1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2009 I. Đường thẳng 1. Phương trình đường thẳng a] Các định nghĩa • Vectơ [];nABGkhác vectơ 0G và có giá vuông góc với đường thẳng []dđược gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng []d • Vectơ [];uabGkhác vectơ 0G có giá song song hoặc trùng với [ ]dđược gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng []d Nếu 0a ≠ thì bka= được gọi là hệ số góc của đường thẳng [ ]d • Chú ý: - Các vectơ pháp tuyến [vectơ chỉ phương] của một đường thẳng thì cùng phương. Nếu [];nABG là vectơ pháp tuyến của []dthì [ ].;k n kA kB=G cũng là vectơ pháp tuyến của [ ]d - Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì vuông góc nhau. Nếu [];nABG là vectơ pháp tuyến thì [ ];uB A−G là vectơ chỉ phương. b] Các dạng phương trình • Phương trình tổng quát của đường thẳng [ ]d đi qua điểm [ ]00;Mxy có vectơ pháp tuyến [];nABG là: [] [ ] [ ][]0000:00dAxxByyAx By C C Ax By−+ −=⇔++= =−− Nhận xét: Phương trình đường thẳng []1dsong song với []d có dạng: [ ]1:0dAxByC′++= Phương trình đường thẳng []2dvuông góc với [ ]dcó dạng [ ]2:0dBxAyC′′−+= Phương trình đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm [ ]00;Axylà: []00ykxx y=−+ Phương trình đường thẳng đi qua [ ] [ ];0 , 0;Aa B b là: []:1xyABab+ = [phương trình đoạn chắn] • Phương trình tham số của đường thẳng []dđi qua [ ]00;Nx y có vectơ chỉ phương [ ];uabG là: []00:xxatdyybt=+⎧⎨=+⎩ [ t là tham số] MATHVN.COM - www.mathvn.com 2• Phương trình chính tắc của đường thẳng [ ]d đi qua [ ]00;Nx y có vectơ chỉ phương [ ];uabG [],0ab≠ là: 00xxyyab−−= c] Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng []11 1 1:0dAxByC++= và [ ]22 2 2:0dAxByC+ +=. Khi đó số giao điểm của []1d và []2d là số nghiệm của hệ phương trình: []11 122 20:0Ax By CIAx By C+ +=⎧⎨+ +=⎩ Trong trường hợp []1d và []2d cắt nhau thì nghiệm của [ ]I chính là tọa độ của giao điểm. 2. Khoảng cách và góc a] Khoảng cách • Cho đường thẳng []:0Ax By CΔ++= và điểm [ ]00;Axy. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng []d là: []00/22AAx By CdABΔ+ +=+ • Cho hai đường thẳng []11 1:0Ax By CΔ++= và [ ]22 2 2:0Ax By CΔ ++= cắt nhau tại A. Khi đó phương trình hai đường phân giác của góc A là: []11 12 2 2122 2211 22:0Ax By C Ax B y CdAB AB++ +++=++ và []11 12 2 2222 2211 22:0Ax By C Ax B y CdAB AB+ +++− =++ b] Góc Hai đường thẳng []1d và []2d cắt nhau tại A tạo ra 4 góc, góc nhỏ nhất trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng [ ]1d và [ ]2d. Nếu 12//dd thì góc giữa hai được thẳng là 0o. Gọi α là góc giữa []1d và []2d , β là góc giữa hai vectơ chỉ phương []111;uabJG và [ ]222;uabJJG. Khi đó: Nếu 090oo≤β≤ thì α=β Nếu 90 180oo. Khi đó tâm [],I ab−− và bán kính 22Rabc=+− b] Cách viết phương trình tiếp tuyến Cho đường tròn [][ ] [ ]222:Cxa yb R−+−= • Tiếp tuyến tại một điểm []00;Ax ylà phương trình đường thẳng qua A có vectơ pháp tuyến là: []00;IAxayb=− −JJG nên có phương trình: [ ][ ][ ][ ]00000xaxx ybyy− −+− −= • Tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm [ ]00;Px y nằm ngoài đường tròn là đường thẳng qua P và cách [];I ab một khoảng bằng bán kính R. [đã biết cách viết] c] Một vài tính chất của đường tròn. Điều kiện tiếp xúc Điều kiện tiếp xúc của đường tròn [][ ] [ ]222:Cxa yb R− +− = với đường thẳng []:0Ax By CΔ++= là : /22IaA bB CdR RABΔ++= ⇔=+ Đặt biệt: + Khi OxΔ≡ thì bR= + Khi OyΔ≡ thì aR= Điều kiện để đường tròn []11;I R và đường tròn [ ]22;I R tiếp xúc ngoài là 12 1 2IIRR= + Điều kiện để đường tròn []11;I R và đường tròn [ ]22;I R tiếp xúc trong là 12 1 2I IRR=− Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến Nếu PA, PB là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính R [A, B là hai tiếp điểm] thì + PA PB= + IP là đường trung trực của AB Cho AB là dây cung của đường tròn và M là trung điểm của AB thì IMAB⊥ và 224ABIM R=− MATHVN.COM - www.mathvn.com 82. Bài tập về đường tròn a] Viết phương trình đường tròn khi biết một số yếu tố. Trong phần này để viết phương trình đường tròn ta cần xác định tọa độ tâm và độ dài bán kính của đường tròn. Ta thường gọi [ ],I ab là tâm, bán kính R. Từ những điều kiện đã cho thiết lập phương trình, hệ phương trình có ẩn là ,,abR. Chú ý đến các điều kiện tiếp xúc. Bài 1. a] Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A[0;1], B[2;-2] và có tâm nằm trên đường thẳng []:20dxy−−= b] Viết phương trình đường tròn đi qua A[0;1] và B[2;-3] và có bán kính R = 5. c] Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ, có bán kính 5R = và có tâm nằm trên đường thẳng []:10dxy+−= Bài 2. a] Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng [ ]1:3410dxy−+=, []2:4 3 7 0dxy++= và đi qua điểm A[2;3]. b] Viết phương trình đường tròn bán kính 5R =, đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với đường thẳng []:2 5 0dxy−+=. c] Viết phương trình đường tròn đi qua A[3;2], B[1;4] và tiếp xúc với trụcOx. Bài 3 Trong mặt với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho đường tròn: [][ ] [ ]22:1 24Cx y−+− = và đường thẳng [ ]:10dxy− −=. Viết phương trình đường tròn []C′đối xứng với [ ]C qua đường thẳng[]d. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường tròn. Bài 4 [B – 2005] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm []2; 0A và [ ]6; 4B. Viết phương trình đường tròn []Ctiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của [ ]C đến điểm B bằng 5. Bài 5 [A – 2007] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có [][ ]0; 2 , 2; 2AB− − và []4; 2C−. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng [] []12:230 :4350dx y d xy−+= +−= Lập phương trình đường tròn có tâm I trên [ ]1d tiếp xúc với [ ]2d và có bán kính 2R= Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: [] []22 2212:16 :20Cxy Cxy x+= +−= Lập phương trình đường tròn []C có tâm [ ]2,I a tiếp xúc trong với [ ]1C và tiếp xúc ngoài với []2C MATHVN.COM - www.mathvn.com 9Bài 8 . Cho đường tròn [][ ] [ ]22:1 25Cx y−+− =. a] Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua điểm []2;1B− b] Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc trục tung có bán kính bằng hai lần bán kính của []C và tiếp xúc ngoài với []C Bài 9 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm []4; 2A Bài 10 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc trục tung và tiếp xúc với hai đường thăng []1:240dx y−+= và []2:2 4 0dxy−−= b] Viết phương trình tiếp tuyến, cát tuyến Bài 1. Cho đường tròn có phương trình [][]22234xy− +− =. a] Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm thuộc đường tròn và có hoành độ x = 1. b] Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua gốc tọa độ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm. c] Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng []:10dxy+ −=. Bài 2. Cho đường tròn [][ ]221325xy−++ =. [ C] a] Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn theo một dây có độ dài bằng 8. b] Viết phương trình đường thẳng qua qua điểm A[-4;0] cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích là254. Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [][ ] [ ]22:1 29Cx y− ++ = và đường thẳng []:3 4 1 0dxy−+=. Tìm điểm P trên đường thẳng [ ]d sao cho có thể vẽ được hai tiếp tuyến đến đường tròn là ,PA PB [A, B là hai tiếp điểm] mà tam giác PAB: 1. Tam giác đều 2. Tam giác vuông tại P Bài 4. Trong mặt phẳng tọa Oxy, cho đường tròn [][ ]22:3 5Cx y− += và hai điểm []51; 1 , 2;2AM⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠. a] Tìm trên đường tròn hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. b] Viết phương trình đường thẳng [ ]Δ qua M sao cho cắt đường tròn tại hai điểm ,EFmàn60oEAF = Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [ ]22:22100Cx y y y+ −+−= và điểm []1;1M. Lập phương trình đường thẳng qua Mcắt [ ]C tại ,AB sao cho 2MAMB=. MATHVN.COM - www.mathvn.com 10Bài 6 [D – 2007] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn [][ ] [ ]22:1 29Cx y−++ = và đường thẳng []:3 4 0dxym−+=. Tìm m để trên []dcó duy nhất một điểm P mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến PA, PB tới []C [A, B là các tiếp điểm] sao cho tam giác PAB đều. Bài 7 [B – 2006] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [ ]22:2660Cx y x y+−−+= và điểm []3;1M−. Gọi 12,TT lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến [ ]C. Viết phương trình đường thẳng 12TT. c] Các bài toán khác. Bài 1 . Cho đường tròn có phương trình [][]222215xy− +− = và đường thẳng [] [ ]:43dykx=++. a] Chứng minh rằng đường thẳng []d luôn đi qua một điểm cố định b] Tìm k để đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ,AB. c] Khi đường thẳng cắt đường tròn tại,AB. Chứng minh trung điểm I của AB thuộc 1 đường cố định, viết phương trình đường cố định đó. Bài 2 Cho đường tròn []C có phương trình [][]225425xy− +− =. [ ];0Pm là một điểm thay đổi trên trục hoành a] Tìm m để từ P kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn [ ]C b] Với điều kiện của câu a, giả sử hai tiếp tuyến đó là ,PA PB [A,B là hai tiếp điểm]. Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên trục hoành, tìm tọa độ điểm cố định đó. Bài 3. Cho ba điểm [][][ ]2; 4 , 1; 5 , 6; 4ABC−− −. a] Viết phương trình đường tròn [C] đi qua ba điểm ,,ABC. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn vừa tìm được. b] Viết phương trình đường tròn đi qua I và O cắt [ C] tại hai điểm D, E sao cho tam giác IDE có diện tích lớn nhất. MATHVN.COM - www.mathvn.com