Giải và biện luận phương trình theo tham số m (m+1)x-3=0

Giải và biện luận các phương trình sau [m là tham số]:. Bài 12 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao – Bài 2: Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

Giải và biện luận các phương trình sau [m là tham số]:

a] 2[m + 1]x – m[x – 1] = 2m + 3;

b] m2[x – 1] + 3mx = [m2 + 3]x – 1;

c] 3[m + 1]x + 4 = 2x + 5[m + 1];

d] m2x + 6 = 4x + 3m.

a] 2[m + 1]x – m[x – 1] = 2m + 3;

⇔ [2m + 2]x – mx = 2m + 3 – m

⇔ [m + 2]x = m + 3

+ Nếu m ≠ -2 thì phương trình có nghiệm \[x = {{m + 3} \over {m + 2}}\]

+ Nếu m = – 2 thì 0x = 1 phương trình vô nghiệm

b] m2[x – 1] + 3mx = [m2 + 3]x – 1

⇔ m2x – m2 + 3mx = m2x + 3x – 1

⇔ 3[m – 1]x = m2 – 1

+ Nếu m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm: \[x = {{{m^2} – 1} \over {3[m – 1]}} = {{m + 1} \over 3}\]

+ Nếu m = 1 thì 0x = 0. Phương trình có tập nghiệm \[S =\mathbb R\]

c] 3[m + 1]x + 4 = 2x + 5[m + 1]

⇔ [3m + 1]x = 5m + 1

+ Nếu m ≠ \[ – {1 \over 3}\] thì phương trình có nghiệm \[x = {{5m + 1} \over {3m + 1}}\]

+ Nếu m = \[ – {1 \over 3}\] thì \[0x =  – {2 \over 3}\] , phương trình vô nghiệm

d] m2x + 6 = 4x + 3m

⇔ [m2 – 4]x = 3[m – 2]

+ Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2 thì phương trình có nghiệm: \[x = {{3[m – 2]} \over {{m^2} – 4}} = {3 \over {m + 2}}\]

+ Nếu m  = 2 thì 0x = 0, ta có \[S =\mathbb R\]

+ Nếu m = -2 thì 0x = -12; S = Ø

Giải và biện luận các phương trình sau [m và k là tham số], Bài 16 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao – Bài 2: Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn

Giải và biện luận các phương trình sau [m và k là tham số],

a] [m – 1]x2 + 7x – 12 = 0;

b] mx2 – 2[m + 3]x + m + 1 = 0;

c] [[k + 1]x – 1][x – 1] = 0;

d] [mx – 2][2mx – x + 1] = 0.

a] [m – 1]x2 + 7x – 12 = 0

– Với m = 1, phương trình trở thành: \[7x – 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\]

– Với m ≠ -1, ta có: Δ = 72 + 48[m – 1] = 48m + 1

   +  \[ Δ < 0 ⇔m <  – {1 \over {48}}\]  phương trình vô nghiệm

   + \[\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  – {1 \over {48}}\]  thì phương trình có hai nghiệm:\[x = {{ – 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2[m – 1]}}\]

b] mx2 – 2[m + 3]x + m + 1 = 0

+ Với m = 0, phương trình trở thành: \[ – 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\]

+ Với m ≠ 0. Ta có: Δ’ = [m + 3]2 – m[m + 1] = 5m + 9         

\[\Delta  < 0 \Leftrightarrow m <  – {9 \over 5}\] phương trình vô nghiệm

\[\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  – {9 \over 5}\] , phương trình có hai nghiệm: \[x = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\]

c] Ta có:

\[{\rm{[[k + 1]x}}\,\, – 1{\rm{]}}[x\, – 1] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr

[k + 1]x = 1\,\,\,\,\,\,[1] \hfill \cr} \right.\]

+ Nếu k = -1 thì [1] vô nghiệm. Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1

+ Nếu k ≠ 1 thì [1] có nghiệm \[x = {1 \over {k + 1}}\]

Ta có: \[{1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k = 0\] .

Do đó:

i] k = 0; S = {1}

ii] k ≠ 0 và k ≠ -1: \[S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\]

iii] k = -1: S = {1}

d] Ta có: 

\[[mx – 2][2mx – x + 1] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ mx = 2 \hfill \cr

[2m – 1]x = – 1 \hfill \cr} \right.\]

+ Nếu m = 0 thì x = 1

+ Nếu m = \[{1 \over 2}\] thì x = 4

+ Nếu m ≠ 0 và m ≠ \[{1 \over 2}\] thì phương trình có hai nghiệm là: \[x = {2 \over m};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {1 \over {1 – 2m}}\]

Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau

m x 2 + [ 2 m - 1 ] x   + m - 2 = 0

Chuyển tới nội dung chính

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Giải và biện luận phương trình bậc nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Giải và biện luận phương trình bậc nhất: Giải và biện luận phương trình bậc nhất. Phương pháp giải: a] a khác 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất x = − b. b] a = 0 và b khác 0: Phương trình vô nghiệm. c] a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x. BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m. Ta xét các trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Khi m khác ±1, ta có m2 − 1 khác 0 nên [2] có nghiệm. Đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Trường hợp 2: Khi m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình này có nghiệm đúng với mọi số thực x nên phương trình [1] cũng có nghiệm đúng với mọi số thực x. Trường hợp 3: Khi m = −1, phương trình [2] trở thành 0.x = −4. Phương trình này vô nghiệm nên phương trình [1] cũng vô nghiệm. Kết luận: Với m khác ±1: [1] có nghiệm duy nhất x = 2. Với m = −1: [1] vô nghiệm. Với m = 1: [1] có vô số nghiệm. Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình 2x + a. Phương trình trên được viết lại dưới dạng. Trường hợp 1: Nếu a khác 0 thì [2] ⇔ x = 2a. Trường hợp 2: Nếu a = 0 thì [2] ⇔ 0.x = 0, phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x. Kết luận: Với a khác 0 và a khác ±2 thì phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1. Với a = 0 thì phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x. Với a = ±2 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R. Phương trình đã cho viết dưới dạng [m3 + 1]x = m + 1 [2]. Do đó, phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm R ⇔ m3 + 1 = 0, m + 1 = 0 ⇔ m = −1. Vậy với m = −1 thì phương trình [1] có tập nghiệm là R. Ví dụ 4. Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x > 2. Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng x = 3m + 1. Phương trình [1] có nghiệm x > 2 khi và chỉ khi 3m + 1 > 2 ⇔ m > 1. Vậy m > 1 thỏa yêu cầu bài toán. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Giải và biện luận phương trình [m2 + 4]x − 3m = x − 3 [1]. Lời giải. Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng [m2 + 3]x = 3m − 3 [2]. Vì m2 + 3 > 0, với mọi giá trị thực của m nên phương trình [2] có 1 nghiệm duy nhất là x = 3m − 3. Bài 2. Giải và biện luận phương trình m[x − 2m] = x + m + 2 [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 1]x = 2m2 + m + 2 [2]. Với m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 5. Điều này vô lí, phương trình đã cho vô nghiệm. Với m khác 1, phương trình có nghiệm duy nhất là x = m − 1. Bài 3. Giải và biện luận phương trình m2x + 2 = x + 2m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − 1]x = 2m − 2. [2]. Với m khác ±1, phương trình [2] có nghiệm duy nhất x = 2m − 2. Với m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình đúng với mọi số thực x. Với m = −1, phương trình [2] trở thành 0.x = −4. Điều này vô lí nên phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 4. Giải và biện luận phương trình m2x + 1 = [m − 1] x + m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − m + 1]x = m − 1. [2]. Vì m2 − m + 1 khác 0, ∀x ∈ R nên phương trình [2] luôn có nghiệm duy nhất x = m − 1. Bài 5. Giải và biện luận phương trình m2x + 6 = 4x + 3m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − 4]x = 3m − 6. [2]. Với m khác ±2, phương trình [2] có nghiệm duy nhất x = 3m − 6. Với m = 2, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình đúng với mọi số thực x. Với m = −2, phương trình [2] trở thành 0.x = −12. Điều này vô lí nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6. Tìm giá trị tham số m để phương trình m2[mx − 1] = 2m [2x + 1] [1] có tập nghiệm là R. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng. Phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm là R. Bài 7. Tìm giá trị tham số m để phương trình m[x − m + 3] = 2 [x − 2] + 6 [1], có tập nghiệm là R. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 2]x = m2 − 3m + 2. [2]. Phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm là R. Bài 8. Tìm giá trị tham số m để phương trình m[x − m + 3] = 2 [x − 2] + 6 [1] có nghiệm duy nhất. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 2]x = m2 − 3m + 2. [2]. Phương trình [1] có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình [2] có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m − 2 khác 0 ⇔ m khác 2.