Phương trình đẳng cấp và phương trình đối xứng với sin cos

Phương trình dạng \[a\left[ {\sin x + \cos x} \right] + b\sin x\cos x + c = 0\].

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \[\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\].

- Bước 2: Thay vào phương trình tìm \[t\].

- Bước 3: Giải phương trình \[\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = t\] để tìm \[x\].

Ví dụ: Giải phương trình: \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos {\rm{x  = }}\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\sqrt {1 + \sin {\rm{x}}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \]

Giải

Đặt \[t = \sin x + \cos x\]\[ = \sqrt 2 {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\] \[ \Rightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.cosx = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\]

Khi đó \[pt \Leftrightarrow \sqrt 6 .\sqrt {{t^2} + 1}  = 3t;t \in \left[ {0;\sqrt 2 } \right]\]

\[ \Leftrightarrow 6[{t^2} + 1] = 9{t^2}\] \[ \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow t = \sqrt 2 \] \[ \Leftrightarrow \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = 1\] \[ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + 2k\pi \left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]

Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm như trên.

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f[sinx, cosx] = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải:

Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx [k là số mũ cao nhất] ta được phương trình ẩn là tanx.

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.

Ví dụ minh họa

Bài 1: 3sin2x + 8sinx.cosx + [8√3-9] cos2x = 0 [1]

Xét cos⁡x = 0 ⇒ sin2x = 1. Ta có [1] ⇔ 3=0 [vô lý]

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được :

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 – Xem ngay

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI VÀ BẬC BA ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Bạn đang xem: phương trình đẳng cấp bậc 2 là gì

Nhận biết: Phương trình đẳng cấp là phương trình chứa [ sin ], [ cos ] thỏa mãn bậc của tất cả các hạng tử đều là số chẵn, hoặc đều là số lẻ. Chẳng hạn:

[ bullet ] [ sin x], [ cos x] bậc một.

[ bullet ] [{sin ^2}x,co{s^2}x,sin xcos x] bậc hai.

Đang hot: Phân loại hàng: Chính hãng, Fake, Tray, OEM, REFURBISHED

[ bullet ] [{sin ^3}x,co{s^3}x,{sin ^2}xcos x,sin x{cos ^2}x,cos 3x,sin 3x] đều bậc 3.

Cách giải: Ta xét hai trường hợp sau:

[ bullet ] Trường hợp 1: [cos x = 0]

[ bullet ] Trường hợp 2: [cos x ne 0]. Khi đó ta sẽ chia cả 2 vế cho [{cos ^m}x] [ở đó m là bậc của phương trình đẳng cấp], ta được phương trình bậc m với ẩn là [tan x].

[Tương tự đối vơi việc chia cho [ sin x] để đưa về [ cot x].]

B. CÁC VÍ DỤ MẪU

Xem thêm: Sự khác biệt giữa DPI, PPI, độ phân giải và kích thước hình ảnh là gì?

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 – Xem ngay

Đang hot: Ăn bơ giảm cân siêu tốc vào lúc nào, thực đơn ra sao để tan mỡ nhanh