ĐẠI SỐ CƠ BẢN
[ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC]
Bài 17. Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính
PGS TS Mỵ Vinh Quang
Đại Học Sư Phạm Hồ Chí Minh
Ngày 10 tháng 3 năm 2006
- Ôn THi Ðại Số Của Thầy Mỵ Vinh Quang
- Mở Đầu
- Bài 2 : Các Phuong Pháp Tính Ðịnh Thức Cấp n
- Bài 3 : Giải Bài Tập Ðịnh Thức
- Bài 4 : Hạng Của Ma Trận
- Bài 5: GIẢI BÀI TẬP HẠNG CỦA MA TRẬN
- Bài 6: MA TRẬN KHẢ NGHỊCH
- Bài 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
- Bài 8: Giả Bài Tập Về Ma Trận Khả Nghịch
- Bài 9: Giải Bài Tập Về Hệ Phương Trình Tuyến Tính
- ÐạI Số Cơ Bản
- bài 10: Không gian vecter
- Bài 11. Cơ Sở, Số Chiều Củaa Không Gian Vecter
- Bài 12: Không Gian Vecter con
- Bài 13. Bài tập về không gian vécto
- Bài 14. Bài tập về không gian vécto [tiếp theo]
- Bài 15: Ánh Xạ Tuyến Tính
- Bài 16. Vecto riêng - Giá trị riêng của ma trận
- Bài 17. Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính
- Bài 18. Không gian vecto Euclide
- Bài 19. Bài tập về không gian vécto Euclide
- Ðại Số Tuyến Tính
Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về ánh xạ tuyến tính , bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về ánh xạ tuyến tính thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!
1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
V→W từ không gian vecto V đến không gian vecto W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả mãn 2 tính chất sau:
+ f[x,y]=f[x]+f[y]
+f[kx]=kf[x]
∀ x, y∈V, ∀ k∈ R
Ví dụ: Cho R2→R3, Xét xem ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không
f[x,y]=[x+y, 0, 2x+2y]
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=[x1;y1] và y=[x2,y2]
– f[x+y]=[x1 + x2, y1 + y2]
=[x1 + x2 + y1 + y2,0, 2x1 + 2x2 + 2y1 + 2y2]
= [x1+y1, 0, 2x1 + 2y1 ]+[x2,+y2 , 0, 2x2 +y2 ]
= f[x]+f[y]
-f [kx] = f [kx 1 , ky 1 ]
= [kx 1 + ky 1 , 0, 2kx 1 + 2ky 1 ]
= k [x 1 + y 1, 0, 2x 1 + 2y 1 ]
= kf [x]
Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính
2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
V là không gian vecto với cơ sở S
W là không gian vecto với cơ sở T
Ma trận của f theo cơ sở S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f[s] theo cơ sở T
- Cách tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính
- Tìm ảnh f[s]
- Tìm toạ độ [f[s]]T
Ví dụ: Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R4
f [a, b, c] = [a + b + c, b, bc, a + c]
Giải
Có thể viết lại thành dạng cột:
Ví dụ: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R3→R2
f [a, b, c] = [b + c, 2a-c]
S = {u 1 [1,0,1], u 2 [4,3,3], u 3 [1,2,1]}
T = {[2,2], [1,7]}
Giải
Tìm ảnh f[s]:
f [u 1 ] = f [1,0,1] = [1,1]
f [u 2 ] = f [4,3,3] = [6,5]
f [u 3 ] = [1,2,1] = [3,1]
Tìm toạ độ [f[s]]T
Vậy ma trận S – T là:
Bài tập ánh xạ tuyến tính
1.Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?
f [x, y] = [x, y + 1]
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=[x1;y1] và y=[x2,y2]
– f [x + y] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2 ]
= [x 1 + x 2 , y 1 + y 2 + 1]
= [x 1 , y 1 +1] + [x 2 , y 2 ]
≠ f [x] + f [y]
Vậy ánh xạ đã cho không phải là ánh xạ tuyến tính
2.Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không?
f [x, y] = [y, y]
Giải
Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc R2: x=[x1;y1] và y=[x2,y2]
– f [x + y] = [y 1 + y 2 , y 1 + y 2 ]
= [y 1 + y 2 , y 1 + y 2 ]
= [y 1 + y 1 ] + [y 2 , y 2 ]
= f [x] + f [y]
-f [kx] = f [kx 1 , ky 1 ]
= [ky 1 , ky 1 ]
= k [y 1, y 1 ]
= kf [x]
Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính
3.Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R3
f [a, b, c] = [a + 2b + c, a + 5b, c]
Giải
Xem lại ví dụ ở ma trận của ánh xạ tuyến tính ta được ma trận chính tắc là:
4.Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f sau:
+ f [a, b] = [b, -a, a + 3b, a – b]
+ f [a, b, c, d] = [d, a, c, b, bc]
5.Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R2→R3
f [a, b] = [a + 2b, -a, 0]
S = {u 1 [1, 3], u 2 [-2, 4]}
T = {[1, 1, 1], [2, 2, 0], [3, 0, 0]}
Giải
Tìm ảnh f[s]:
f [u 1 ] = f [1,3] = [7, -1 ,0]
f [u 2 ] = f [-2, 4] = [6, 2, 0]
Tìm toạ độ [f[s]]T
Vậy ma trận S – T là:
6.Xét ánh xạ f: R2 -> R3
7.Cho ánh xạ f: P3[x] -> P2[x], p[x] -> p'[x]
Tải File bài tập có đáp án tại đây: //bit.ly/3OJXo61