Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm đơn vị thì được phân số mới bằng \[{1 \over 2}\] . Tìm phân số ban đầu.
Hướng dẫn làm bài:
Gọi x là tử số của phân số [ \[x \in Z,x \ne - 3]\]
Mẫu số của phân số là x + 3.
Phân số lúc sau là\[{{x + 2} \over {x + 3 + 2}} = {{x + 2} \over {x + 5}}\]
Vì phân số mới bằng \[{1 \over 2}\] nên ta có phương trình :
\[{{x + 2} \over {x + 5}} = {1 \over 2}\]
Khử mẫu :\[2\left[ {x + 2} \right] = x + 5 \Leftrightarrow 2x + 4 = x + 5\]
⇔x=1
x=1 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy phân số lúc đầu :\[{1 \over 4}\]
Bài 35 trang 25 sgk toán 8 tập 2
Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng \[{1 \over 8}\] số học sinh cả lớp. Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?
Hướng dẫn làm bài:
Gọi x là số học sinh cả lớp [x nguyên dương]
Số học sinh giỏi trong học kì I:\[{1 \over 8}x\]
Số học sinh giỏi sau học kì II:\[{1 \over 8}x + 3\]
Vì số học sinh giỏi trong học kì 2 bằng 20% số học sinh cả lớp nên:
\[{1 \over 8} + 3 = {{20} \over {100}}x \Leftrightarrow {1 \over 8}x + 3 = {1 \over 5}x\]
⇔\[5x + 120 = 8x\]
⇔\[120 = 3x\]
⇔\[x = 40\]
x=40 thỏa điều kiện đặt ra.
Vậy số học sinh của lớp 8A là 40.
Bài 36 trang 26 sgk toán 8 tập 2
[Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi – ô – phăng, lấy trong Hợp tuyển Hi Lạp – Cuốn sách gồm 46 bài toán về số,viết dưới dạng thơ trào phúng],
- \[\frac{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left[ {1 - x} \right]}^2}}}{{2 - x}}\]
- \[\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}\]
- \[\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = \frac{{ - 3{\rm{x}}}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}\]
- \[\frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = \frac{{3{\rm{x}}}}{{{{\left[ { - x - 2} \right]}^2}}}\]\[\]
Ta thấy \[{\left[ {x + 2} \right]^2} = {\left[ { - x - 2} \right]^2}\] để tìm ra được đáp án đúng
Khẳng định D là đúng vì [x + 2]2 = [–x – 2]2.
- \[\frac{{ - 6{\rm{x}}}}{{ - 4{{\rm{x}}^2}{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = \frac{3}{{2{\rm{x}}{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\]
- \[\frac{{ - 5}}{{ - 2}} = \frac{{10{\rm{x}}}}{{4{\rm{x}}}}\]
- \[\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\]
- \[\frac{{ - 6{\rm{x}}}}{{ - 4{{\left[ { - x} \right]}^2}{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}} = \frac{3}{{2{\rm{x}}{{\left[ { - x + 2} \right]}^2}}}\]
Đáp án đúng là: C
Khẳng định C là sai vì:
[x + 1][x2 – x + 1] = x3 + 1 và [x – 1][x2 + x + 1] = x3 – 1.
Suy ra [x + 1][x2 – x + 1] ≠ [x – 1][x2 + x + 1].
Do đó,
Bài 6.38 trang 25 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong hằng đẳng thức \[\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{4{\rm{x}} - 1}} = \frac{{8{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}}}}{Q}\], Q là đa thức
A.4x
- \[4{{\rm{x}}^2}\]
C.16x−4
- \[16{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}}\]
Phương pháp:
Áp dụng hai phân thức bằng nhau để tìm Q.
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Bài 6.39 trang 25 SGK Toán Kết nối tri thức
Nếu \[\frac{{ - 5{\rm{x}} + 5}}{{2{\rm{x}}y}} - \frac{{ - 9{\rm{x}} - 7}}{{2{\rm{x}}y}} = \frac{{b{\rm{x}} + c}}{{xy}}\] thì b + c
- -4
- 8
- 4
- -10
Phương pháp:
Ta rút gọn \[\frac{{ - 5{\rm{x}} + 5}}{{2{\rm{x}}y}} - \frac{{ - 9{\rm{x}} - 7}}{{2{\rm{x}}y}} \] rồi tính b + c
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có:
Suy ra b = 2 và c = 6.
Vậy b + c = 2 + 6 = 8
Bài 6.40 trang 25 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức
Một ngân hàng huy động vốn với mức lãi suất một năm là x%. Để sau một năm, người gửi lãi a đồng thì người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là:
- \[\frac{{100{\rm{a}}}}{x}\] [đồng]
- \[\frac{a}{{x + 100}}\] [đồng]
- \[\frac{a}{{x + 1}}\] [đồng]
- \[\frac{{100{\rm{a}}}}{{x + 100}}\] [đồng]
Phương pháp:
Tính số tiền người đó gửi vào ngân hàng rồi đưa ra phương án lựa chọn
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Sau một năm, người gửi lãi a đồng thì người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền là:
Vì
Bài 6.41 trang 26 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm đa thức P trong các đẳng thức sau:
- \[P + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{x}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 4}}\]
- \[P - \frac{{4\left[ {x - 2} \right]}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{x - 2}}\]
- \[P.\frac{{x - 2}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 4}}{{{x^2} - 9}}\]
- \[P:\frac{{{x^2} - 9}}{{2{\rm{x}} + 4}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} + 3{\rm{x}}}}\]
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc chuyển vế trong từng bài toán
Lời giải:
Bài 6.42 trang 26 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức
Rút gọn biểu thức sau:
- \[\frac{2}{{3{\rm{x}}}} + \frac{x}{{x - 1}} + \frac{{6{{\rm{x}}^2} - 4}}{{2{\rm{x}}\left[ {1 - x} \right]}}\]
- \[\frac{{{x^3} + 1}}{{1 - {x^3}}} + \frac{x}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\]
- \[\left[ {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{2}{{1 - x}}} \right].\frac{{{x^2} - 4}}{{4{{\rm{x}}^2} - 1}}\]
- \[1 + \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}}\left[ {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right]\]
Phương pháp:
Thực hiện theo quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số
Lời giải:
Bài 6.43 trang 26 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho phân thức: \[P = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{x + 1}}\]
- Viết điều kiện xác định của P
- Hãy viết P dưới dạng \[a - \frac{b}{{x + 1}}\], trong đó a, b là số nguyên dương
- Với giá trị nào của x thì P có giá trị là số nguyên
Phương pháp:
Điều kiện xác định của P là \[x + 1 \ne 0\]
Ta tách: \[P = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{x + 1}} = \frac{{2{\rm{x}} + 2 - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{1}{{x + 1}}\] từ đó xác định được a, b
Để P nguyên thì \[\frac{1}{{x + 1}}\] nguyên
Lời giải:
- Điều kiện xác định của P là x + 1 ≠ 0 hay x ≠ –1.
- Vì nên. Nếu x và P là số nguyên thìcũng là số nguyên, do đó x + 1 là ước của số 1 hay x + 1 ∈">∈∈ {–1; 1}.
Do vậy x + 1 = – 1, suy ra x = – 2 hoặc x + 1 = 1, suy ra x = 0.
Vậy giá trị của P là số nguyên khi x = 0 hoặc x = – 2.
Bài 6.43 trang 26 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức
Một xe ô tô đi từ Hà Nội đến Vinh với vận tốc 60km/h và dự kiến sẽ đến Vinh sau 5 giờ chạy. Tuy nhiên, sau \[2\frac{2}{3}\] giờ chạy với vận tốc 60km/h, xe dừng nghỉ 20 phút. Sau khi dừng nghỉ, để đến Vinh đúng thời gian dự kiến, xe phải tăng vận tốc so với chặng đầu
- Tính độ dài quãng đường Hà Nội - Vinh
- Tính độ dài quãng đường còn lại sau khi dừng nghỉ
- Cho biết ở chặng thứ hai xe tăng vận tốc thêm x [km/h]. Hãy viết biểu thức P biểu thị thời gian [tính bằng giờ] thực tế xe chạy hết chặng đường Hà Nội - Vinh
- Tính thời gian của P lần lượt tại x = 5, x = 10; x = 15, từ đó cho biết ở chặng thứ hai [sau khi xe dừng nghỉ]:
- Nếu tăng vận tốc thêm 5km/h thì xe đến Vinh muộn hơn dự kiến bao nhiêu giờ?
- Nếu tăng vận tốc thêm 10km/h thì xe đến Vinh có đúng thời gian dự kiến không?
- Nếu tăng vận tốc thêm 15km/h thì xe đến Vinh sớm hơn dự kiến bao nhiêu giờ?
Phương pháp:
Dựa vào thời gian và vận tốc đề bài cho để tính quãng đường Hà Nội – Vinh và quãng đường còn lại sau khi dừng.
Viết biểu thức P biểu thị thời gian [tính bằng giờ] thực tế xe chạy hết chặng đường Hà Nội - Vinh
Thay các giá trị x đã cho x = 5; x = 10; x = 15 để tính thời gia thực tế xe chạy chằng đường Hà Nội - Vinh
Lời giải:
- Quãng đường Hà Nội – Vinh dài 5.60 = 300 [km].
- Trước khi dừng nghỉ, xe chạy trong [giờ]
Chiều dài chặng đầu là
Chặng còn lại dài 300 – 160 = 140 [km].
- Nếu vận tốc tăng thêm x [km/h] thì vận tốc thực tế của xe chạy trên chặng sau là
60 + x [km/h].
Thời gian thực tế xe chạy chặng sau là
Thời gian xe chạy chặng đầu là
Vì vậy thực tế xe chạy từ Hà Nội đến Vinh trong thời gian là:
- Giá trị của được cho trong bảng sau:
– Nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h [tức là x = 5] thì thời gian chạy Hà Nội đến Vinh là
– Nếu tăng vận tốc thêm 10 km/h [tức là x = 10] thì thời gian chạy Hà Nội đến Vinh là 5 giờ nên xe đến Vinh đúng thời gian dự định.