Khảo sát sự biến thiên hàm số bậc 2

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c ta thực hiện các bước như sau:

– Xác định toạ độ đỉnh

– Xác định trục đối xứng x = [-b]/[2a] và hướng bề lõm của parabol.

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol [chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng].

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a] y = x2 + 3x + 2         b] y = -x2 + 2√2.x

Hướng dẫn:

a] Ta có

Suy ra đồ thị hàm số y = x2 + 3x + 2 có đỉnh là

đi qua các điểm A [-2; 0], B[-1; 0], C[0; 2], D [-3; 2]

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = [-3]/2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

b] y = -x2 + 2√2.x

Ta có:

Suy ra đồ thị hàm số y = -x2 + 2√2.x có đỉnh là I[√2; 2] đi qua các điểm O [0; 0], B [2√2; 0]

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = √2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x2 - 6x + 8

a] Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b] Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số trên

c] Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương

d] Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [-1; 5]

Hướng dẫn:

a] y = x2 - 6x + 8

Ta có:

Suy ra đồ thị hàm số y = x2 - 6x + 8 có đỉnh là I [3; -1], đi qua các điểm A [2; 0], B[4; 0].

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

b] Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có

Với m < -1 đường thẳng y = m và parabol y = x2 - 6x + 8 không cắt nhau.

Với m = -1 đường thẳng y = m và parabol y = x2 - 6x + 8 cắt nhau tại một điểm [tiếp xúc].

Với m > -1 đường thẳng y = m và parabol y = x2 - 6x + 8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Quảng cáo

c] Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi x ∈ [-∞;2] ∪ [4; +∞].

d] Ta có y[-1] = 15; y[5] = 13; y[3] = -1, kết hợp với đồ thị hàm số suy ra

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

ham-so-bac-nhat-va-bac-hai.jsp

Lý thuyết hàm số bậc 2

Lý thuyết hàm số bậc 2

1. Định nghĩa hàm số bậc 2

Hàm số bậc hai là hàm số có công thức: $\displaystyle y=ax_{{}}^{2}+bx+c$ [ với a ≠ 0]
Tập xác định [TXĐ]: D = R.

2. Tính biến thiêncủa hàm số bậc 2

Bảng biến thiên của hàm số:
a > 0 hàm số nghịch biến trên $\displaystyle \left[ {-\infty ;-\frac{b}{{2a}}} \right]$ và đồng biến trên khoảng $\displaystyle \left[ {-\frac{b}{{2a}};+\infty } \right]$

a < 0 hàm số đồng biến trên $\displaystyle \left[ {-\infty ;-\frac{b}{{2a}}} \right]$ và nghịch biến trên khoảng $\displaystyle \left[ {-\frac{b}{{2a}};+\infty } \right]$

Đồ thị hàm số $\displaystyle y=ax_{{}}^{2}+bx+c$ là một đường parabol [P] có:
Tọa độ đỉnh I $\displaystyle \left[ {\frac{{-b}}{{2a}};f\left[ {\frac{{-b}}{{2a}}} \right]} \right]$
với $\displaystyle {f\left[ {\frac{{-b}}{{2a}}} \right]}$ = $\displaystyle \frac{{-\Delta }}{{4a}}$
Trục đối xứng : x = $\displaystyle \frac{{-b}}{{2a}}$

Parabol [P] quay bề lõm lên trên nếu a > 0, parabol [P] quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0 . Dựa vào bảng biến thiên ta có thể hình dung được hình dáng của đồ thị.

Đại số, Toán lớp 10 - Tags: biến thiên, đại số 10, đồ thị, hàm số, lý thuyết

• Lý thuyết đường tiệm cận

• Lý thuyết các phép toán tập hợp

• Lý thuyết quy tắc điểm: quy tắc cộng, quy tắc nhân

• Lý thuyết giải các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp

• Lý thuyết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

• Kiến thức lượng giác cơ bản lớp 11

• Tổng hợp lý thuyết về mệnh đề

Khảo sát sự biến thiên của hàm số cùng với các dạng toán khác trong chương trình toán lớp 10 là các chủ đề không thể bỏ qua trong kỳ thi đại học
Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax$^2$ + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.
Nhận xét rằng: ax$^2$ + bx + c = a$\left[ {{x^2} + 2x.\frac{b}{{2a}} + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right]$-$\frac{{{b^2}}}{{4a}}$+ c =${\left[ {x + \frac{b}{{2a}}} \right]^2}$-$\frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}$.

Từ đó, nếu đặt: Δ = b$^2$ - 4ac, p = -$\frac{b}{{2a}}$ và q = - $\frac{\Delta }{{4a}}$ thì hàm số y = ax$^2$ + bx + c có dạng y = a[x - p]$^2$ + q.

Như vậy, nếu gọi [P$_0$]: y = ax$^2$ thì để có được đồ thị của parabol y = ax$^2$ + bx + c ta tịnh tiến hai lần như sau:

1. Tịnh tiến [P$_0$] sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái |p| đơn vị nếu p < 0, ta nhận được đồ thị hàm số y = a[x - p]$^2$ gọi là [P1].
2. Tịnh tiến [P1] lên trên q đơn vị nếu q > 0, xuống dưới |q| đơn vị nếu q < 0, ta nhận được đồ thị hàm số y = ax$^2$ + bx + c.

Đồ thị hàm số bậc hai: đồ thị của hàm số là một Parabol [P] có đỉnh S[-$\frac{b}{{2a}}$, -$\frac{\Delta }{{4a}}$] và nhận đường thẳng x = -$\frac{b}{{2a}}$ làm trục đối xứng và:

• Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0.
• Hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0.

Từ đồ thị hàm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên:

Vậy, ta có kết luận:

• Hàm số nghịch biến trên khoảng [-∞; -$\frac{b}{{2a}}$].
• Hàm số đồng biến trên khoảng [-$\frac{b}{{2a}}$; +∞].
• Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực tiểu y$_{min}$=f[-$\frac{b}{{2a}}$]=-$\frac{\Delta }{{4a}}$ Vậy, ta có kết luận:

o Hàm số đồng biến trên khoảng [-∞;-$\frac{b}{{2a}}$]. o Hàm số nghịch biến trên khoảng [-$\frac{b}{{2a}}$; +∞]. o Khi x= $ - \frac{b}{{2a}}$ hàm số đạt cực đại y$_{max}$==f[-$\frac{b}{{2a}}$]=-$\frac{\Delta }{{4a}}$ Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số y = ax$^2$ mà thực hiện như sau:

• Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S.
• Nối ASB để được một góc rồi thực hiện vẽ đường cong parabol lựon theo đường góc này.

Ta có các trường hợp:

*Nhận xét chung:

• Δ > 0 Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
• Δ = 0 Parabol tiếp xúc với trục hoành.
• Δ < 0 Parabol không cắt trục hoành.

II. Ví dụ vận dụng

Thí dụ 1. Cho hàm số y = f[x] = x$^2$ - 4x + 2. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b. Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được đồ thị hàm số y = x$^2$ - 2.

c. Giải thích tại sao với mỗi giá trị của m thì các phương trình x$^2$ - 4x + 2 = m và x$^2$ - 2 = m đều có cùng số nghiệm.a. Ta lần lượt tính: -$\frac{b}{{2a}}$ = 2 và - $\frac{\Delta }{{4a}}$ = - 2.

Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S[2, -2], nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A[0, 2], B[4, 2]. b. Giả sử: y = x$^2$ - 2 = f[x + a] x$^2$ - 2 = [x + a]$^2$ - 4[x + a] + 2 = x$^2$ + [2a - 4]x + a$^2$ - 4a + 2. Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}1 = 1\\0 = 2a - 4\\ - 2 = {a^2} - 4a + 2\end{array} \right.$ a = 2. Vậy, ta được y = x$^2$ - 2 = f[x + 2]. Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f[x] sang trái 2 đơn vị. c. Vì số nghiệm của mỗi phương trình đúng bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị của các hàm số y = x$^2$ - 4x + 2 và y = x$^2$ - 2, do đó chúng đều có cùng số nghiệm.

Thí dụ 2. Cho hai hàm số [P1] và [P2], biết: [P1]: y = -x$^2$ + 2x + 3, [P1]: y = $\frac{1}{2}$x$^2$ - 4x + 3.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hai hàm số [P1] và [P2] trên cùng một hệ trục toạ độ. b. Tìm m để đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ.a. Ta có bảng sau:

Đồ thị: Hoành độ giao điểm của [P1] và [P2] là nghiệm phương trình: -x$^2$ + 2x + 3 = $\frac{1}{2}$x$^2$ - 4x + 3 3x$^2$ - 12x = 0 3x[x - 4] = 0 $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.$. Khi đó, toạ độ các giao điểm là: E[0, 3] và F[4, -5]. b. Từ đồ thị của [P1] và [P2], đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị -5 ≤ m ≤ 4.

Vậy, với -5 ≤ m ≤ 4 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thí dụ 3. Cho hàm số [Pm]: y = [1 + m]x$^2$ - 2[m - 1]x + m - 3.

a. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số với m = 0 [tương ứng là [P$_0$]]. Bằng đồ thị tìm x để y ≥ 0, y ≤ 0. b. Viết phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của [P$_0$] và giao điểm của [P$_0$] với Oy. c. Xác định m để [Pm] là Parabol. Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol [Pm] khi m thay đổi. d. Chứng tỏ rằng [Pm] luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định đó.a. Với m = 0 ta được [P$_0$]: y = x$^2$ + 2x - 3

Ta lần lượt tính: -$\frac{b}{{2a}}$ = -1 và - $\frac{\Delta }{{4a}}$ = -4. Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S[-1, -4], nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm trên đồ thị A[1, 0], B[-3, 0], C[0, -3]. Từ đồ thị suy ra: y ≤ 0 -3 ≤ x ≤ 1. b. Giả sử phương trình đường thẳng [d] có dạng: [d]: Ax + By + C = 0, A$^2$ + B$^2$ > 0. [1] Vì S[-1, -4] và C[0, -3] thuộc [d], ta được: $\left\{ \begin{array}{l} - A - 4B + C = 0\\ - 3B + C = 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} - A - 4B + 3B = 0\\C = 3B\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}A = - B\\C = 3B\end{array} \right.$. [I] Thay [I] vào [1], ta được: [d]: -Bx + By + 3B = 0 [d]: x - y - 3 = 0. c. Để [Pm] là Parabol điều kiện là: 1 + m ≠ 0 m ≠ -1, khi đó [Pm] có đỉnh Sm[$\frac{{m - 1}}{{m + 1}}$, $\frac{4}{{m + 1}}$]. Để nhận được phương trình quĩ tích đỉnh của Parabol [Pm] khi m thay đổi, ta thực hiện việc khử m từ hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{4}{{m + 1}}\end{array} \right.$ => $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{m - 1}}{{m + 1}}\\m = \frac{{4 - y}}{y}\end{array} \right.$ => x = $\frac{{\frac{{4 - y}}{y} - 1}}{{\frac{{4 - y}}{y} + 1}}$ 2x + y - 2 = 0. Vậy, quĩ tích đỉnh Sm là đường thẳng [Δ]: 2x + y - 2 = 0. d. Giả sử M[x$_0$; y$_0$] là điểm cố định mà [Pm] luôn đi qua, khi đó: y$_0$ = [1 + m]$x_0^2$ - 2[m - 1]x$_0$ + m - 3, với ∀m [$x_0^2$ - 2x$_0$ + 1]m + $x_0^2$ + 2x$_0$ - 3 - y$_0$ = 0, với ∀m $\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 2{x_0} + 1 = 0\\x_0^2 + 2{x_0} - 3 - {y_0} = 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 0\end{array} \right.$.

Vậy, họ [Pm] luôn đi qua điểm cố định M[1; 0].