Nội Dung Chính
- Tập hợp và các phép toán tập hợp
- 1. Khái niệm tập hợp
- Các xác định một tập hợp, cách cho tập hợp
- Tập con của một tập hợp
- 2. Các phép toán trên tập hợp
- 1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp và các phép toán tập hợp
Bài này giới thiệt Lý thuyết tập hợp [tập hợp là gì, tập hợp con là gì] và các phép toán tập hợp [các phép toán hợp của hai tập hợp, giao của hai tập hợp, hiệu của hai tập hợp. Bài tập các em có thể tham khảo trong bài viếtBài tập Tập hợp Toán 10
1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Ta hiểu rằng, một tập hợp là một nhóm, một sự tụ tập các phần tử [đối tượng] có chung tính chất nào đó, như tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các số thực, tập hợp các học sinh trong một lớp, tập các hình tứ giác, tập hợp các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh Tập hợp thường kí hiệu bằng chữ cái in hoa. Ví dụ, tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là $ \mathbb{N}, $ tập hợp các số thực kí hiệu là $ \mathbb{R} $
Mỗi một tập hợp thì gồm có các phần tử, ví dụ tập hợp các số tự nhiên $ \mathbb{N} $ thì gồm có các phần tử: $ 1,2,3,4, $ Ta thấy số 1 nằm trong tập $ \mathbb{N}, $ khi đó ta nói, 1 là một phần tử của tập $ \mathbb{N} $ hoặc 1 thuộc tập $ \mathbb{N} $ và viết là $ 1\in \mathbb{N}; $ nhưng số $ -2 $ không nằm trong $ \mathbb{N}, $ nên ta nói $ -2 $ không thuộc $ \mathbb{N} $ hoặc $ -2 $ không là phần tử của $ \mathbb{N} $ và viết là $ -2\notin \mathbb{N}. $
Tổng quát, để nói $ a $ là phần tử của tập hợp $ X $ ta viết $ a\in X$, $a $ không là phần tử của tập hợp $ X $ ta viết $ a\notin X.$
Các xác định một tập hợp, cách cho tập hợp
Tập hợp được hoàn toàn xác định bởi các phần tử của nó, mỗi phần tử chỉ được kể tên một lần, thứ tự các phần tử là không quan trọng, ví dụ $ \{1,2,3\} $ và $ \{3,1,2\} $ là cùng một tập hợp. Một tập hợp được hoàn toàn xác định nếu ta liệt kê được tất cả các phần tử của nó, hoặc mô tả được các phần tử của nó có đặc điểm, tính chất gì.
- Liệt kê các phần tử của tập hợp. Nếu ta biết rõ các phần tử của một tập hợp thì ta có thể liệt kê chúng, đặt trong cặp ngoặc nhọn. Chẳng hạn, tập hợp $ S $ các nghiệm của phương trình $ x^2-3x+2=0 $ là $ S=\{1;2\} $, tập hợp $ P $ gồm các ước dương của 12 là $ P=\{1;2;3;4;6;12\} $. Khi các phần tử của một tập hợp quá nhiều, ta không thể viết hết ra được thì có thể dùng dấu ba chấm, chẳng hạn, tập hợp $ A $ các số tự nhiên lẻ bé hơn 1000 là $ A=\{1;3;5;;997;999\} $.
- Mô tả tính chất đặc trưng của tập hợp. Đôi khi, ta có thể viết một tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của nó, chẳng hạn tập hợp $ S $ các nghiệm của phương trình $ x^2-3x+2=0 $ có thể viết $ S=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-3x+2=0 $, tập hợp $ A $ các số tự nhiên lẻ bé hơn $1000$ là $ A=\{n\in \mathbb{N} \mid n=2k+1,k\in \mathbb{N},0\leqslant k\leqslant 448\}. $ Kí hiệu là $ \mid $ đọc là sao cho, đôi khi còn được kí hiệu bằng dấu hai chấm.
Chú ý:
- Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, chúng ta không cần quan tâm đến thứ tự của chúng. Tập $A$ gồm ba phần tử $1,2,3$ có thể viết là $A=\{1,2,3\}$ hoặc $A=\{1,3,2\}$ đều được.\
- Mỗi một phần tử của tập hợp chỉ được liệt kê một lần.
Ví dụ 1. Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó:
- $ A= \left\{x\in \mathbb{Z}, -3