Nếu biết đường thẳng Δ song song với mặt phẳng [P], để tình khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng ta có 2 cách:
- Cách 1: Sử dụng kiến thức hình học lớp 11 [bài này mình sẽ cập nhập ở bài sau]
- Cách 2: Sử dụng công thức
Công thức tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
Vì đường thẳng Δ // [P] nên khoảng cách từ 1 điểm bất kì tới [P] chính là khoảng cách từ Δ tới [P].
Giả thiết rằng điểm M[x0; y0; z0] và mặt phẳng [P] có phương trình ax + by + cz + d = 0. Khi này, khoảng cách từ Δ tới [P] được áp dụng theo công thức:
$d\left[ {\Delta ,\left[ P \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$
Một công thức khá đơn giản đúng không nào? Giờ chúng ta vào phần bài tập minh họa để áp dụng nhé
Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t\\ y = 1 + t\\ z = 3 – t \end{array} \right.$ và mặt phẳng [P]: x – 2y + 2z + 11 = 0
Lời giải
Ta thấy:
- Đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t\\ y = 1 + t\\ z = 3 – t \end{array} \right.$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = [4; 1; – 1]
- Mặt phẳng [P]: x – 2y + 2z + 11 = 0 có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n $ = [ 1; -2; 2]
- Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 4.1 + 1.[-2] + [-1].2 = 0 => Δ // [P]
- Điểm M[1; 1; 3] ∈ Δ
Áp dụng công thức: $d\left[ {\Delta ,\left[ P \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {2.1 + [ – 2].1 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt 5 }}{5}$
Khoảng cách từ đường thẳng Δ tới mặt phẳng [P] là $\frac{{6\sqrt 5 }}{5}$
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho trước đường thẳng Δ và mặt phẳng [P]. Hãy tìm khoảng cách từ Δ tới [P] khi biết phương trình của chúng lần lượt là
a] phương trình chính tắc đường thẳng Δ: $\frac{x}{4} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 6}}{3}$ và phương trình mặt phẳng [P]: x – 2y + 1 = 0
b] phương trình tham số đường thẳng Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = 3 – t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.$ và phương trình mặt phẳng [P]: 2x – 3y + 5z – 1 = 0
Lời giải
a]
- Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = [ 4; 2; 3]
- Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow n $ = [1 ; – 2; 0]
Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 4.1 + 2.[ – 2] + 3.0 = 0 => Δ // [P]
Mặt khác, ta thấy M[0; 1; -6] ∈ Δ nên khoảng cách từ M tới [P]
$d\left[ {\Delta ,\left[ P \right]} \right] = d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {1.0 + \left[ { – 2} \right].1 + 0.\left[ { – 6} \right]} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ { – 2} \right]}^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$
Khoảng cách từ đường thẳng Δ tới mặt phẳng [P] là $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
b]
- Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ = [ 3; – 1; 4]
- Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow n $ = [ 2; -3; 5]
Ta thấy $\overrightarrow u .\overrightarrow n $ = 3.2 + [-1].[-3] + 4.5 = 29 ≠ 0
=> Δ cắt [P]
Bài viết chia sẻ công thức tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng tới đây tạm dừng. Hy vọng đã giúp ích được cho bạn trong quá trình học tập.
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
45
00:18:23 Bài 7: Ứng dụng tích có hướng tính diện tích
46
00:22:03 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
48
00:32:07 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
58
00:15:13 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao
Cập nhật lúc: 10:18 29-07-2015 Mục tin: LỚP 12
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Phương pháp tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng d // [P]; để tính khoảng cách giữa d và [P] ta thực hiện các bước:
+ Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến [P] có thể được xác định dễ nhất.
+ Bước 2: Kết luận: d[d; [P]] = d[A; [P]].
Cùng Top lời giải tìm hiểu chi tiết hơn vềđường thẳng và mặt phẳng song song cùng các dạng bài tập nhé:
1. Định nghĩa mặt phẳng và đường thằng song song
Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
Định lí 1:
Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng [P] và song song với một đường thẳng nào đó nằm trên [P] thì d song song với [P].
Định lí 2:
[Định lí giao tuyến 2]. Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt [P] thì cắt theo giao tuyến song song với d.
Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3:
Nếu a b là hai đường thẳng chéo nhau thì có một và chỉ một mặt phẳng chứa a và song song với b.
Định lí 4:
Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau và O là một điểm không nằm trên cả hai đường thẳng a và b thì có một và chỉ một mặt phẳng đi qua O và song song với cả hai đường thẳng a, b.
3. Các dạng toánđường thẳng song song với một mặt phẳng.
Dạng 1:
Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng. Phương pháp: Chứng minh đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng [P] và d song song với một đường thẳng a chứa trong [P] Chú ý: Đường thẳng a phải là đường thẳng đồng phẳng với d, do đó nếu trong hình không có sẵn đường thẳng nào chứa trong [P] và đồng phẳng với d thì khi đó ta chọn một mặt phẳng chứa d và dựng giao tuyến a của mặt phẳng đó với [P] rồi chứng minh d // a.
Dạng 2:
Thiết diện song song đường thẳng cho trước Sử dụng định lí giao tuyến 2: “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt [P] thì cắt theo giao tuyến song song với d” để tìm các đoạn giao tuyến của [P] với các mặt của hình chóp.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:Cho hình chóp S. ABCD có SA⊥ [ABCD], đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và [SAD]
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
Ví dụ 2:Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và [ABC] bằng:
Ví dụ 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến [SCD] bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó; IM // AD //BC
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO⊥ [ABCD] .
+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2a
Đáp án D
5. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên [SAB] và [SAD] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và [SOE] là
Bài giải:
+ Vì hai mặt bên [SAB] và [SAD] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .
mà [SAB] ∩ [SAD] = SA
⇒ SA⊥ [ABCD] .
+ Do E là trung điểm của AD khi đó
Tam giác ABD có EO là đường trung bình
⇒ EO // AB⇒ AB // [SOE]
⇒ d[AB, [SOE]] = d[A; [SOE]] = AH
với H là hình chiếu của A lên SE.
Câu 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và∠ABC = 60° Hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng [SAB] và [ABCD] bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và [SAB] theo a bằng:
Bài giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Kẻ: OI⊥ AB; OH⊥ SI
+ Do CD // AB nên CD // [SAB]
⇒ d[CD, [SAB]] = d[C; [SAB]] = 2d[ O; [SAB]]
Ta có: AB⊥ SO , AB⊥ OI⇒ AB⊥ [SOI]⇒ AB⊥ OH
Nên OH⊥ [SAB]⇒ d[O, [SAB]] = OH
Mà tam giác ACB cân tại B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều
⇒ OC = [1/2]AC = [1/2]AB = a/2 .
+ xét tam giác OAB có:
Chọn đáp án B.
Câu 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và [SMN] bằng bao nhiêu?
Bài giải:
+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC
⇒ BC // [SMN] nên :
d[BC; [SMN]] = d[B; [SMN]] = d[A; [SMN]]
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.
+ Ta chứng minh: MN⊥ [SAM]:
Chọn đáp án A