Bài 4 trang 18 sgk hình học 12: Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Cho hình bát diện đều ABCDEF:
Bài 4. Cho hình bát diện đều \[ABCDEF\]
Chứng minh rằng :
a] Các đoạn thẳng \[AF, BD\] và \[CE\] đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b] \[ABFD, AEFC\] và \[BCDE\] là những hình vuông.
a] Do \[B, C, D, E\] cách đều \[A\] và \[F\] nên chúng đồng phẳng [cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \[AF\]].
Quảng cáoTương tự, \[A, B, F, D\] đồng phẳng và \[A, C, F, E\] đồng phẳng
Gọi \[I\] là giao của \[[AF]\] với \[[BCDE]\]. Khi đó \[B, I, D\] là những điểm chung của hai mặt phẳng \[[BCDE]\] và \[[ABFD]\] nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \[E, I , C\] thẳng hàng.
Vậy \[AF, BD, CE\] đồng quy tại \[I\].
Vì \[BCDE\] là hình thoi nên \[EC\] vuông góc với \[BC\] và cắt \[BC\] tại \[I\] là trung điểm của mỗi đường. \[I\] là trung điểm của \[AF\] và \[AF\] vuông góc với \[BD\] và \[EC\], do đó các đoạn thẳng \[AF, BD\], và \[CE\] đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
b] Do \[AI\] vuông góc \[[BCDE]\] và \[AB = AC =AD = AE\] nên \[IB = IC= ID = IE\]. Từ đó suy ra hình thoi \[BCDE\] là hình vuông. Tương tự \[ABFD, AEFC\] là những hình vuông.
Đề bài
Cho hình bát diện đều \[ABCDEF\]
Chứng minh rằng :
a] Các đoạn thẳng \[AF, BD\] và \[CE\] đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b] \[ABFD, AEFC\] và \[BCDE\] là những hình vuông.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
+] Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+] Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết
a] Do \[B, C, D, E\] cách đều \[A\] và \[F\] nên chúng đồng phẳng [cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \[AF\]].
Tương tự, \[A, B, F, D\] đồng phẳng và \[A, C, F, E\] đồng phẳng
Gọi \[I\] là giao của \[[AF]\] với \[[BCDE]\]. Khi đó \[B, I, D\] là những điểm chung của hai mặt phẳng \[[BCDE]\] và \[[ABFD]\] nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \[E, I , C\] thẳng hàng.
Vậy \[AF, BD, CE\] đồng quy tại \[I\].
Vì \[BCDE\] là hình thoi nên \[EC\] vuông góc với \[BC\] và cắt \[BC\] tại \[I\] là trung điểm của mỗi đường. \[I\] là trung điểm của \[AF\] và \[AF\] vuông góc với \[BD\] và \[EC\], do đó các đoạn thẳng \[AF, BD\], và \[CE\] đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
b] Ta có tứ giác \[DCDE\] là hình thoi.
Do \[AI\] vuông góc \[[BCDE]\] và \[AB = AC =AD = AE\] nên \[IB = IC= ID = IE\].
Từ đó suy ra hình thoi \[BCDE\] là hình vuông. Tương tự \[ABFD, AEFC\] là những hình vuông.
Bài 4 trang 18 SGK Hình học 12:
Cho hình bát diện đều ABCDEF.
Chứng minh rằng:
a]Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b]ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.
Lời giải:
Hướng dẫn
+] Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+] Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.
a] B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF
Trong mp [BCDE], ta có BC = CD = DE = EB [= a]
⇒ BCDE là hình thoi
⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b] Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.
Mà AB = AE [= a] ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC
⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.
Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông
- Giải Toán 12: Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Cho hình bát diện đều \[ABCDEF.\]
Chứng minh rằng:
a] Các đoạn thẳng \[AF, BD\] và \[CE\] đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b] \[ABFD, AEFC\] và \[BCDE\] là những hình vuông.
Gợi ý:
a] Chứng minh BCDE là hình thoi
b] Vận dụng dấu hiệu: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
a] Ta có: \[B, C, D, E\] cách đều \[A\] và \[F\] suy ra \[B, C, D, E\] cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AF.\]
Trong \[[BCDE]\], ta có \[BC = CD = DE = EB.\]
\[⇒\] Tứ giác \[BCDE\] là hình thoi.
Vậy \[BD\] và \[CE\] vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường [tính chất hai đường chéo của hình thoi].
Chứng minh tương tự, \[ ⇒ AF \,\text{và}\, BD, AF\] và \[CE\] vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b] \[Do\, AI⊥[BCDE], AB=AC=AD=AE\]
\[⇒△ABI=△AEI=△ACI=△ADI\] [cạnh huyền và cạnh góc vuông].
\[⇒IB=IC=ID=IE⇒BD=EC.\]
Mà \[BCDE\] là hình thoi [theo câu a].
\[⇒BCDE\] là hình vuông.
Chứng minh tương tự, ta được: \[ABFD, AEFC\] là những hình vuông.
Video hướng dẫn giải
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơnCho hình bát diện đều \[ABCDEF\]
Chứng minh rằng :
LG a
a] Các đoạn thẳng \[AF, BD\] và \[CE\] đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Phương pháp giải:
+] Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+] Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
a] Do \[B, C, D, E\] cách đều \[A\] và \[F\] nên chúng đồng phẳng [cùng thuộc mặt phẳng trung trực của \[AF\]].
Tương tự, \[A, B, F, D\] đồng phẳng và \[A, C, F, E\] đồng phẳng.
Gọi \[I\] là giao của \[[AF]\] với \[[BCDE]\]. Khi đó \[B, I, D\] là những điểm chung của hai mặt phẳng \[[BCDE]\] và \[[ABFD]\] nên chúng thẳng hàng. Tương tự, \[E, I , C\] thẳng hàng.
Vậy \[AF, BD, CE\] đồng quy tại \[I\].
Vì \[BCDE\] là hình thoi nên \[EC\] vuông góc với \[BC\] và cắt \[BC\] tại \[I\] là trung điểm của mỗi đường. \[I\] là trung điểm của \[AF\] và \[AF\] vuông góc với \[BD\] và \[EC\], do đó các đoạn thẳng \[AF, BD\], và \[CE\] đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.
Cách khác:
Giả sử bát diện đều \[ABCDEF\] có cạnh bằng \[a.\]
\[B, C, D, E\] cách đều \[A\] và \[F\] suy ra \[B, C, D, E\] cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AF\]
Trong mp \[[BCDE]\], ta có \[BC = CD = DE = EB [= a]\]
\[⇒ BCDE\] là hình thoi
\[⇒ BD ⊥ EC\] và \[BD, EC\] cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta suy ra \[AF\] và \[BD, AF\] và \[CE\] vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
LG b
b] \[ABFD, AEFC\] và \[BCDE\] là những hình vuông.
Phương pháp giải:
+] Sử dụng tính chất của mặt phẳng trung trực.
+] Dấu hiệu nhân biết hình vuông: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Lời giải chi tiết:
b] Ta có tứ giác \[DCBE\] là hình thoi.
Do \[AI\] vuông góc \[[BCDE]\] và \[AB = AC =AD = AE\] nên \[IB = IC= ID = IE\].
Từ đó suy ra hình thoi \[BCDE\] là hình vuông. Tương tự \[ABFD, AEFC\] là những hình vuông.
Cách khác:
Gọi trung điểm \[BD, CE, AF là O\].
\[\begin{array}{l}BO \bot AO \Rightarrow AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} \\AO \bot OE \Rightarrow AE = \sqrt {A{O^2} + O{E^2}} \end{array}\]
Mà \[AB = AE [= a] ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC\]
⇒ Hình thoi \[BCDE\] là hình vuông.
Chứng minh tương tự: \[ABFD, AEFC\] đều là hình vuông.
Loigiaihay.com