tam giác BCD.

1. Tìm giao tuyến của[OMN]và[BCD].2. Tìm giao điểm của DC, BDvới[OMN].3. Tìm thiết diện của[OMN]với hình chóp.Lời giải.

11Trong[ABC], gọiH = MN∩BC.

Ta có

®

H ∈ MN ⊂[MNO]

H ∈ BC ⊂[BCD] ⇒ H ∈ [BCD]∩[MNO] [1].

Mặt khácO∈ [BCD]∩[MNO] [2].

Từ[1]và[2]suy ra[BCD]∩[MNO]=HO.2. TìmDC∩[OMN]vàBD∩[OMN].

Trong[BCD], gọiI = BD∩HO.Ta có

®

I ∈ BD

I ∈ HO ⊂[MNO] ⇒ I =BD∩[MNO].Trong[BCD], gọiJ =CD∩HO.

Ta có

®

J ∈CD

J ∈ HO ⊂[MNO] ⇒ J = CD ∩[MNO].

A

COI

JB

MH

DN

3. Tìm thiết diện của[OMN]và hình chóp.

Ta có



[ABC]∩[MNO]= MN[ABD]∩[MNO]= MI[ACD]∩[MNO] =N J[BCD]∩[MNO]= I J

.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácMN J I.

Bài 11. Cho tứ diện SABC. Gọi M ∈ SA, N ∈ [SBC], P ∈ [ABC], khơng có đườngthẳng nào song song.

1. Tìm giao điểm của MNvới[ABC], suy ra giao tuyến của[MNP]và[ABC].2. Tìm giao điểm của ABvới[MNP].

3. Tìm giao điểm của NPvới[SAB].

4. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng[MNP].

Lời giải.

12 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIANChọn mặt phẳng phụ[SAH]chứa MN.

Tìm[SAH]∩[ABC].

Ta cóA ∈[ABC]∩[SAH] [1].Trong[SBC], gọi H=SN∩BC.Ta có

®

H ∈ SN ⊂[SAH]

H ∈ BC ⊂[ABC] ⇒ H ∈ [SAH]∩[ABC] [2].

Từ[1]và[2]suy ra[SAH]∩[ABC] =AH.Trong[SAH], gọiI = MN∩AH.

Ta có

®

I ∈ MN

I ∈ AHH ⊂[ABC] ⇒ I = MN∩[ABC].

Tìm[MNP]∩[ABC].

Ta cóP∈ [MNP]∩[ABC] [3].Mặt khácI ∈ [MNP]∩[ABC] [4].Từ[3]và[4]⇒[MNP]∩[ABC]= PI.2. TìmAB∩[MNP].

Trong[ABC], gọiK= AB∩PI.Ta có

®

K∈ AB

K∈ PI ⊂[MNP] ⇒ K = AB∩[MNP].

S

H

B

P J

LA

M

K

CN

IQ

3. TìmNP∩[SAB].

Trong[MNK], gọiL =PN∩ MK. Ta có

®

L ∈ PN

L ∈ MK ⊂[SAB] ⇒L =PN∩[SAB].

4. Trong[ABC], gọi J =BC∩PI. Khi đó[MNP]∩[SBC]= JN.

Trong[SBC], gọiQ=SC∩JN. Ta có



[MNP]∩[SAB]= MK[MNP]∩[SBC]= IQ[MNP]∩[SAC] =MQ[MNP]∩[ABC]=K J.Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MQJK.

Bài 12. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm nằm trong ba mặt phẳng[SAB],[SBC],[ABC].

1. Tìm giao điểm của I J với[ABC].

2. Tìm giao tuyến của[I JK]với các mặt của hình chóp. Từ đó suy ra thiết diện của[I JK]cắt bởi hình chóp.

Lời giải.

13Trong[SAB], gọiM =SI∩AB.

Trong[SBC], gọiN =SJ∩BC.Suy ra[SI J]∩[ABC]= MN.Trong[SI J], gọiH = I J∩MN.Ta có

®

H ∈ I J

H ∈ MN ⊂[ABC] ⇒ H =I J∩[ABC].

S

BM

N

HD

KE

AIL

CJ

F

2. Tìm giao tuyến của[I JK]và[ABC].Ta có

®

K ∈[I JK]∩[ABC]

H ∈[I JK]∩[ABC] ⇒ HK =[I JK]∩[ABC].Trong[ABC], gọiD =HK∩BCvàE= HK∩AC.+ Tìm[I JK]∩[SBC].

Ta cóJ ∈[I JK]∩[SBC] [1]. Mặt khác

®

D ∈ HK ⊂[I JK]

D ∈ BC ⊂[SBC] ⇒D ∈[I JK]∩[SBC] [2].Từ[1]và[2]suy raDJ =[I JK]∩[SBC].

+ Tìm[I JK]∩[SAB].

Ta cóI ∈ [I JK]∩[SAB] [3].

Trong[SBC], gọiF =DJ∩SB. Ta có

®

F ∈ DJ ⊂[I JK]

F ∈ SB⊂[SAB] ⇒ F∈ [I JK]∩[SAB] [4].Từ[3]và[4]suy raFI =[I JK]∩[SAB].

+ Tìm[I JK]∩[SAC].

Trong[SAB], gọiL =FI∩SA. Ta có

®

L∈ FI ⊂[I JK]

L∈ SA⊂[SAC] ⇒ L=[I JK]∩[SAC] [5].Trong[ABC], gọiE= HK∩AC. Ta có

®

E ∈ HK ⊂[I JK]

E ∈ AC⊂[SAC] ⇒ E∈ [I JK]∩[SAC] [6].Từ[5]và[6]suy raLE=[I JK]∩[SAC].

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giácDFLE.

Bài 13. Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO. Gọi M, N, Ilần lượt nằm trên ba cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng[MN I].

14 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIANTrong [ABCD], gọi J = BD∩

MN,K = MN∩AB,H = MN∩BC.

Trong[SBD], gọiQ= I J∩SB.Trong[SAB], gọiR=KQ∩SA.Trong[SBC], gọiP =QH∩SC.Vậy thiết diện là ngũ giácMNPQR.

S

P

A

B C

O

K

M

NJ

DI

HQ

R

Bài 14. Cho hình chópS.ABCD. Gọi M, N, Plần lượt là trung điểm lấy trên AB, ADvàSC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng[MNP].

Lời giải.

Trong [ABCD], gọi E = MN ∩ DC, F =

MN∩BC.

Trong[SCD], gọiQ =EP∩SD.Trong[SBC], gọiR =EP∩SB.Vậy thiết diện là ngũ giácMNPQR.

S

R

MF

AB

NE

C

DP

Q

DẠNG 0.3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

15

Cách 1: Những bài tốn đơn giản, có sẵn một mặtphẳng[Q]chứa đường thẳng dvà một đườngthẳng a thuộc mặt phẳng [P]. Giao điểm củahai đường thẳng khơng song songdvàachínhlà giao điểm của đường thẳng dvà mặt phẳng[P].

Cách 2: Tìm một mặt phẳng [Q] chứa đường thẳngd, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến a với mặtphẳng [P]. Giao điểm của đường thẳng d vàmặt phẳng [P] chính là giao điểm của đườngthẳngdvà giao tuyến avừa tìm.

dQ

Pa

A

Bài 15. Cho tứ diệnABCD. GọiM,Nlần lượt là trung điểm của ACvàBC.Klà điểmnằm trên BDsao choKD SI],Plà giao điểm củaAKvà[SDC],Qlà giaođiểm củaCI và[SAB]. Chứng minhP,Q,Sthẳng hàng.

Lời giải.

S H

Q

P

x

y

GE

J

B C

F

OA

KN

DI

48 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

1. Tìm giao điểmFcủaDKvới mặt phẳng[SMC]. Tính tỉ số DFDK.

Gọi J là trung điểm của AM, W là trung điểm củaOD ⇒ MW là đường trung bìnhcủa4DJO.

Trong mặt phẳng[SBD]dựng đường thẳngd k SW vàdđi quaO. Đường thẳngdcắtDKvàSBlần lượt tạiGvàN.WFlà đường trung bình của4DGO ⇒Flà trung điểmcủaDG.

Trong4BSW có:ON kWS:BNBS =BOBW =23 ⇔

BK+KN2KS =

2
3 ⇔

BK2KS +

KN2KS =

23 ⇔

12 +

KN2KS =

23 ⇒KNKS =13.Trong4KSFcóGN k FSnên: KN

KS =KGKF =

1

3 ⇒KF=3KG ⇒GF =2KG.Kết luận: DF

DK =2KG5KG =

25.2. Tính tỉ số HE

HK.Có:

S∈ [SBC]∩[SAD]BC k AD

BC ⊂[SBC],AD⊂[SAD]

⇒[SBC]∩[SAD] =Sx Sxk BC k AD.Gọi H = KE∩ Sx [KE,Sx⊂[SBC]] ⇒ H = KE∩

[SAD].

Vẽ lại mặt phẳng [SBC] như hình bên. Gọi L là trungđiểm của EC, KE đường trung bình của tam giác SBLnênKE= 1

2BL [1]

Ta có:S“1 =Cc1[so le trong];c

E1 =cE2[đối đỉnh],c

E2 =cL1[đồng vị]⇒cE1 =cL1.

Từ đó suy ra:4SEH =4CLB[g.c.g]⇒BL= HE. [2]Từ [1] và [2] ta có HE

HK =23.11121S HLB CZK E

3. Chứng minhP,Q,Sthẳng hàng.Ta có:

S ∈[SAB]∩[SCD]BA k CD

AB⊂[SAB],CD⊂[SCD]

⇒[SAB]∩[SCD]=Sy Syk ABk CD.GọiP= AK∩Sy AK,Sy ⊂[SAB]⇒ P= AK∩[SCD];

GọiQ=CI∩Sy CI,Sy ⊂[SCD]

⇒Q=CI∩[SAB];

Vì ba điểmP,S,Qcùng nằm trên giao tuyếnSynên chúng thẳng hàng.

Bài 51. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. GọiM,N lần lượt làtrung điểm của ABvàSC.

1. Tìm giao điểm Icủa ANvà[SBD]. Tính I AI N.2. Tìm giao điểmKcủaMNvà[SBD]. Tính KM

KN.3. Chứng tỏB, I,Kthẳng hàng. Tính IB

49

của[MNE]và hình chóp.Lời giải.

S

I

B L

OK

A

ME

DN

CH

F1. Tìm giao điểm IcủaAN và[SBD].

S ∈[SAC]∩[SBD] [1]

®

O ∈ AC,AC ⊂[SAC]

O ∈ BD,BD⊂[SBD] ⇒O ∈[SAC]∩[SBD] [2]Từ [1] và [2]⇒SO=[SAC]∩[SBD].

GọiI =SO∩AN [SO,AN ⊂[SAC]].Suy ra I = AN∩[SBD].

VìSO, ANlà hai trung tuyến của tam giácSAC⇒ I là trọng tâm của tam giácSAC.Do đó I A

I N =2.

2. Tìm giao điểmKcủaMNvà[SBD].Chọn mặt phẳng[ABN]chứaMN.Ta có:

®

I ∈ SO,SO ⊂[SBD]

I ∈ AN,AN ⊂[ABN] ⇒ I ∈ [ABN]∩[SBD]. [3]B∈ [ABN]∩[SBD] [4]Từ [3] và [4]⇒BI =[ABN]∩[SBD].

GọiK = MN∩BI ⇒K= MN∩[SBD].Vẽ lại tam giácABNnhư bên.

GọiQlà trung điểm của AI. Ta có AQ=QI = I N.Xét4N MQ, ta có:IKlà đường trung bình của tam giác.VậyKlà trung điểm của MN.

Suy ra KMKN =1.

B

A Q I N

50 CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN3. Theo cách tìm giao tuyến của câu b] thì3điểmB,K, I thẳng hàng.

Trong4N MQ, ta có: IK = 1

2QM.Trong4ABI, ta có:QM = 1

2BI ⇒ IB =4IK ⇔IBIK =4.

Hai mặt phẳng[MNE]và[ABCD]cóMlà điểm chung và cóNEk ACnên giao tuyếndcủa chúng quaMvàd k ACk NE.

GọiF=d∩CD[d,CD ⊂[ABCD]]; gọiH = FN∩SD[FN,SD⊂[SCD]].

Vậy thiết diện của mặt phẳng[MNE]cắt hình chópS.ABCDlà đa giácEMLNH.

Chương 2.

QUAN HỆ SONG SONG

Bài 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG

THẲNG SONG SONG

A.

Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa 1. Hai đường thẳng được gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trongmột mặt phẳng.

Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.

Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và khơng có điểm chung.Định lí 1.

Trong khơng gian, qua một điểm khơng nằm trênđường thẳng cho trước, có một và chỉ một đườngthẳng song song với đường thẳng đã cho.

M

d
d0

Định lí 2. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đơi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệtthì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đơi một song song với nhau.

α

β

γ

bc

a

α

β

γ

bc

a

Hệ quả 1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đườngthẳng song song thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũng song songvới hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

α

β

d00dd0

α

β

d00d

d0

α

β

d00d0d

Định lí 3.

52 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song vớiđường thẳng thứ ba thì song song với nhau

α

β

γ

bc

a

Bài 2.

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

A.

Tóm tắt lý thuyết

Định lí 1.

Nếu đường thẳngdkhơng nằm trong mặt phẳng[α]và đường thẳngdsong song với đường thẳngd0nằm trong[α]thìdsong song vớiα.

d

d0

αβ

Định lí 2.

Nếu đường thẳngasong song với mặt phẳng[α].Nếu mặt phẳng [β] chứa a và cắt [α] theo giaotuyếnbthìbsong song vớia.

a

b

αβ

Hệ quả 1.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mộtđường thẳng thì giao tuyến của chúng [nếu có] cũngsong song với đường thẳng đó.

dd0

α

β

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 53

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một
mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song vớiđường thẳng kia.

M b0

b

aα

B.

Bài tập rèn luyện

DẠNG 2.1. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳngsong song với mặt phẳng. . .

Phương pháp giải:

Chứng minh hai đường thẳng song song thì dựa vào hình học phẳng: Định lý Thalesđảo, đường trung bình. . .

Muốn chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng[P], ta phải chứng minhđường thẳngdsong song với một đường thẳng thuộc mp[P].

Tìm giao tuyến cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng, tìm trong hai mặtphẳng lần lượt có hai đường thẳng song song với nhau. Giao tuyến cần tìm đi quađiểm chung và song song với hai đường thẳng song song vừa tìm.

Bài 1. Cho tứ diệnABCD. GọiI,Jlần lượt là trọng tâm các tam giácABC,ABD. Chứngminh I J k CD.

Lời giải.

Gọi E là trung điểm AB. Ta có

®

I ∈ CE

J ∈ DE ⇒ I J và CDđồng phẳng.

Do có EIEC =

EJED =

1

3 [tính chất trọng tâm], nên theođịnh lý Thales suy raI J kCD.

A

J

DI

B

E

C

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với hai đáy AB và CD[AB >CD]. GọiM,N lần lượt là trung điểm của các cạnhSA,SB.

1. Chứng minhMN k CD.

2. Tìm giao điểmPcủaSC với[ADN].

54 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

Lời giải.

1. Chứng minhMN k CD.

Trong tam giácSAB, ta có MN k AB[vìMNlà đường trung bình]. MàAB kCD[ABCDlà hình thang]. VậyMN k CD.2. Tìm giao điểm củaSCvới[ADN].

Chọn mặt phẳng phụ [SBC] chứa SC.Tìm giao tuyến của[SBC]và[ADN].Ta có N là điểm chung của [SBC] và[ADN] [1].

Trong[ABCD], gọiE= AD∩BC. Ta có

®

E∈ AD⊂[ADN]

E∈ BC ⊂[SBC] ⇒E ∈[ADN]∩[SBC] [2].Từ [1] và [2] suy ra [ADN]∩[SBC] =

NE.

Trong[SBC], gọiP =SC∩NE. Khi đó

®

P∈ SC

P∈ NE ⊂[ADN] ⇒ P=SC∩[ADN].3. Chứng minh SI k AB k CD. Tứ giác

SABI là hình gì?

S ∈[SAB]∩[SCD] [3]và

®

I ∈ AN ⊂[SAB]

I ∈ DP ⊂[SCD] ⇒ I ∈ [SAB]∩
[SCD] [4].

S I

N

B

C

EPA

DM

Từ[3]và[4]suy raSI =[SAB]∩[SCD].Ta có





SI =[SAB]∩[SCD]AB⊂[SAB],CD ⊂[SCD]ABk CD

⇒SI k ABkCD.

Xét tam giácSAIcóSI k MN[vì cùng song song với AB] vàMtrung điểm củaAB. VậyMNlà đường trung bình của tam giác. Suy raSI =2MN.

Ta có

®

SI k ABSI =2MN,AB=2MN ⇒

®

SI k ABSI =AB.

Vậy tứ giácSABIlà hình bình hành.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang [đáy lớn là AB]. Gọi I,Jlần lượt là trung điểm của các cạnhAD,BC,Klà điểm trên cạnhSBsao choSK = 2

3SB.1. Tìm giao tuyến của[SAB]và[I JK].

2. Tìm thiết diện của [I JK]với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện làhình bình hành.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 55

1. Tìm giao tuyến của[SAB]và[I JK].TừKkẻKL k AB[L∈ SA]. Ta có





K ∈[SAB]∩[I JK]ABk I JAB⊂[SAB],I J ⊂[I JK][vì I Jlà đường trung bình của hình thang].

Suy ra[SAB]∩[I JK] = KL [vì KL k AB k I J,K ∈SA].

2. Tìm thiết diện của[I JK]với hình chópS.ABCD.Ta có

®

[I JK]∩[ABCD]= I J, [I JK]∩[SBC]= JK[I JK]∩[SAB]=KL, [I JK]∩[SAD]= LI.Vậy thiết diện cần tìm là hình thang I JKL [vì I J kLK k AB].

Do I J là đường trung bình của hình thang ABCD
nên I J = AB+CD

2 .

Xét tam giác SAB có LKAB =

SKSB =

2

3, suy raLK = 2

3AB.

Để I JKL là hình bình hành ⇔ I J = KL ⇔AB+CD

2 =2

3AB⇔ AB=3CD.

Vậy thiết diện I JKL là hình bình hành ⇔ AB =

3CD.

S

B

CJKA

DI

L

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lầnlượt là các điểm nằm trên các cạnhBC,SC,SD,ADsao choMN k BS,NP kCD,MQkCD

1. Chứng minhPQkSA.

2. GọiK = MN∩PQ. Chứng minh điểmK nằm trên đường thẳng cố định khi Mdi động trên cạnhBC.

56 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

1. Chứng minhPQk SA.

Xét ∆SCD có NP k CD ⇒ DP

DS =CN

CS [1].

Xét ∆SCB có N M k SB ⇒ CM

CB =CN

CS [2].

Xét hình thang ABCD có MQ k CD ⇒CM

CB =DQDA [3].

Từ [1], [2], [3] suy ra DPDS =

DQDA. VậyPQk SA.

2. Chứng minh điểm K nằm trên đườngthẳng cố định khi Mdi động trên cạnhBC.

Ta có



BC k ADBC ⊂[SBC],AD ⊂[ADS]S∈ [SBC]∩[SAD]

⇒[SBC]∩ [SAD] = St với [St k AD kBC].

MàK= MN∩PQvà

®

MN ⊂[SBC]PQ⊂[SAD].Suy raK ∈[SBC]∩[SAD]hayK ∈ St.Vì S cố định và BC cố định nên St cốđịnh. VậyK ∈ Stcố định khiMdi độngtrên cạnhBC.

S K t

P

D

A N

B M C

Q

Bài 5. Cho hình chóp tứ giácS.ABCD. Gọi M,N,E,Flần lượt là trung điểm các cạnhSA,SB,SC,SD. Chứng minh rằng

1. MEk AC,NF k BD.

2. Ba đường thẳngME,NF,SO[vớiOlà giao điểm củaACvàBD] đồng qui.3. Bốn điểmM,N,E,Fđồng phẳng.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 57

1. Chứng minhMEk AC,NF k BD.

MElà đường trung bình của tam giácSAC ⇒MEk AC.

FN là đường trung bình của tam giác SBD ⇒FN k BD.

2. Ba đường thẳng ME,NF,SO [với O là giao
điểm củaAC vàBD] đồng qui.

Trong tam giácSAC, gọiK= ME∩SO. Suy raKlà trung điểm củaSO.

Trong tam giácSDOcóFKlà đường trung bìnhcủa tam giác⇒ FKk DO ⇔FKk BD [1].Trong tam giácSBDcóFNlà đường trung bìnhcủa tam giác⇒ FN k BD [2].

Từ [1] và [2] thì K thuộc NF. Vậy ba đườngthẳngME,NF,SOđồng qui tại điểmK.

3. Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng. Từ chứngminh ở câu 2] thì ME và NF cắt nhau tại K.Suy ra bốn điểm M,N,E,Fđồng phẳng.

S

EF

D

CA

M

N
K

B

O

Bài 6. Cho tứ diệnABCD, gọiI, Jlần lượt là trung điểm củaBCvàBD,Elà một điểmthuộc cạnh AD.

a] Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp[I JE].b] Tìm vị trí củaEtrênADđể thiết diện là hình bình hành.

c] Tìm điều kiện của tứ diệnABCDvà vị trí điểmEtrênADđể thiết diện là hình thoi.Lời giải.

a] Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp[I JE].

Ta có I J là đường trung bình của 4BCD nênI J k CD.

®

[I JE]∩[ACD]=E

I J ⊂[I JE], CD ⊂[ACD] ⇒ [I JE] ∩[ACD] =Ex.

VớiExk CD k I J. GọiF =Ex∩AC.Vậy thiết diện cần tìm là hình thangEFI J.b] Để I JEFlà hình bình hành thì I J = EF.

VậyEphải là trung điểm của AD.

c] Khi EFI J là hình bình hành thì EJ là đườngtrung bình của tam giác DAB, suy ra EJ =

12AB.

Vậy: để I JEF là hình thoi thì I J = EJ ⇔ AB =

CD.

Kết luận: Để thiết diệnI JEFlà hình thoi thìElàtrung điểm củaADvàAB=CD.

A

DI

JB

E

58 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

Bài 7. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi. Gọi M,N lần lượt là trọngtâm của tam giácSABvàSAD,Elà trung điểm củaCB.

a] Chứng minh MN k BD.

b] Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp[MNE].

c] Gọi H, L lần lượt là các giao điểm của mp[MNE]với các cạnh SBvà SD. ChứngminhLH k BD.

Lời giải.

a] Chứng minh MN k BD.GọiKlà trung điểm củaSA.Theo tính chất trọng tâm ta có

KMKB =

KNKD =

1

3 ⇒ MN k BD.b] Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi

mp[MNE].

E là điểm chung của[MNE]và[ABCD]nên giao tuyến của chúng quaEvà songsong vớiMN và song song vớiBD. Giaotuyến này cắtABvàCDlần lượt tạiFvàG.

Trong mặt phẳng [SAB] đường thẳngFMcắtSAvàSBlần lượt tạiPvàH. Còntrong[SAD]đường thẳngPN cắtSDtạiL. Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũgiácEHPLG.

c] Chứng minhLH k BD.Ta có





HL =[MNE]∩[SBD]MN k BD

MN ⊂[MNE], BD⊂[SBD]⇒ HL k MN k BD.

S

NK

A

BMP

D

CH

L

EF

G

Bài 8. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi M, N lần lượt làtrung điểm của các cạnh ABvàCD.

a] Chứng minh MN k [SBC], MN k [SAD].

b] Gọi P là trung điểm của cạnhSA. Chứng minh rằng SBvàSC đều song song với[MNP].

c] Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC vàSBC. Chứng minh G1G2 k

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 59

a] Chứng minh MN k[SBC].Ta có

®

MN k BC, MN 6⊂[SBC]BC ⊂[SBC] ⇒MN k[SBC].

Ta có

®

MN k AD, MN 6⊂ [SAD]AD⊂[SAD] ⇒MN k[SAD].

b] Chứng minhSBvàSCđều song song với[MNP].

Tìm giao tuyến của mặt phẳng[SAD]và[MNP].

Ta có



P∈ [MNP]∩[SAD]MN k AD

MN ⊂[MNP], AD ⊂[SAD]⇒ [PMN]∩[SAD] = PQ[PQ k MN kAD, Q ∈ SD].

Xét4SAD ta có PQ k ADvà P là trungđiểm củaSA, suy raQlà trung điểm củaSD.

Xét4SCDta cóQN k SC [QNlà đườngtrung bình của tam giácSCD].

Ta có

®

SC 6⊂[PMN], SC k QN

QN ⊂[PMN] ⇒ SC k[PMN].

S

MA

D

Q G2

B

CP

N

IG1

c] Chứng minhG1G2 k [SAB].

Xét tam giácSAIta có IG1I A =

IG2

IS =1

3 [Tính chất trọng tâm]⇒G1G2 k SA.Có

®

G1G2 6⊂[SAB], G1G2 kSA

SA⊂[SAB] ⇒G1G2k [SAB].

Bài 9. Cho hình chópS.ABCDcó đáy[ABCD]là hình thang. ADlà đáy lớn và AD =

2BC. GọiOlà giao điểm của ACvàBD,Glà trọng tâm của tam giácSCD.a] Chứng minhOGk[SBC].

b] Gọi Mlà trung điểm của cạnhSD. Chứng minh rằngCM k[SAB].c] Giả sử điểm I trên đoạnSCsao choSC = 3

2SI. Chứng minh SAk [BID].d] Xác định giao điểmKcủaBGvà mặt phẳng[SAC]. Tính KB

KG.

60 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONGVìADk BC ⇒ 4OBCv4ODA[g-g].

Vậy OBOD =

OCOA =

BCAD =

12.a] Gọi Hlà trung điểm củaSC.

Trong4DHBta có DGDH =

DODB =

2

3 ⇒OGkBH.

Ta có

®

OG k BH

BH ⊂[SBC], OG6⊂ [SBC] ⇒ OG k[SBC].

b] Gọi N là trung điểm của SA. Ta có MN làđường trung bình của tam giácSAD.

Nên MN k ADvàMN = 1

2AD.

Mà theo đề bài ta lại có BC k AD và BC =

12AD.

Vậy BC k MN và BC = MN. Vậy tứ giácBCMNlà hình bình hành.

Ta có

®

CM k BN

BN ⊂[SAB], CM 6⊂[SAB] ⇒CM k[SAB].

S

IKA

N

B

H

C

DM

G

O

c] Trong4SACcó COCA =

CICS =

1

3 ⇒OI k SA.Có

®

SAk OI

OI ⊂[BID], SA 6⊂[BID] ⇒SA k[BID].

d] Ta cóOvàHlà hai điểm chung của hai mặt phẳng[BDH]và[SAC].Vậy[SAC]∩[BDH]=OH.

Trong[BDH], gọiK =BG∩OH ⇒K =BG∩[SAC].Ta có:4KOGv4KHB[g-g]⇒ KG

KB =OGHB =

23 [Vì

OGBH =

DGDH =

23].Kết luận: KB

KG =32.

Bài 10. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặtphẳng.

a] GọiOvàO0 lần lượt là tâm của ABCDvàABEF. Chứng minh rằngOO0song songvới[ADF]và[BCE].

b] Gọi M,N lần lượt là trọng tâm của 4ABD và 4ABE. Chứng minh rằng MN k[CEF].

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 61

a] Chứng minh rằngOO0 song song với[ADF]và[BCE].

Ta cóOO0 k DF [OO0 là đường trungbình4BDF].

MàDF⊂[ADF] ⇒OO0 k [ADF].Ta cóOO0 k CE[OO0 là đường trungbình4ACE].

MàCE ⊂[BCE]⇒OO0 k [BCE].b] Chứng minh rằngMN k [CEF].

GọiHlà trung điểm của AB.

Trong 4HDE ta có HM

HD =
HN

HE =1

3 ⇒MN k DE.

Mà DE ⊂ [CEFD] ≡ [CEF]. VậyMN k[CEF].

EF

O0

A B

N

O

D C

HM

Bài 11. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Gọi M,Nlần lượt làtrọng tâm của hai tam giácSABvàSAD.

a] Chứng minh MN k [ABCD].

b] GọiElà trung điểm củaBC. Xác định thiết diện của hình chópS.ABCDcắt bởi mặtphẳng[MNE].

Lời giải.

a] Chứng minh MN k[ABCD].

Gọi I,J lần lượt là trung điểm của ABvàAD.

Theo tính chất trọng tâm có SMSI =

SNSJ =2

3 ⇒MN k I J [tính chất Talet đảo].Mà I J thuộc mặt phẳng [ABCD], suy raMN k[ABCD].

b] Trong mặt phẳng đáy, qua E kẻ đườngthẳng song song I J cắt AC tại F, cắt CDtạiG.EGlà giao tuyến của[MNE]và đáy[ABCD].

GọiK = I J∩ AC[I J, AC ⊂[ABCD]].
Ta cóSK =[SI J]∩[SAC], gọi L= MN∩SK.

Suy ra FL = [MNE]∩[SAC], gọi O =

SA∩FL[SA,FL⊂[SAC]].

Vậy OM = [MNE] ∩ [SAB], ON =

[MNE]∩[SAD].

GọiP=OM∩AB, Q =ON∩SD.Kết luận: thiết diện cần tìm là đa giácOPEGQ.

S

N

Q

A

BP

MO

G
E

K

FJL

I

D

62 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

Bài 12. Cho tứ diện ABCD. GọiGlà trọng tâm tứ diện ABCD.

a] Chứng minh rằng đường thẳngdđi quaGvà một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọngtâm của mặt đối diện với đỉnh đấy.

b] Gọi A0là trọng tâm của tam giácBCD. Chứng minh rằngGA =3GA0.Lời giải.

GọiM, N lần lượt là trung điểm củaABvàCD.GọiGlà trung điểm của MN.

Suy raGlà trọng tâm của tứ diệnABCD.

a] Bước 1: Tìm giao điểm của AG và mặt phẳng
[BCD].

Chọn mặt phẳng[ABN]chứaAGvàBN.Trong mặt phẳng[ABN]gọiA0 =AG∩BN.Có

®

A0 ∈ AG

A0 ∈ BN,BN ⊂[BCD] ⇒ A

0 = AG∩

[BCD].

Bước 2: Chứng minh A0 là trọng tâm của tamgiácBCD.

Trong mặt phẳng [ABN] kẻ MI song song vớiAA0[Với IthuộcBN].

Xét 4ABA0 có MI là đường trung bình củatam giác, nên I là trung điểm của BA0. Suy raBI = I A0.

Xét4I MNcóGA0là đường trung bình của tamgiác, nênA0 là trung điểm củaI N.

Suy ra A0N = I A0.

Ngoài ta trong tam giác BCD có BN là đườngtrung tuyến, kết hợp lại ta cóBA0 = 2

3BN.Vậy A0là trọng tâm của tam giácBCD.

b] Vì MI là đường trung bình của tam giác ABA0nên MI = 1

2AA

0.

VìGA0 là đường trung bình của tam giácI MNnênGA0 = 1

2MI.Từ đó ta cóGA0 = 1

4AA

0 ⇔ AA0 =4GA0.

MàAA0 = AG+GA0 ⇒ AG=3GA0.Kết luậnGA=3GA0.

A

D

NA0

IB

M

CG

Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CDvàGlà trung điểm của đoạnMN.

a] Tìm giao điểm A0của đường thẳng AGvà mặt phẳng[BCD].

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 63

c] Chứng minhGA =3GA0.

Lời giải.

a] Chọn[ABN]chứaAG.

Hai mặt phẳng [ABN] và [BCD] có hai điểmchung là Bvà N. Suy ra giao tuyến của chúnglàBN,BN cắtAGtại A0 thìA0 = AG∩[BCD].b] Vì Mx k AA0, mà AA0 ⊂ [ABN] và M ∈

[ABN] ⇒Mx ⊂[ABN].

GọiM0 = Mx∩BN ⇒ M0 = Mx∩[BCD].Từ đó suy ra ba điểmB, M0, A0thẳng hàng.Có MM0 là đường trung bình của 4BAA0 ⇒BM0 = M0A0[1].

Và GA0 là đường trung bình của 4N MM0 ⇒M0A0 = A0N[2].

Từ[1]và[2]suy raBM0 = M0A0 = A0N.c] Từ chứng minh câu b] có:

GA0 = 1

2MM

0 và

MM0 = 1

2AA

0 ⇒

GA0 =

1
4AA

0 ⇒ AG=3GA0.

A

D

NA0

M0B

Mx

CG

DẠNG 2.2. Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng[α]và song song với mộtđường thẳng cho trước. Tính diện tích thiết diện

Dạng tốn này các bạn phải nhớ kĩ tính chất:

®

M ∈[α]∩[P]

[α]k d,d⊂[P] ⇒[α]∩[P]= Mx[Mx kd].

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có AD đáy lớn. Gọi Mtrung điểm củaCD,[α]là mặt phẳng quaMvà song song vớiSAvàBC.

a] Hãy xác định thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt phẳng[α].

b] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [α] và[SAC]. Chứng minh giao tuyến vừa tìmđược song song với mặt phẳng[SAD].

Lời giải.

64 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONGXác định thiết diện của hình chópS.ABCDvới mặt

phẳng[α].

Mlà điểm chung của hai mặt phẳng[α]và[ABCD],có [α] k BC nên giao tuyến của chúng qua M vàsong song vớiBC, giao tuyến này cắtABtạiE.Elà điểm chung của hai mặt phẳng[α]và[SAB], có[α] k SA nên giao tuyến của chúng qua E và songsong vớiSA, giao tuyến này cắtSBtạiF.

Flà điểm chung của hai mặt phẳng[α]và[SBC], có[α] k BC nên giao tuyến của chúng qua F và songsong vớiBC, giao tuyến này cắtSCtạiG.

Kết luận mặt phẳng[α]cắt hình chópS.ABCDtheo
một thiết diện là hình thang MEFG, vì có ME vàFGcùng song song với BC.

B C

HS

A D

E M

GF

b] Gọi Hlà giao điểm của MEvàAC, ta có HvàGlà hai điểm chung của hai mặt phẳng[α]và mặt phẳng[SAC]. Vậy [α]∩[SAC] = HG. Vì[α] k SAnên giao tuyến HG k SA, màSAthuộc mặt phẳng[SAD]nên giao tuyến HGk [SAD].

Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm Mlà một điểm thuộc miền trong của tam giácBCD. Gọi[α]là mặt phẳng quaMvà song song vớiACvàBD. Hãy xác định thiết diệncủa mặt phẳng[α]với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì?

Lời giải.

Mlà điểm chung của hai mặt phẳng[α]và[BCD], có[α]kBDnên giao tuyến của chúng quaMvà song song vớiBD,giao tuyến này cắtBCtạiEvà cắtCDtạiF.

Elà điểm chung của hai mặt phẳng[α]và[ABC], có[α]kACnên giao tuyến của chúng quaEvà song song vớiAC,giao tuyến này cắt ABtạiH.

Hlà điểm chung của hai mặt phẳng[α]và[ABD], có[α]kBDnên giao tuyến của chúng quaHvà song song vớiBD,giao tuyến này cắtADtạiG.GvàFlà hai điểm chung củahai mặt phẳng[α]và mặt phẳng[ACD].

Vậy giao tuyến của chúng là FG.

Vì mặt phẳng[α]k AC, nên giao tuyếnFG k AC.

Kết luận: thiết diện cần tìm là hình bình hành EFGH, vìcóEFk HGk BDvàHEk FGk AC.

A

H G

C

E M F

B D

Bài 16. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành. Lấy một điểm Mdi
động trên cạnhSC. Gọi[α]là mặt phẳng chứaAMvà song song vớiBD.

a] Chứng minh rằng mặt phẳng[α]luôn đi qua một đường thẳng cố định khi Mthayđổi.

b] Mặt phẳng[α]cắtSBvàSDtạiEvàF. Hãy nêu cách dựngEvàF.

c] Gọi I là giao điểm của ME vàCB, J là giao điểm của MF vàCD. Chứng minh bađiểmI, J, Athẳng hàng.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 65S

JF

E

M

A

B C

I

OG

D

a] Alà một điểm chung của hai mặt phẳng[α]và[ABCD], có[α] k BD, nên giao tuyến củachúng quaAvà song song vớiBD.

Vậy[α]∩[ABCD]= Ax[Axk BD].

VìAxlà đường thẳng cố định khiMthay đổi.Kết luận: mp[α]luôn đi qua đường cố định Ax.b] GọiO= AC∩BD.

Ta có:SOlà giao tuyến của hai mặt phẳng[SAC]và[SBD].GọiG = AM∩SO[AM,SO⊂[SAC]].

Ta có: G là điểm chung của mặt phẳng [α] và mặt phẳng[SBD], có [α] k BD nên giaotuyến của chúng quaGvà song song với BD, giao tuyến này cắtSBvàSDlần lượt tạiEvàF.

c] I vàFlà hai điểm chung của mặt phẳng[α]và mặt phẳng đáy[ABCD], nên I vàFphảithuộc giao tuyếnAxcủa hai mặt phẳng.

Vậy ba điểmI, J, Athẳng hàng.

Bài 17. Cho hình bình hành ABCD và điểm S khơng nằm trong mặt phẳng chứaABCD.

a] Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau[SAC]và[SBD],[SAB]và[SCD].b] Một mặt phẳng[α]quaBC, cắtSAtại Mvà cắtSDtạiN. Chứng minh MN k BC.

c] Chứng tỏ giao điểm củaBN vàCM luôn luôn ở trên một đường thẳng cố định khiMdi động trênSA.

d] Gọi Glà trọng tâm tam giácSAB,Klà điểm trên cạnhACsao cho AKAC =

1

3. ChứngminhGKsong song với mặt phẳng[SCD].

66 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

a] Ta cóS ∈[SAC]∩[SBD][1].

GọiO= AC∩BD⇒O∈ [SAC]∩[SBD][2].Từ [1] và [2] suy ra:[SAC]∩[SBD]=SO.Ta có:





S ∈[SAC]∩[SBD]ABk CD

AB⊂[SAB],CD ⊂[SCD]

⇒ [SAB]∩[SCD]=Sx[Sxk ABk CD].

b] Vì



[α]∩[SAD]= MNBC k AD

BC ⊂[α],AD ⊂[SAD]

⇒ MN k AD k

BC.

c] Gọi I = BN∩CM[BN,CM ⊂[α]].Vì

®

I ∈ BN,BN ⊂[SBD]

I ∈ CM,CM ⊂[SAC]] ⇒ I ∈ [SAC]∩[SBD].

Suy raIthuộc giao tuyếnSOcố định của hai mặtphẳng[SAC]và[SBD].

SMG

A

B

F

CO

Ix

KE

DN

d] GọiEvàFlần lượt là trung điểm củaSAvàAD.

VìKchia đoạn ACthành ba phần bằng nhau vàAK chiếm 1 phần, từ đó ta cóKlà trọngtâm của tam giácABD.

Theo tính chất trọng tâm có: BGBE =

BKBF =

2

3. Ngồi raGK[[SCD]nênGK k EF[3].MàEFlà đường trung bình của tam giácADS ⇒ EFk SD[4].

Từ[3]và[4]cóGKk SD ⊂[SCD]⇒ GKk[SCD].

Bài 18. Cho tứ diện ABCD, gọi M, Nlần lượt là trung điểm củaBC vàBD.a] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng[AMN]và[ACD].

b] Một mặt phẳng [P] qua CD và cắt AM, AN lần lượt tại F và E. Tứ giác CDEF làhình gì?

c] CFvàDEcắt nhau tạiK. Chứng tỏA, B,Kthẳng hàng.

d] Chứng tỏ giao điểm I của CEvà DFluôn nằm trên một đường thẳng cố định khi[P]thay đổi.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 67

a]




A∈ [AMN]∩[ACD]MN kCD

MN ⊂[AMN],CD ⊂[ACD].

⇒[AMN]∩[ACD]= Ax[Axk MN kCD]

b]



[P]∩[AMN] =EFMN kCD

MN ⊂[AMN],CD ⊂[P]

⇒ EFk MN kCD.VìCD k MNsuy raCDEFlà hình thang.

c] Ta có AB là giao tuyến của hai mặt phẳng [ABC] và[ABD].

VìK = CF∩DE, mà

®

K ∈ CF,CF⊂[ABC]

K ∈ DE,DE⊂[ABD] ⇒ K ∈[ABC]∩[ABD].

VìKlà điểm chung của hai mặt phẳng[ABC]và[ABD]nên K thuộc giao tuyến. Vậy ba điểm A, B, K thẳnghàng.

A

CM

NOx

B

KF

EI

D

d] Trong mặt phẳng[BCD]gọiOlà giao tuyến củaCN vàDM.

Ta có AvàOlà hai điểm chung của hai mặt phẳng[ANC]và[AMD], nên giao tuyến củachúng là AO.

GọiIlà giao điểm củaCEvàDF.

Ta có:

®

I ∈ CE,CE⊂[ANC]

I ∈ FE,DF⊂[AMD] ⇒ I ∈[ANC]∩[AMD].

Suy ra Ithuộc giao tuyến AOcủa hai mặt phẳng.

Vì hai điểmAvàOcố định nên điểm I thuộc đoạnAOcố định.

Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng [α] quaMN và song song vớiSA.

a] Tìm các giao tuyến của[α]với[SAB]và[SAC].b] Xác định thiết diện của hình chóp với[α].

c] Tìm điều kiện của MNđể thiết diện là hình thang.

68 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG

a] Tìm các giao tuyến của[α]với[SAB]:Ta có:

®

M ∈[α]∩[SAB][α]k SA,SA ⊂[SAB]

⇒[α]∩[SAB]= MP[với MP kSA,P∈ SB].Tìm các giao tuyến của[α]với[SAC]:

GọiR= MN∩AC[MN,AC⊂[ABCD]].Ta có:

®

R∈ [α]∩[SAC][α] kSA,SA⊂[SAC]

⇒[α]∩[SAC] =RQ[vớiRQk SA,Q ∈ SC].

b] Xác định thiết diện của hình chóp với[α].
Theo câu a] thiết diện là tứ giácMPQN.

c] Tìm điều kiện của MNđể thiết diện là hình thang:Ta có: MPQNlà hình thang⇒

đ

MPk QN[1]MN k PQ. [2]

Xét[1], ta cóMPk QR, màQRkhơng song songQNnên[1]vơ lí.

Do đó:

®

SA k QN

QN ⊂[SCD] ⇒SA k[SCD][vơ lí].Xét [2], ta có

®

BC =[ABCD]∩[SBC]

MN ⊂[ABCD],PQ⊂[SBC] ⇒ MN kBC.

Ngược lại, nếuMN k BCthì

®

PQ=[α]∩[SBC]

MB⊂[α],BC ⊂[SBC] ⇒MN k PQ.

Vậy để thiết diện là hình thang thìMN k BC.

S

CR

A

BM

P

DNQ

Bài 20. Cho tứ diệnABCD. Trên cạnhADlấy trung điểmM, trên cạnhBClấy điểmNbất kỳ. Gọi[α]là mặt phẳng chứa đường thẳng MNvà song song vớiCD.

a] Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng[α]với tứ diệnABCD.

b] Hãy xác định vị trí củaN trênBCsao cho thiết diện là hình bình hành.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 69

a] Xác định thiết diện của mặt phẳng [α] với tứ diệnABCD.

Ta có:



[α]k CDCD⊂[ACD]M∈ [α]∩[ACD]

⇒ [α] ∩ [ACD] =MP[MPk CD,P∈ AC] [1].

Ta có:



[α]k CDCD ⊂[BCD]N ∈[α]∩[BCD]

⇒[α]∩[BCD] =NQ[NQ kCD,Q∈ BD] [2].

Và[α]∩[ABD]= MQ[3];[α]∩[ABC]= PN[4].Từ[1]và[2], ta được:MPk NQ. Vậy thiết diện là hình

thangMPNQ.

b] Xác định vị trí củaNtrênBCsao cho thiết diện là hìnhbình hành.

Ta có: MP k NQ; MP = 1

2CD [MP là đường trungbình4ACD].

MNPQ là hình bình hành ⇔

®

MP k NQMP =NQ ⇔





MPk NQMP= NQ= 1

2CD.Do đóNlà trung điểmBC.

Vậy Nlà trung điểmBCthìMNPQlà hình thang.

A

C

QN

BP

DM

Bài 21. Cho hình thangABCDcó đáy lớnABvàSlà một điểm ở ngồi mặt phẳng củahình thang. Gọi Mlà một điểm trênCD,[α]là mặt phẳng qua Mvà song song vớiSAvàBC.

a] Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng[α]với hình chópS.ABCD. Thiết diện là hình gì?b] Tìm giao tuyến của[α]với mặt phẳng[SAD].

Lời giải.

a] Tìm thiết diện của mặt phẳng[α]với hình chópS.ABCD.

Ta có:

®

[α]k BC,BC ⊂[ABCD]M∈ [α]∩[ABCD]

⇒ [α] ∩[ABCD] = MN [với MN k BC và N ∈ AB][1].

Ta có:

®

[α]k SA,SA ⊂[SAB]N ∈ [α]∩[SAB]

⇒[α]∩[SAB] =NP[vớiNP k SAvàP ∈ SB].

Có:

®

[α]k BC,BC ⊂[SBC]P∈ [α]∩[SBC]

⇒ [α]∩ [SBC] =PQ[vớiPQk BCvàQ∈ SC][2].

Từ [1]và[2], ta được MN k PQ. Vậy thiết diệnlà hình thang MNPQ.

CD

I

tS

A B

PQM

70 CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONGb] Tìm giao tuyến của[α]với mặt phẳng[SAD].

Trong[ABCD], gọiI =AD∩MN ⇒ I là điểm chung của[α]và[SAD].Ta có:

®

[α]k SA,SA ⊂[SAD]

I ∈ [α]∩[SAD] ⇒[α]∩[SAD] =It[với It k SA].

Bài 22. Trong mặt phẳng [α] cho tam giác ABC vuông tại A, ’ABC = 60◦,AB = a.

Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng [α] sao cho SB = a vàSB ⊥OA. Gọi Mlà một điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng βqua Msong song với SBvàOA, cắtBC,SC,SAlần lượt tạiN,P,Q. Đặtx =BM[0 0.Kết luận:cos[ŸMN,CB0]=

cosDA’

0I=

32√5 =

3√5

10 .

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 157Lời giải.

Trong mặt phẳng [ABB0A0], kẻ BD kAB0[D∈ A0B0]

⇒[ABÿ0,BC0]=[BDÿ,BC0]=60◦.

Vậy DBC’0 =60◦ hoặcDBC’0 =120◦.

Vì ABC.A0B0C0 là lăng trụ đều nên BB0 ⊥[A0B0C0].

Áp dụng Pytago cho 4BB0D vuông tại B tacó

BD=√DB02+BB02=√1+m2.

Áp dụng Pytago cho4BB0C0 vng tạiB0tacó

BC0 =√C0B02+BB02=√1+m2.

Áp dụng định lý cosin4DB0C0ta có

DC02 = DB02 + C0B02 − 2DB0 · C0B0 ·cos 120◦ =3⇒ DC0 =√3.

Trường hợp1: NếuDBC’0 = 60◦ thì tam giác

BDC0 đều nên:

BD=DC0 ⇔√m2+1=√3⇔m =√2.

Trường hợp 2: Nếu DBC’0 = 120◦ áp dụng

định lý cosin cho 4BDC0. Suy ra m = 0[loại].

A

B

A0

B0

C0
C

D

1

11

m

Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giácvng tại A, AB=a, AC = a√3và hình chiếu vng góc của đỉnh A0trên mặt phẳng[ABC]là trung điểm của cạnhBC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳngAA0, B0C0.Lời giải.

GọiHlà trung điểm của BC, theo đề A0H ⊥[ABC].Mà[ABC]k [A0B0C0]⇒ A0H ⊥[A0B0C0].

Tam giác ABCvng tạiAta cóBC =√AB2+AC2=2a ⇒BH =a.

Ta có

®

AA0 k BB0

B0C0 k BC ⇒[AAŸ

0,B0C0]=[

◊

BB0,BC]= B’0BH.

Ta cóBC =√AB2+AC2=2a⇒ AH = BC

2 = anênA0H =√AA02−AH2 =a√3.

Trong tam giác A0B0H vuông tại A0 có HB0 =

√

A0B02+A0H2 =2a.

Áp dụng định lý hàm cosin cho tam giácB0BHcó:cosB’0BH =

BB02+BH2−B0H22·BB0·BH =

4a2+a2−4a22·2a·a =1

4 >0[thỏa].

A0 C0

B0

HB

CA

2a

a√3

a

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a, SA = a, SB =

a√3 và mặt phẳng[SAB]vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trungđiểm của các cạnh AB, AC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳngSM, DN.

158 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIANHạSH ⊥ABtạiH.

Vì mặt phẳng [SAB] vng góc với mặt phẳng[ABCD]cóABlà giao tuyến nênSH ⊥[ABCD].Trong mặt phẳng[ABCD], từ M kẻ ME k DN với Ethuộc AD. Vậy góc giữaSM vàDNchính là góc giữaSMvàME.

Xét tam giácSABcóAB2 =SA2+SB2 =4a2.Vậy4SABvuông tạiS.

Và 1

SH2 =

1SA2 +

1SB2 =

1a2 +

13a2 =

4

3a2 ⇒ SH =

a√32 .

Tam giácSH Avuông tạiH:
H A=√SA2−SH2 =

a2−3a2

4 =a2.

GọiKlà trung điểm của ADta cóME k BK k DN.Do đóMElà đường trung bình tam giác ABK.

SKAMHDCNBE

Vậy AE= 1

2AK =a

2; ME=12BK =

12

√

AB2+AK2 = a

√52 .

Tam giác H AE vng tại A có HE = √AH2+AE2 =

a24 +

a24 =

a√22 .

Tam giác SHE vuông tại H có SE = √SH2+HE2 =

3a24 +

2a24 =

a√52 .

Áp dụng định lý hàm cosin cho tam giácSMEcó:cosSME’ =

SM2+ME2−SE22·SM·ME =

a2+5a

2

4 −5a2

42·a· a

√52

= √15 =√

55 >0.

A E K D

B N C

HM

Bài 6. Cho khối chópS.ABCDcóABCDlà hình vng cạnha,SA= a√3vàSAvnggóc với mặt phẳng đáy. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳngSB, AC.

Lời giải.

QuaBkẻ đường thẳngBxsong song AC.BxcắtADtạiF.

Góc giữa AC vàSB, chính là góc giữaBx vàSB.

Ta cóAFBClà hình bình hành, nênAF=BCvàAC =FB.

Suy raSF =SB, tam giácSBFcân tạiS.Có SB = √SA2+AB2 = 2a; FB = AC =

a√2.

HạSH ⊥FBtạiHthìHlà trung điểm FB.Khi đócosSBF‘ =

HBSB =

a√222a =

√24 .SAF DCBHx

a√3

a

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 159

Bài 7. Cho hình chópS.ABCD có tất cả các cạnh đều bằnga, đáy là hình vng. GọiNlà trung điểmSB. Tính góc giữa ANvàCN, ANvàSD.

Lời giải.

Theo đề bài SA = SB = SC = SD = AB = BC =

CD =DA =a.

Gọi O = AC ∩ BD, có AN = a

√3

2 [4SAB đều],

CN = a

√3

2 [4SBCđều].

Áp dụng định lý cosin cho tam giác ANCta cócosANC’ =

AN2+CN2−AC2
2·AN·CN = −

1

3 < 0⇒ ANC’ =arccos

Å

13

ã

.

Trong tam giác BDS có ON là đường trung bình củatam giác nên

[ÿAN,SD]=[ANÿ,NO] = ANO.’

Áp dụng định lý cosin cho4ANOta cócosANO’ =

AN2+ON2−AO22·AN·ON =

√3

3 ⇒ ANO’ =arccos

Ç√

33

å

.

S

AN

D

CB

O

160 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Bài 4.

GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A.

Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian

Góc giữa hai đường thẳngavàbtrong khơng gian là góc giữa hai đường thẳnga0vàb0cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với avàb.

B.

Bài tập rèn luyện

DẠNG 4.1. Tính góc giữa hai đường thẳng

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhauavàbChọn điểm O thích hợp, rồi kẻ hai đường thẳng điquaO : a0 k avàb0 k b.

Oa0

b0a

b

1. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.Định lý sin: a

sinA =bsinB =

csinC.Định lý cô-sin:cosA = b

2+c2−a2

2bc .

Trong đó:a,b,clà3cạnh; A,B,Clà3góc của4ABC.2. Tính góc theo véc-tơ chỉ phương:cosϕ=

−→u1· −→u2

−→u1·

−→u2

.Chú ý:0◦ ≤ ϕ≤90◦.

3. AB⊥CD ⇔−→AB·−→CD=0.

4. Nếuavàbsong song hoặc trùng nhau thìϕ=0◦.

Bài 1. Cho hình chópS.ABCcóSA =SB=SC = AB= AC = a,BC =a√2. Tính gócgiữa hai đường thẳngSCvà AB.

4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 161GọiE,F,Glần lượt là trung điểm củaBC,AC,SA.

Ta có:EF k AB,FG k SC⇒hSC◊,AB

i

=hEF◊,FG

i

=EFG.‘

Ta cóFE= FG= 1

2AB=a2.

4BAG=4CAG[c.g.c]⇒ GB=GC.

Tam giácGBCcân tạiGcóGElà đường cao.GE =√BG2−BE2=

ÃÇ

a√32

å2

−

Ç

a√22

å2

= a

2.Tam giácEFGđều vì có3cạnh bằng nhau.

Vậy EFG‘ =60◦.

FSBA CEG

Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a > 0 và

’

BAD = DAA÷0 = A’0AB = 60◦. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA0,CD. Chứng

minh MN k[A0C0D]và tính cơ-sin của góc tạo bởi hai đường thẳng N MvàB0C.Lời giải.

GọiI là trung điểm củaDC0.

Trong tam giác CDC0 có N I là đường trungbình của tam giác

nên



N I kCC0N I = 1

2CC

0.

Mà

®

CC0 k AA0

CC0 = AA0 [Tính chất hình hộp]⇒





N I k AA0N I = 1

2AA

0 ⇔

®

N I k MA0N I = MA0.

Vậy tứ giác MN I A0 là hình bình hành nênMN k I A0.

Mà I A0 ⊂[A0C0D]⇒ MN k [A0C0D].

A0 D0

C0B CNAB0MDIVì®

MN k I A0CB0 k DA0 ⇒

h

Ÿ

CB0,MNi=hDAÿ0,I A0

i

= DA’0I hoặc180◦−DA’0I.

Ta có tam giác DAA0đều nênDA0 =a.

Xét4ABCcó: ’ABC =120◦; AC2 = AB2+BC2−2AB·BC·cos 120◦ =3a2⇒ AC =a

√3.Tương tự, áp dụng định lý cô-sin cho4A0AB0 : AB0 =a√3.

Ta cóAC = A0C0 =a,AB0 =DC0 = a√3.Trong4DA0C0cóA0I là đường trung tuyến:I A0 = DA

02+A0

C02

2 −

DC024 =

a2+3a22 −

3a2

4 ⇒ I A

0 = a

√52 .Trong4A0DIta có:cosDA’0I =

DA02+I A02−DI22·DA0·I A0 =

3

2√5 >0.Kết luận:coshŸMN,CB0

i

=

cosDA’

0I=

32√5 =

3√5

10 .

Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0có AB = 1,CC0 = m[m > 0]. Tìmmbiết rằng góc giữa hai đường thẳng AB0vàBC0 bằng60◦.

162 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GĨC TRONG KHƠNG GIANTrong mặt phẳng[ABB0A0], kẻBD k AB0[D∈ A0B]

⇒hABÿ0,BC0

i

=hÿBD,BC0

i

=60◦.Vậy:BDC’0 =60◦ hoặcDBC’0 =120◦.

VìABC.A0B0C0là lăng trụ đều nên BB0 ⊥[A0B0C0].Áp dụng Py-ta-go cho4BB0Dvuông tạiB:

BD=pDB02+BB02 =p1+m2.

Áp dụng Py-ta-go cho4BB0C0vuông tạiB0:BC0 =pC0B02+BB02=p1+m2.

Áp dụng Cơ-sin cho4DB0C0:

A

C0

D

B

B0

CA0

m

1

11

DC02 =DB02+C0B02−2DB0·C0B0·cos 120◦ =3⇒DC0 =√3.Trường hợp 1:NếuBDC’0 =60◦ thì tam giácBDC0đều nên:

BD =DC0 ⇔pm2+1=√3 ⇔m=√2.

Trường hợp 2:Nếu BDC’0 = 120◦, áp dụng định lý cô-sin cho 4BDC0 suy ra m = 0[loại].

Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giácvuông tại A, AB= a,AC = a√3và hình chiếu vng góc của đỉnh A0trên mặt phẳng[ABC]là trung điểm của cạnhBC. Tính cơ-sin của góc giữa hai đường thẳngAA0,B0C0.Lời giải.

Gọi H là trung điểm BC, theo đề bàiA0H ⊥[ABC].

Mà [ABC] k [A0B0C0] ⇒ A0H ⊥
[A0B0C0].

Tam giác ABCvng tạiA:

BC =pAB2+AC2=2a⇒BH = a.

Ta có:

®

AA0 k BB0B0C0 k BC⇒AAŸ0,B0C0

=BB◊0,BC

=B’0BH.

Trong tam giácA0B0Hvng tạiA0có:HB0 =pA0B2+A0H2 =2a.

B0

B

A0

A

C0

CH

2a

a√3

a

2a2a

Áp dụng định lý cơ-sin cho tam giácB0BHcó:cosB’0BH =

BB02+BH2−B0H22·BB0·BH =

4a2+a2−4a22·2a·a =

1

4 >0thỏa.

4. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 163Lời giải.

HạSH ⊥ABtạiH.

Vì mặt phẳng[SAB]vng góc với mặt phẳng đáy[ABCD]có ABlà giao tuyến.Suy ra:SH ⊥[ABCD].

Trong mặt phẳng[ABCD], từMkẻ MEk DNvới E thuộc AD. Vậy góc giữa SM và DNchính là góc giữaSMvàME.

Xét tam giácSABcó:

AB2 =SA2+SB2=4a2.Vậy4SABvng tạiS.

Và: 1

SH2 =

1SA2 +

1SB2 =

1
a2 +

13a2 =

43a2

⇒SH = a

√32 .

Tam giácSH Avuông tạiH:

H A=pSA2−SH2 =

a2−3a2

4 =a2.GọiKlà trung điểm của AD.

Ta cóMEk BK k DN.

Suy ra MElà đường trung bình của tam giác
ABK.

Vậy AE= 1

2AK =a2;ME= 1

2BK =12

p

AB2+AK2 = a

√52 .Tam giácH AEvuông tại A:

HE =pAH2+AE2 =

a24 +

a2
4 =

a√22 .

S

KE

B N C

MH

A

D

A E K D

B N C

MH

Tam giácSHEvuông tạiH:

SE=pSH2+HE2 =

3a24 +

2a24 =

a√52 .Áp dụng định lý cơ-sin cho tam giácSMEcó:

cosSME’ =

SM2+ME2−SE22·SM·ME =

a2+5a

2

4 −5a2

42·a· a

√52

= √15 =

√55 >0.

Bài 6. Cho khối chópS.ABCDcóABCDlà hình vng cạnha,SA= a√3vàSAvnggóc với mặt phẳng đáy. Tính cơ-sin của góc giữa hai đường thẳngSB,AC.

164 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIANQuaBkẻ đường thẳngBxsong song với AC. BxcắtAD

tạiF.

Góc giữaACvàSBchính là góc giữaBxvàAC.

Ta có AFBC là hình bình hành nên AF = BC và AC =

FB.

Suy raSF =SB, tam giácSBFcân tạiS.

CóSB=√SA2+AB2 =2a,FB= AC =a√2.

HạSH ⊥FB, thìHlà trung điểm FB.

cosSBF‘ =

HBSB =

a√222a =

√24 .

S

x C

HB

F A D

Bài 7. Cho hình chópS.ABCD có tất cả các cạnh đều bằnga, đáy là hình vng. GọiNlà trung điểmSB. Tính góc giữa ANvàCN, ANvàSD.

Lời giải.

Theo đề bài:SA=SB=SC =SD =AB =BC =CD= DA= a.

Gọi O = AC∩ BD có AN = a

√3

2 [4SAB

đều].CN = a

√3

2 [4SBCđều].

Áp dụng định lý cô-sin cho tam giác ANC:cosANC’ =

AN2+CN2−AC22·AN·CN =−

13