Làm sao để nhận diện và có cách giải phương trình mũ nhanh mà vẫn chính xác? Có bao nhiêu cách giải phương trình mũ phổ biến trong các đề thi đại học? Cùng VUIHOC khai mở kiến thức về phương trình mũ và các phương pháp giải phương trình mũ nhé!
Trước khi đi vào chi tiết bài viết cách giải phương trình mũ, các em cùng VUIHOC đọc bảng sau đây để nhận định về độ khó và vùng kiến thức cần ôn tập về phương trình mũ nhé!
Dưới đây là link tổng hợp toàn bộ kiến thức phương trình mũ - cách giải phương trình mũ trong bài viết này để giúp các em dễ theo dõi cũng như tiện trong ôn tập phương pháp giải phương trình mũ. Đừng quên tải về nhé!
Tải xuống file lý thuyết tổng hợp phục vụ giải phương trình mũ
1. Tổng hợp lý thuyết về phương trình mũ áp dụng trong cách giải phương trình mũ
1.1. Định nghĩa và công thức chung
Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ.
Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của phương trình mũ như sau:
Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $00$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$
Với $b\leq 0$: phương trình mũ vô nghiệm
1.2. Tổng hợp các công thức vận dụng giải phương trình mũ
Để tìm được cách giải phương trình mũ, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp từ các phương pháp giải phương trình mũ trong bảng sau:
Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ để giải phương trình mũ. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:
Các em cần lưu ý khi biến đổi giải phương trình mũ, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!
2. 5 cách giải phương trình mũ có ví dụ minh hoạ chi tiết
2.1. Dạng toán phương trình mũ đưa về cùng cơ số
Ở phương pháp sử dụng cách giải phương trình mũ này, ta cần biến đổi theo công thức sau để đưa về cùng cơ số:
Với a > 0 và a ≠ 1 ta có $a^{f[x]}=a^{g[x]}\Rightarrow f[x]=g[x]$.
Ta cùng xét ví dụ sau đây để hiểu rõ cách giải pt mũ đưa về cùng cơ số này:
2.2. Dạng toán đặt ẩn phụ
Đây là cách giải phương trình mũ thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình mũ này, ta cần thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc
- Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
- Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện
- Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản
- Bước 5: Kết luận
Các phép ẩn phụ thường gặp như sau:
Dạng 1: Các số hạng trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua $a^{f[x]}$ nên ta đặt $t=a^{f[x]}$
Lưu ý trong cách giải phương trình mũ này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Dạng 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc $n$ đối với $a^{nf[x]}$ và $b^{nf[x]}$
Với cách giải phương trình mũ này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho $a^{nf[x]}$ hoặc $b^{nf[x]}$ với $n$ là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.
Dạng 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo
-
Loại 1: $A.a^{f[x]}+B.b^{f[x]}+C=0$ với $a.b=1$
=> Đặt ẩn phụ $t=a^{f[x]}b^{f[x]}=\frac{1}{t}$
-
Loại 2: $A.a^{f[x]}+B.b^{f[x]}+C=0$ với $a.b=c^2$
=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho $c^{f[x]}$ và đưa về dạng 1.
Ta cùng xét các ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách giải phương trình mũ đặt ẩn phụ nhé!
2.3. Giải phương trình mũ bằng cách logarit hoá
Trong một số trường hợp, chúng ta không thể sử dụng cách giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc dùng ẩn phụ được. Khi đó, các em cần lấy logarit 2 vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó để đưa về dạng phương trình mũ cơ bản. Phương pháp giải pt mũ này được gọi là logarit hoá.
Dấu hiệu nhận biết bài toán giải phương trình mũ áp dụng phương pháp logarit hóa: Phương trình loại này thường có dạng $a^{f[x]}.b^{g[x]}.c^{h[x]}=d$ [tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau]. Khi đó, các em có thể áp dụng cách giải phương trình mũ lấy logarit 2 vế theo cơ số $a$ [hoặc $b$, hoặc $c$].
Các công thức logarit hoá giải pt mũ như sau:
Sau đây, các em cùng theo dõi ví dụ minh hoạ cách giải phương trình mũ:
2.4. Sử dụng tính đơn điệu làm phương pháp giải phương trình mũ
Để sử dụng tính đơn điệu vào trong cách giải phương trình mũ, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau:
-
Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x [01$: Hàm số luôn đồng biến
-
$0f[x_0]=k$ do đó phương trình vô nghiệm.
+ Với $x