Trong toán học và khoa học máy tính, hàm floor và ceiling là các quy tắc cho tương ứng một số thực vào một số nguyên gần nhất bên trái và bên phải số đã cho.
Vậy floor[x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, còn ceiling[x] là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn x.
Các hàm Floor và ceiling
Hàm Floor
Hàm Ceiling
Gauss giới thiệu cặp ngoặc vuông [x] cho hàm floor trong tương hỗ bậc hai [1808].[1] Nó vẫn là ký hiệu tiêu chuẩn[2] trong toán học cho đến khi Iverson giới thiệu các hàm "floor" và "ceiling" với các ký hiệu ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } và ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } vào năm 1962 trong ngôn ngữ lập trình APL của ông ấy.[3][4] Bây giờ cả hai cách ký hiệu vẫn đang được dùng trong toán học.
Ví dụ
| −3 | −2 | 0.3 |
| −2 | −2 | 0 |
| 2 | 3 | 2/5 = 0.4 |
| 2 | 3 | 0.7 |
Đọc phần bên dưới để biết thêm về định nghĩa phần lẻ.
Trong những công thức dưới đây x và y là các số thực, k, m, và n là các số nguyên, và Z {\displaystyle \mathbb {Z} } là tập hợp số nguyên [số dương, số âm, và không].
Floor và ceiling có thể được định nghĩa bằng tập hợp như sau
⌊ x ⌋ = max { n ∈ Z ∣ n ≤ x } , {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\},} ⌈ x ⌉ = min { n ∈ Z ∣ n ≥ x } . {\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}Trong nửa khoảng có độ dài bằng một có duy nhất một số nguyên, vậy với số thực x tùy ý, có duy nhất cặp m, n thỏa mãn:
x − 1 < m ≤ x ≤ n < x + 1. {\displaystyle x-1 n.Beatty sequence
Beatty sequence shows how every positive irrational number gives rise to a partition of the natural numbers into two sequences via the floor function.[14]
Hằng số Euler γ
Đây là những công thức cho Hằng số Euler γ = 0.57721 56649... chứa các hàm floor và ceiling, e.g.[15]
γ = ∫ 1 ∞ [ 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ] d x , {\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left[{1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right]\,dx,} γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n [ ⌈ n k ⌉ − n k ] , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left[\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right],}và
γ = ∑ k = 2 ∞ [ − 1 ] k ⌊ log 2 k ⌋ k = 1 2 − 1 3 + 2 [ 1 4 − 1 5 + 1 6 − 1 7 ] + 3 [ 1 8 − ⋯ − 1 15 ] + … {\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }[-1]^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left[{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right]+3\left[{\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right]+\dots }Hàm Riemann ζ
Các công thức cho số nguyên tố
n là số nguyên tố khi và chỉ khi[16]
∑ m = 1 ∞ [ ⌊ n m ⌋ − ⌊ n − 1 m ⌋ ] = 2. {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left[\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right]=2.}r là số nguyên lớn hơn 1, pn là số nguyên tố thứ n, ký hiệu
α = ∑ m = 1 ∞ p m r − m 2 . {\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}Thì[17]
p n = ⌊ r n 2 α ⌋ − r 2 n − 1 ⌊ r [ n − 1 ] 2 α ⌋ . {\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{[n-1]^{2}}\alpha \right\rfloor .}Có số θ = 1.3064... với tính chất
⌊ θ 3 ⌋ , ⌊ θ 9 ⌋ , ⌊ θ 27 ⌋ , … {\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }đều là số nguyên tố.[18]
Cũng có thêm số ω = 1.9287800... mà
⌊ 2 ω ⌋ , ⌊ 2 2 ω ⌋ , ⌊ 2 2 2 ω ⌋ , … {\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }đều nguyên tố.[18]
π[x] là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x. Nó được suy luận từ Định lý Wilson[19]
Nếu n ≥ 2,[20]
π [ n ] = ∑ j = 2 n ⌊ 1 ∑ k = 2 j ⌊ ⌊ j k ⌋ k j ⌋ ⌋ . {\displaystyle \pi [n]=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}Không công thức nào trên đây ứng dụng thực tế.
Vấn đề đã giải quyết
Ramanujan đã gửi các bài toán sau đây đến Journal of the Indian Mathematical Society.[21]
Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
⌊ n 3 ⌋ + ⌊ n + 2 6 ⌋ + ⌊ n + 4 6 ⌋ = ⌊ n 2 ⌋ + ⌊ n + 3 6 ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,} ⌊ 1 2 + n + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 2 + n + 1 4 ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,} ⌊ n + n + 1 ⌋ = ⌊ 4 n + 2 ⌋ . {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}Vấn đề chưa giải quyết
Có số nguyên dương k nào thỏa mãn, k ≥ 6, mà:[22]
3 k − 2 k ⌊ [ 3 2 ] k ⌋ > 2 k − ⌊ [ 3 2 ] k ⌋ − 2 ? {\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left[{\tfrac {3}{2}}\right]^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left[{\tfrac {3}{2}}\right]^{k}\right\rfloor -2\;\;?}Mahler[23] đã chứng minh chỉ có hữu hạn số k như vậy; tuy nhiên người ta vẫn chưa biết số nào như vậy.
- Hàm số nguyên gần nhất.
- Truncation, một hàm tương tự.
- Step function.
- ^ Lemmermeyer, pp. 10, 23
- ^ e.g. Cassels, Hardy & Wright, and Ribenboim use Gauss's notation, Graham, Knuth & Patashnik, and Crandall & Pomerance use Iverson's
- ^ Higham, p. 25
- ^ Iverson
- ^ Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3.12
- ^ Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70
- ^ Lemmermeyer, § 1.4, Ex. 1.32–1.33
- ^ Hardy & Wright, §§ 6.11–6.13
- ^ Lemmermeyer, p. 25
- ^ Hardy & Wright, Th. 416
- ^ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
- ^ These formulas are from the Wikipedia article Euler's constant, which has many more.
- ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46
- ^ Hardy & Wright, § 22.3
- ^ a b Ribenboim, p. 186
- ^ Ribenboim, p. 181
- ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, p. 46
- ^ Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
- ^ Hardy & Wright, p. 337
- ^ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II, 1957, Mathematika, 4, pages 122-124
- J.W.S. Cassels [1957]. An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press.
- Crandall, Richard; Pomeramce, Carl [2001], Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-04777-9 Kiểm tra giá trị |isbn=: giá trị tổng kiểm [trợ giúp]
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren [1994], Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. [1980], An Introduction to the Theory of Numbers [Fifth edition], Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715
- Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
- ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999[E]: Programming languages — C [2nd ed], 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
- Iverson, Kenneth E. [1962], A Programming Language, Wiley
- Lemmermeyer, Franz [2000], Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66967-4 Kiểm tra giá trị |isbn=: giá trị tổng kiểm [trợ giúp]
- Ramanujan, Srinivasa [2000], Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820766
- Ribenboim, Paulo [1996], The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
- Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
- Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ["Roger"] [1986], The Theory of the Riemann Zeta-function [ấn bản 2], Oxford: Oxford U. P., ISBN 0-19-853369-1
- Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 10/24/2008
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Phần_nguyên&oldid=63124632”