§2. CON LẮC LÒ XO A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Con lắc lò xo Con lẩc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gển vào đầu của một lò xo có độ cứng k và khôi lượng không đáng kể; đầu kia của lò xo được giữ cố định. Vật m có thể trượt trên một mặt phẳng nằm ngang không có ma sát. Con lắc lò xo là một hệ dao động điều hòa Lực kéo về Lực kéo về luôn luôn hướng về vị trí cân bằng, tác dụng vào vật gây ra gia tô'c làm cho vật dao động điều hòa, có biểu thức là F = -kx. Trong đó: x; là li độ của vật m k: là độ cứng của lò xo, có đơn vị là Niutơn trên mét [N / m]. Dấu trừ [-] chỉ rằng lực F có hướng ngược với biến dạng của lò xo, nghĩa là F luôn luôn hướng về vị trí cân bằng. Chu kì - tần số - tần số góc của con lắc lò xo Chu kì T = 2x./^ V k m: khôi lượng quậ nặng [kg] ' k: là độ cứng của lò xo, có đơn vị là Niutơn trên mét [N/m]. T: là chu kì, có đơn vị là giầy [s] Tần số f [Hz] f = 1 = J- p. T 2n V m Tần số góc co [rad/s] Cú = .— ỉ. Động năng - Thế năng - Cơ năng của con lắc lò xo Động năng-. Wđ = |mv2 = ìmA2co2 sin2[cot + cp] 2 2 wđ: Động năng của con lắc lò xo [J] m: khối lượng của vật [kg] v: vận tốc của vật [m/s] Thế năng: [Chọn gô'c thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng của vật] W. = ịkx2 = ị kA2 cos2 [cot + cp] ‘22 Cơ năng-. Bằng tổng động năng và thế năng w = Wd + mco2A2 = hằng sô' w = 4 mv2 + 4 kx2 hay w = ị kA2 2 2 2 Nliận xét-. Cơ năng của con lắc tỉ lệ với bình phương của biên độ dao động. Khi không có ma sát, cơ năng của con lắc được bảo toàn. 5. CÂU HỎI TRONG BÀI HỌC Chứng minh ràng có đơn vị giây. E3 Hãy cho biết một cách định tính, thế năng và động năng của con lắc thay đổi thế nào khi nó đi từ vị trí biên về vị trí cân bàng và từ vị trí cân bằng đến vị tri biên. Hướng dẫn trả lời 31 Từ công thức định luật II Niu-tơn, ta có: F = ma => IN = lkg.l N = 1kg Đơn vị của k là [N/m], đơn vị của m là [kg] — có đơn vị là s2. k Suy ra: 'ỊỶ có đơn vị là giây [s] SE Con lắc đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng: giá trị X -A o A X giảm dần => thế năng Et giảm dần, => động năng Ed tăng dần => giá trị V tăng dần Tại vị trí cân bằng 0: giá trị X = 0 => thế năng Et = 0 => động năng cực đại Eđmax => vận tốc có giá trị cực đại Con lắc đi từ vị trí cân bằng đến biên: giá trị X tăng dần => thế năng Et tăng dần => động năng Eđ giảm dần => giá trị V giảm dần Tại biên: giá trị Xmax = A => thế năng cực đại Etmax => động năng bằng 0 => vận tốc bằng 0. c. CÂU HỎI SAU BÀI HỌC r Khảo sát dao dộng của con lác lò xo nà*m ngang. Tìm công thức của lục kéo về. Nêu công thức tinh chu kì của con lắc lò xo. Viết công thức của động năng, thể năng và cơ năng của con lắc lò xo. Khi con lắc lò xo dao động diều hoà thi động năng và thế năng của con lắc biến đổi qua lại ■HUđngdân.ràiai 1. Xét con lắc lò xo như hình vẽ Chọn hệ trục tọa độ có Ox có gốc tọa độ o trùng với vị trí cân bằng, chiều dương là chiều quy ước [như hình vẽ]. Từ vị trí cân bàng o kéo vật m cho lò xo dãn ra một đoạn Biên âm VTCB Biên + ! ,F I I 7 £11 -A o VTCB nhỏ rồi buông tay, vật sẽ dao động trên một đường thẳng quanh vị trí cân bằng. Tại vị trí cân bằng: p + N = 0 [1] Tại vị trí có li độ X bất kì: p + N + Fđh = ma [2] Chiếu phương trình [2] lên trục Ox Fđh = ma với a = -[02x => Fdh= -mco2x [lưu ý k = meo2] => Fđh = -kx suy ra lực kéo về F= -kx. Công thức chu kì con lắc lò xo T = 2rc VƠ1 rm: khối lượng quả nặng [kg] k: là độ cứng của lò xo, có đơn vị là Niutơn trên mét [N / m]. T: là chu kì, có đơn vị là giây [s] • Động năng: Wđ = ~niv2 2 Wđ: động năng của con lắc lò xo [j] ■ m: khối lượng qua vật [kg] v: vận tốc của vật [m / s] • Thế năng: [Chọn gốc thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng của vật] W =ịkx2 1 2 Wt: thế năng đàn hồi [j] - k: độ cứng lò xo [N / mj x: li độ [m] • Cơ năng: Bằng tổng động năng và thế năng w = ỉ mv2 + ị kx2 hay w = ị kA2 = ị m[ú2 A 2 = hằng số 2 2 2 2 Khi con lắc dao động điều hòa, động năng tăng thì thế năng giảm và ngược lại, động năng giảm thì thế năng tăng. . BÀI TẬP Chọn đáp án đúng. Công thức tính chu ki dao động của con lắc lò xo là: A.T = 2nJĨ Ũ-T = 2*JẸ im 2n1m 2n 1 m N k Một con lắc lò xo dao dộng điều hoà. Lò xo có độ cứng k = 40 N/ m. Khi vật m của con lắc đi qua vị trí có li độ X = -2cm thỉ thế năng của con lắc là bao nhiêu? A. -0.016J. B. -0.008J. c. 0,016J. D. 0,008J. Một con lắc lò XO gồm một khối lượng m = 0,4kg và một lò xo có độ cứng k = 80 N Im. Con lắc dao dộng điều hoà với biên độ bàng o,lm. Hỏi tốc độ của con lác khi qua vị tri cân bằng? A. 0 m/s. B. 1,4 mis. c. 2,0 m/s. D. 3,4 m/s. 4. Chọn đáp án D. Hướng dẫn giải 1, O 1 Chọn đáp án D. Thế năng Wt = 4kx2 = ^-40[-0,02]2 => w. = 0,008J 1 2 2 Chọn đáp án B. Tốc độ của con lắc qua vị trí cân bằng là cực đại 'k '80 =loV2[rad/s] Ta có vmax = coA với co = co ■■ vmax = I0V2 .0,1 = 1,4 m/s.
Tổng hợp cách giải một số dạng bài tập về con lắc lò xo thường gặp
Dạng 1: Tính chu kì, tần số của con lắc lò xo
Sử dụng các công thức:
+ Tần số góc: ω=km=gΔl0=2πT=2πf
+ Chu kì: T=2πmk=2πΔl0g
+ Tần số: f=12πkm=12πgΔl0
Với Δl0=mgk là độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng.
*Bài toán ghép vật
- Lò xo K gắn vật nặng m1 thì dao động với chu kì T1. Còn khi gắn vật nặng m2 thì dao động với chu kì T2. Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m1 + m2 là:
T2=T12+T22
Tổng quát:
+ Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m=m1+m2+...+mn là:
T2=T12+T22+...+Tn2
+ Chu kì dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m1 + b.m2 là:
T2=aT12+bT22
- Lò xo K gắn vật nặng m1 thì dao động với chu kì f1. Còn khi gắn vật nặng m2 thì dao động với chu kì f2. Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = m1 + m2 là:
f=f1f2f12+f22
Tổng quát:
+ Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m=m1+m2+...+mn là:
1f2=1f12+1f22+...+1fn2
+ Tần số dao động của vật khi gắn vật có khối lượng m = a.m1 + b.m2 là:
1f2=af12+bf22
Bài tập ví dụ:
Bài 1: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 100 N/m được gắn vào vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg. Kích thích cho vật dao động điều hòa, xác định chu kì của con lắc lò xo.
Hướng dẫn giải
Ta có:
{m=0,1kgk=100N/m⇒T=2πmk=2π0,1100=0,2s
Bài 2: Một lò xo có độ cứng là k. Khi gắn vậ m1 vào lò xo và cho dao động thì chu kì là 0,3 s. Khi gắn vật có khối lượng m2 vào lò xo trên và kích thích cho dao động thì nó dao động với chu kì là 0,4s. Hỏi nếu khi gắn vật có khối lượng m = 2m1 + 3m2 thì nó dao động với chu kì là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Khi đó chu kì dao động của vật là:
T2=2T12+3T22⇔T=2T12+3T22=2.0,32+3.0,42=0,812s
Dạng 2: Chiều dài CLLX - lực đàn hồi, lực hồi phục của con lắc lò xo
1. Tính chiều dài của lò xo trong quá trình vật dao động
Gọi chiều dài tự nhiên của lò xo là l0.
- Khi con lắc lò xo nằm ngang:
+ Lúc vật ở VTCB, lò xo không bị biến dạng,
+ Chiều dài cực đại của lò xo: lmax=l0+A
+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin=l0−A
+ Chiều dài ở li độ x: l=l0+x
- Khi con lắc lò xo bố trí thẳng đứng hoặc nằm nghiêng một góc αvà treo ở dưới.
+ Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB:
- Con lắc lò xo treo thẳng đứng: Δl0=mgk
- Con lắc lò xo nằm nghiêng góc α: Δl0=mgsinαk
+ Chiều dài lò xo khi vật ở VTCB: lvtcb=l0+Δl
+ Chiều dài ở li độ x: l=l0+Δl0+x
+ Chiều dài cực đại của lò xo: lmax=l0+Δl0+A
+ Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin=l0+Δl0−A
2. Lực kéo về
F=−kx=−mω2x
Đặc điểm:
* Là lực gây dao động cho vật.
* Luôn hướng về VTCB
* Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ
3. Lực đàn hồi - Lực hồi phục cực đại, cực tiểu.Có độ lớn Fdh=kx∗ [x* là độ biến dạng của lò xo]
- Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một [vì tại VTCB lò xo không biến dạng]
- Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng:
+ Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:
- Fdh=k|Δl0+x| với chiều dương hướng xuống
- Fdh=k|Δl0−x| với chiều dương hướng lên
+ Lực đàn hồi cực đại [lực kéo]: Fmax=k[Δl0+A]=FKmax [lúc vật ở vị trí thấp nhất]
+ Lực đàn hồi cực tiểu:
- NếuAAFdhmin=0khiΔl≤A
- Lực hồi phục: Fhp=kx⇒{FhpMax=kAFhpmin=0hayFhp=ma⇒{FhpMax=mω2AFhpmin=0
+ Lực hồi phục luôn hướng vào vị trí cân bằng.
* Khi hệ dao động theo phương nằm ngang thì lực đàn hồi và lực hồi phục là như nhau Fdh=Fhp
Bài tập ví dụ: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên là 30 cm, độ cứng của lò xo là k = 10 N/m. Treo vật nặng có khối lượng m = 0,1 kg vào lò xo và kích thích cho lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A = 5cm. Xác định lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải
Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB là:
Δl0=mgk=0,1.1010=0,1m
Lực đàn hồi cực đại:
Fmax=k[Δl0+A]=10.[0,1+0,05]=1,5N
Lực đàn hồi cực tiểu:
Fmin=k[Δl−A]=10.[0,1−0,05]=0,5N
Dạng 3. Bài tập năng lượng của con lắc lò xo
Phương pháp
Cho một con lắc lò xo có độ cứng k, vật có khối lượng m, dao động điều hòa với phương trình : x=Acos[ωt+φ] và có vận tốc: v=−Aωsin[ωt+φ].
- Cơ năng: W=Wd+Wt=12mv2+12kx2=12mω2A2=12kA2
- Thế năng:
Wt=12kx2=12kA2cos2[ωt+φ]=W−Wd=12kA2−12mv2
- Động năng:
Wd=12mv2=12mω2A2sin2[ωt+φ]=W−Wt=12kA2−12kx2
- Đồ thị dao động:
Nhận xét:
- Cơ năng được bảo toàn và tỉ lệ với bình phương biên độ.
- Vị trí thế năng cực đại thì động năng cực tiểu và ngược lại.
- Động năng và thế năng của vật biến thiên điều hòa với cùng tần số góc 2ω, tần số 2f và chu kì T2.
- Trong 1 chu kì: có 4 lần động năng bằng thế năng. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần động năng bằng thế năng là T4.
- Xác định vận tốc- li độ:
- Vận tốc: Wd=12mv2→v=±2Wdm
- Li độ: Wt=12kx2→x=±2Wtk
- Khi biết thế năng tại vị trí có li độ x gấp n lần động năng của vật: Wt = nWđ
{Wt=nWdW=Wt+Wd→{Wt=nn+1WWd=1n+1W→{x=±Ann+1v=±Aωn+1
- Khi biết động năng tại vị trí có li độ x gấp n lần thế năng của vật: Wđ = nWt
{Wd=nWtW=Wt+Wd→{Wt=1n+1WWd=nn+1W→{x=±An+1v=±Aωnn+1
Dạng 4. Tính thời gian lò xo nén hay giãn trong một chu kì
Phương pháp:
1. Con lắc lò xo nằm ngang:
Thời gian lò xo giãn bằng thời gian lò xo nén
2. Con lắc lò xo treo thẳng đứng:
+ Khi A Thời gian lò xo giãn = T, thời gian lò xo nén = 0
+ Khi A>Δl0 :
- Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1=−Δl0 đến x2=−A là : Δt=2αω trong đó: cosα=Δl0A
- Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1=−Δl0đến x2=−A là: T−Δt
*Trong một dao động [một chu kỳ] lò xo nén 2 lần và giãn 2 lần
3. Con lắc lò xo nằm nghiêng:
+ Khi A Thời gian lò xo giãn = T, thời gian lò xo nén = 0
- Đầu cố định ở dưới [Hình a]: Trong quá trình dao động, lò xo chỉ bị nén mà không có giãn => Thời gian lò xo giãn = 0, thời gian lò xo nén = T
+ Khi A>Δl0 :
- Thời gian lò xo nén 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1=−Δl0đến x2=−Alà : Δt=2αω trong đó: cosα=Δl0A
- Thời gian lò xo giãn 1 lần là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1=−Δl0đến x2=−Alà: T-∆t
*Trong một dao động [một chu kỳ] lò xo nén 2 lần và giãn 2 lần
Dạng 5. Bài toán va chạm
1. Va chạm theo phương ngang
Vật m chuyển động với vận tốc v0 đến va chạm vào vật M đang đứng yên.
- Va chạm mềm: mv0=[m+M]V⇒V=11+Mmv0
V: vận tốc của hệ hai vật M+m ở vị trí cân bằng
Nếu sau va chạm cả hai vật dao động điều hòa thì tần số và biên độ dao động của con lắc lò xo:
ω=km+M,A=Vω
- Va chạm đàn hồi: {mv0=mv+MV12mv02=12mv2+12MV2⇒{V=21+Mmv0v=1−Mm1+Mmv0
V: vận tốc của M ở vị trí cân bằng
Nếu sau va chạm M dao động điều hòa: ω=kM,A=Vω
2. Va chạm theo phương thẳng đứng
Tốc độ của m ngay trước va chạm: v0=2gh
- Va chạm mềm:
+ Vị trí cân bằng mới thấp hơn vị trí cân bằng cũ đoạn x0=mgk
+ Vận tốc của hệ sau va chạm: V=mv0m+M
+Biên độ sau va chạm: A=x02+V2ω2
- Xảy ra va chạm đúng lúc vật đến vị trí cao nhất thì sau va chạm: vật có li độ so với VTCB mới [A0+x0], biên độ mới A=[A0+x0]2+V2ω2
- Xảy ra va chạm đúng lúc vật đến vị trí thấp nhất thì sau va chạm: vật có li độ so với VTCB mới [A0-x0], biên độ mới A=[A0−x0]2+V2ω2
- Va chạm đàn hồi:
+ V=2mv0m+M⇒A=Vω,ω=kM
+ Nếu đúng lúc vật đến vị trí biên [x=±A0] thì xảy ra va chạm: A=x02+V2ω2
3. Sau va chạm đàn hồi hai vật tách rời ở vị trí cân bằng
- Giai đoạn 1: Cả hai vật cùng dao động với biên độ A, tần số góc và tốc độ cực đại v0=ωA
- Giai đoạn 2: Nếu đến VTCB m2 tách ra khỏi m1 thì m1 dao động điều hòa với tần số góc và biên độ:
[Vì tốc độ cực đại không đổi vẫn là vo]
m2 chuyển động thẳng đều với vận tốc v0 và khi đến vị trí biên dương [lần 1] thì m2 đi được quãng đường:
Lúc này khoảng cách giữa hai vật:
Lý thuyết Bài 2: Con lắc lò xo
I. Con lắc lò xo
- Con lắc lò xo gồm một vật nặng m gắn vào một đầu của lò xo có độ cứng k và có khối lượng không đáng kể.
- Con lắc có một vị trí cân bằng mà khi ta thả vật ra, vật sẽ đứng yên mãi. Nếu kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng buông ra vật sẽ dao động quanh vị trí cân bằng giữa hai biên.
II. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học
- Xét vật ở li độ x, lò xo giãn một đoạn \[\Delta l = x\], lực đàn hồi của lò xo \[F = - k\Delta l\]
Phương trình dao động của con lắc lò xo về mặt động lực học là:
\[F = ma = - k{\rm{x}}\] hay \[a = - \frac{k}{m}x\]
Trong đó:
F: là lực tác dụng lên m [N]
x: là li độ của vật [m]
k: độ cứng của lò xo [N/m]
dấu [-] chỉ ra rằng lực \[\overrightarrow F \] luôn hướng về vị trí cân bằng.
- Đặt \[{\omega ^2} = \frac{k}{m} \Rightarrow a + {\omega ^2}x = 0\]
- Dao động của con lắc lò xo là dao động điều hòa:
+ Tần số góc: \[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \]
+ Chu kì: \[T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \]
- Lực luôn hướng về vị trí cân bằng gọi là lực kéo về. Nó có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.
* Tổng hợp các dạng con lắc lò xo
III. Khảo sát dao động của con lắc lò xo về mặt năng lượng
1. Động năng của con lắc lò xo
- Động năng của con lắc lò xo là động năng của vật m:
\[{W_d} = \frac{1}{2}m{v^2}\left[ J \right]\]\[ = \frac{1}{4}K{A^2} - \frac{1}{4}K{A^2}\cos [2\omega t + 2\varphi ]\]
2. Thế năng của con lắc lò xo
\[{{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}k{{\rm{x}}^2}\left[ J \right]\]\[ = \frac{1}{4}K{A^2} + \frac{1}{4}K{A^2}\cos [2\omega t + 2\varphi ]\]
3. Cơ năng của con lắc lò xo. Sự bảo toàn cơ năng
- Cơ năng của con lắc:
\[{\rm{W}} = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}k{{\rm{x}}^2}\left[ J \right]\]
- Khi không có ma sát thì cơ năng của con lắc được bảo toàn. Nó chỉ biến đổi từ thế năng sang động năng và ngược lại.
\[{\rm{W}} = \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = const\]
*Nhận xét:
- Động năng và thế năng của con lắc lò xo biến thiên điều hòa cùng tần số góc \[2\omega \], tần số \[2f\], chu kì \[\frac{T}{2}\].
- Thời gian liên tiếp giữa hai lần động năng bằng thế năng là \[\frac{T}{4}\]
- Cơ năng của con lắc lò xo luôn được bảo toàn và tỉ lệ với bình phương biên độ dao động.
Sơ đồ tư duy về con lắc lò xo