Hàm số liên tục tại 1 điểm là gì

09:54:3109/01/2020

Bài viết dưới đây sẽ giúp ta biết cách xét tính liên tục của hàm số, vận dụng giải các dạng bài tập về hàm số liên tục như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm [x=0], trên một đoạn hay một khoảng, tìm các điểm gián đoạn của hàm số, hay chứng minh phương trình f[x]=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục [tóm tắt]

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a;b] và x0 ∈ [a;b]. Hàm số y = f[x] được gọi là liên tục tại x0 nếu:

 

- Hàm số f[x0] không liên tục tại điểm x0 thì x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f[x].

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f[x] được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- Hàm số y = f[x] được gọi là liên tục trên đoan [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b] và:

 

3. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

• Định lý 1:

a] Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b] Hàm số phân thức hữu tỉ [thương của 2 đa thức] và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

• Định lý 2:

- Giả sử f[x] và g[x] là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a] Các hàm số f[x] + g[x]; f[x] - g[x] và f[x].g[x] liên tục tại x0.

b] hàm số 

 liên tục tại x0 nếu g[x0] ≠ 0.

• Định lý 3:

- Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên đoạn [a;b] và f[a]f[b] < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ [a;b] sao cho f[c] = 0.

II. Các dạng bài tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

- Bước 1: Tính f[x0]

- Bước 2: Tính

 hoặc

- Bước 3: So sánh: 

 hoặc  với  rồi rút ra kết luận

- Nếu 

 hoặc  thì kết luận hàm số liên tục tại 

- Nếu 

 không tồn tại hoặc  thì kết luận hàm số không liên tục tại x0.

- Bước 4: Kết luận.

* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11]: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f[x]=x3 + 2x - 1 tại x0=3.

° Lời giải ví dụ 1 [Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11]:

- Ta có: f[x] = x3 + 2x - 1

⇒ f[3] = 33 + 2.3 - 1 = 32

 

⇒ f[x] liên tục tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 [Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11]: a] Xét tính liên tục của hàm số y = g[x] tại x0 = 2, biết:

 

b] Trong biểu thức g[x] ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x0 = 2.

° Lời giải ví dụ 2 [Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11]:

- Ta có: g[2] = 5.

 

 

 

⇒ g[x] không liên tục tại x0 = 2.

b] Để g[x] liên tục tại x0 = 2 thì:

 

- Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2.

* Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1.

 

° Lời giải ví dụ 3:

- Ta có: f[1] = 1

 

  

 

⇒ Vậy hàm số f[x] không liên tục [gián đoạn] tại điểm x = 1.

* Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

 

° Lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f[0] = 02 - 2.0 + 2 = 2.

 

 

 

⇒ Vậy hàm số f[x] liên tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

- Nếu hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

* Ví dụ 1: Cho hàm số 

Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng [-7;+∞].

° Lời giải:

• Khi x > 2 thì f[x] = x2 - x + 4 là hàm liên tục trên khoảng [2; +∞].

• Khi -7 < x < 2 thì 

- Hàm số y = x - 2 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng [-7;2]

- Hàm số y = x + 7 là đa thức nên nó liên tục trên khoảng [-7;2]

 ⇒ hàm số 

 liên tục trên khoảng [-7;2]

 ⇒ hàm số 

 liên tục trên khoảng [-7;2]

- Mặt khác: 

 Vậy hàm số 

 liên tục trên khoảng [-7;2].

• Khi x = 2 thì f[2] = 22 - 2 + 4 = 6.

 

 

 

 

⇒ Hàm số f[x] liên tục tại điểm x = 2.

- Kết luận: Hàm số f[x] liên tục trên khoảng [-7;+∞].

* Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số sau liên tục: 

° Lời giải:

• Khi x < 3 thì f[x] = 1 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng [-∞;3]

• Khi 3 < x < 5 thì f[x] = ax + b là đa thwucs nên nó liên tục trên khoảng [3;5]

• Khi x > 5 thì f[x] = 3 là hàm hằng nên nó liên tục trên khoảng [5;+∞].

• Khi x = 3 thì f[3]  = 3a + b

 

 

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

 

  [*]

• Khi x = 5 thì f[5]  = 5a + b

 

 

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì:

  [**]

Từ [*] và [**] ta có: 

- Vậy khi a = 1 và b = -2 thì hàm số f[x] liên tục trên R, khi đó:

 

* Ví dụ 3 [Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11]: Cho các hàm số 

 và g[x] = tanx + sinx. Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

° Lời giải ví dụ 3 [Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11]:

• Hàm số 

 xác định khi và chỉ khi:

 x2 + x - 6 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 và x ≠ -3.

 ⇒ TXĐ: D = R{-3;2}

- Hàm số f[x] liên tục trên các khoảng [-∞;-3], [-3;2] và [2;+∞].

• Hàm số g[x] = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi:

 

- Hàm số g[x] liên tục trên các khoảng: 

° Dạng 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số f[x]

* Phương pháp: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f[x] nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông thường x0 thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

1] f[x] không tồn tại

2] 

 không tồn tại

3] 

* Ví dụ: Cho a và b là hai tham số, tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau:

 

° Lời giải:

- TXĐ: R nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x = 0 và x = 3.

• Tại x = 0.

- Ta có: f[0] = a và

 

⇒ x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số.

• Tại x = 3.

- Ta có: f[3] = b và

- Nếu 

 và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x = 0; x = 3;

- Nếu 

 và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x = 0;

° Dạng 4: Chứng minh phương trình f[x] = 0 có nghiệm.

* Phương pháp: 

1] Chứng mình phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm

- Tìm hai số a, b sao cho f[a].f[b] < 0

- Hàm số f[x] liên tục trên đoạn [a,b]

- Phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ [a;b].

2] Chứng minh phương trình f[x] = 0 có ít nhất k nghiệm

- Tìm k cặp số ai, bi sao cho các khoảng [ai; bi] rời nhau và:

 f[ai].f[bi] < 0, i =1, 2,... , k

- Phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm xi [ai; bi].

3] Khi phương trình f[x] = 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho:

- f[a], f[b] không còn chứa tham số hoặc còn chứa tham số nhưng dấu không đổi.

- Hoặc f[a], f[b] còn chứa tham số nhưng tích f[a].f[b] luôn âm.

* Ví dụ 1 [Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11]: Chứng minh rằng phương trình:

a] 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b] cosx = x có nghiệm

° Lời giải ví dụ 1 [Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11]:

a] Đặt f[x] = 2x3 – 6x + 1

- TXĐ: D = R

- f[x] là hàm đa thức nên liên tục trên R.

- Vậy ta có:

 f[-2] = 2.[-2]3 – 6[-2] + 1 = - 3 < 0

 f[0] = 1 > 0

 f[1] = 2.13 – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f[-2].f[0] < 0 và f[0].f[1] < 0

⇒ f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [-2; 0] và ít nhất một nghiệm thuộc [0; 1]

⇒ phương trình f[x] = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b] Xét hàm số g[x] = x – cosx liên tục trên R.

- Do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

 g[-π] = -π – cos[-π] = -π + 1 < 0

 g[π] = π – cosπ = π - [-1] = π + 1 > 0

⇒ g[-π]. g[π] < 0

⇒ Phương trình x – cosx = 0 có nghiệm trong khoảng [-π; π]

⇒ Phương trình cosx = x có nghiệm.

* Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình [1 - m2]x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

° Lời giải ví dụ 2:

• Đặt f[x] = [1 - m2]x5 - 3x - 1

- Ta có: f[0] = -1; f[-1] = m2 + 1

⇒ f[0].f[-1] = -1.[m2 + 1] = -[m2 + 1] < 0, ∀m ∈ R.

- Mặt khác: f[x] = [1 - m2]x5 - 3x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [-1;0]

⇒ Phương trình [1 - m2]x5 - 3x - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ [-1;0]

⇒ Phương trình [1 - m2]x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

* Ví dụ 3: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0, [a ≠ 0] thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh phương trình có nghiệm trong [0;1/3].

° Lời giải ví dụ 3:

• Đặt f[x] = ax2 + bx + c ; [a ≠ 0] liên tục trên R

- Ta có: 

 

 

 

 trái dấu hoặc 

- Vậy phương trình ax2 + bx + c = 0, [a ≠ 0]  có nghiệm trong đoạn [0;1/3].

Hy vọng với bài viết Cách xét tính liên tục của hàm số, Các dạng Bài tập về hàm số liên tục ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.