Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng [sử dụng hình chiếu] hay, chi tiết
Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng [α] thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên [α]
Cho trước SA Δ; trong đó S [α] và Δ [α]
Bước 1: Dựng AK Δ Δ [SAK] [α] [SAK] và [α] [SAK] = SK
Bước 2: Dựng AP SK AP [α] d[A, [α]] = AP
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng [P] cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng [P] lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến [SBC] bằng
Hướng dẫn giải
- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM
- Ta có BC AM [ trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao]. Và BC SA [ vì SA vuông góc với [ABC]]. Nên BC [SAM] BC AH
Mà AH SM, do đó AH [SBC]
Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA [ABCD], đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến [SCD] bằng:
Hướng dẫn giải
SA [ABCD] nên SA CD, AD CD
Suy ra [SAD] CD
Trong [ SAD] kẻ AH vuông góc SD tại H
Khi đó AH [SCD]
Chọn đáp án C
Ví dụ 3: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến [ABC] bằng :
A. 2aB. a3 C. aD. a5
Hướng dẫn giải
+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO [ABC]
Chọn đáp án C
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a3, AB = a3 . Khoảng cách từ A đến [SBC] bằng:
Hướng dẫn giải
Chọn D
Kẻ AH SB
Ta có:
Lại có: AH SB nên AH [SBC]
d[A; [SBC]] = AH
Trong tam giác vuông SAB ta có:
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA [ABCD] , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến [SCD] bằng:
Hướng dẫn giải
Chọn C
Kẻ AH SD
Ta có:
Lại có; AH vuông góc SD [2]
Từ [1]; [2] AH [SCD] và d[A, [SCD]] = AH
Trong tam giác vuông SAD ta có:
Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:
Hướng dẫn giải
Chọn C
+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra: OA = OB = OC [do tam giác ABC là tam giác đều]
Lại có: SA = SB = SC [vì S.ABC là hình chóp đều]
SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO [ABC] và SO = a3
+ Gọi M là trung điểm của BC
Kẻ OH SM, ta có
nên suy ra d[O; [SBC]] = OH.
Ta có: OM = [1/3].AM = [a3]/3
Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến [BCD] bằng:
Chọn B
Gọi O là trọng tâm tam giác BCD
OB = OC = OD [do tam giác BCD là tam giác đều]
Lại có: AB = AC = AD = a
AO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
AO [BCD]
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy [ABCD] và SO = 3a/4. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng [SBC] là:
Chọn C
+ Trong mặt phẳng [ ABCD], kẻ OK BC [K BC]
+ Mà BC SO nên suy ra hai mặt phẳng [SOK] và [SBC] vuông góc nhau theo giao tuyến SK.
+ Trong mặt phẳng [SOK], kẻ OH SK [H SK]
Suy ra: OH [SBC] d[O, [SBC]] = OH
+ Xét mp[ABCD] có:
+ xét tam giác SOK vuông tại O ta có:
Câu 3: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D. Đường cao DM của tam giác ABD bằng 12 cm. Khoảng cách từ D đến [ABC] bằng
A. 33 cmB. 63 cmC. 6 cmD. 62 cm
+ Gọi M là trung điểm AB.
Do tam giác ABC cân tại C và tam giác ABD cân tại D nên CM AB; DM AB suy ra: AB [CDM]
+ Do hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60° nên CMD = 60°
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên CM
DH = d[D, [ABC]]
Xét tam giác DHM có:
DH = DM.Sin 60° = 63
Chọn đáp án B
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Khoảng cách từ A đến [BCD] bằng
Ta có: AB = AC = AD = BD = BC = CD = a2
Tứ diện ABCD là tứ diện đều.
Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác BCD.
Ta có : AC = AD = AB và GB = GC = GD
nên AG [B'CD']
Khi đó ta có: d[A , [BCD]] = AG
Vì tam giác BCD đều cạnh a2 nên
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Trong tam giác vuông AGD có:
Chọn C
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy [ABC] .
Gọi H là hình chiếu của S lên [ABC] , vì mặt bên [SBC] vuông góc với [ABC] nên H BC
Dựng HI AB, HJ AC, theo đề bài ta có SIH = SJH = 45°.
Do đó: ΔSHI = ΔSHJ [cạnh góc vuông - góc nhọn]
Suy ra : HI = HJ
Lại có B = C = 45° ΔBIH = ΔCJH HB = HC
Vậy H trùng với trung điểm của BC
Từ đó ta có HI là đường trung bình của tam giác ABC nên HI = AC/2 = a/2
Tam giác SHI vuông tại H và có SIH = 45° ΔSHI vuông cân.
Do đó: SH = HI = a/2
Chọn đáp án A
Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b cạnh đáy bằng d, với d < b3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.
Gọi I là trung điểm của BC và H là trọng tâm tam giác ABC.
Do S.ABC là hình chóp đều nên SH [ABC] d[S, [ABC]] = SH
Chọn C
Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A1 đến mặt phẳng [C1D1M] bằng bao nhiêu?
Gọi N là trung điểm cạnh DD1 và
Ta có: ΔA1ND1 = ΔD1MD [c.g.c]
Chọn đáp án A
Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng [ABC] bằng:
A. 4aB. 3aC. aD. 2a
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Do S.ABC là hình chóp đều nên SG [ABC]
Tam giác SAG vuông tại G có:
Chọn đáp án C
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:
Chọn B
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và M là trung điểm của CD
Do hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO [ABCD]
Kẻ OH SM, ta có:
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc BAD = 120°, đường cao SO = a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng [SBC].
Vì hình thoi ABCD có BAD bằng 120° nên ABC = 60°
tam giác ABC đều cạnh a.
Kẻ đường cao AM của tam giác ABC AM = a3/2
Kẻ OI BC tại I OI = AM/2 = a3/4 .
Kẻ OH SI OH [SBC]
d[O; [SBC]] = OH
Xét tam giác vuông SOI ta có:
Chọn D
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng [ABCD] là trọng tâm G của tam giác ABD, ASC = 90°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SBD] tính theo a bằng
Xác định khoảng cách:
- Ta có đáy ABCD là hình thoi, góc ABC = 120° nên ABD = 60° và tam giác ABD đều cạnh a
Ta có: AC = a3, AG = a3/3
Tam giác SAC vuông ở S, có đường cao SG nên
Xét hình chóp S. ABD có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên SA = SB = SD = a.
- Dựng hình chiếu của A lên mặt phẳng [SBD]: Kẻ đường cao AH của tam giác SAO với O là tâm của hình thoi.
AH = a6/3
Cách khác: Nhận xét tứ diện S.ABD có tất cả các cạnh bằng a. Do đó S.ABD là tứ diện đều, vậy AH = SG = a6/3
Chọn đáp án D
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD]; SC tạo với mặt phẳng [SAB] một góc 30°. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SCM]?
+ Ta có:
Khi đó; SC tạo với mặt phẳng [SAB] góc 30° nên CSB = 30°
+ Xác định khoảng cách: d[A; [SBC]] = AH
Tính AH:
Chọn đáp án B
Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABCD] là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA = 23.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30°. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng [SBC] tính theo a bằng
+ SC có hình chiếu vuông góc lên mp[ABCD] là HC [SC, [ABCD]] = SCH = 30°
Đặt AD = 4x [x > 0]
Xét tam giác SAD vuông tại S ta có:
Chọn D
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng [SAC] là
Chọn A
+ Do góc giữa SA và mp[ABC] là 60° nên SAH = 60°
+ Ta có; CI = CA.sin60° = [a3]/2; AI = AB/2 = a/2
Trong tam giác ACI có trung tuyến AH suy ra
Trong tam giác SHA vuông tại H và SAH = 60° suy ra SH = AH 3 = a21/4
Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SE. Khi đó d[H; [SAC]] = HF
Ta có:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi