1. Phương trình lượng giác cơ bản
a] Phương trình \[\sin x = a\]
+] Nếu \[\left| a \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| a \right| \le 1\] thì phương trình \[\sin x = a\] có các nghiệm \[x = \arcsin a + k2\pi \] và\[x = \pi - \arcsin a + k2\pi \]
Đặc biệt:
+] \[\sin f[x] = \sin \alpha \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \alpha + k2\pi \\f[x] = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\sin f[x] = \sin {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \beta ^0 + k{360^0}\\f[x] = {180^0} - \beta ^0+ k{360^0}\end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
b] Phương trình \[\cos x = a\]
+] Nếu \[\left| a \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| a \right| \le 1\] thì phương trình \[\cos x = a\] có các nghiệm \[x = \arccos a + k2\pi \] và \[x = - \arccos a + k2\pi \]
Đặc biệt:
+] \[\cos f[x] = \cos \alpha \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \alpha + k2\pi \\f[x] = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\cos f[x] = \cos {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \beta ^0 + k{360^0}\\f[x] = - \beta ^0 + k{360^0}\end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
c] Phương trình \[\tan x = a\]
Phương trình luôn có nghiệm \[x = \arctan a + k\pi \].
Đặc biệt:
+] \[\tan x = \tan \alpha \] \[ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\tan x = \tan {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0}\]
d] Phương trình \[\cot x = a\]
Phương trình luôn có nghiệm \[x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \].
Đặc biệt:
+] \[\cot x = \cot \alpha \] \[ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\cot x = \cot {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0},k \in Z\]
e] Các trường hợp đặc biệt
* Phương trình \[\sin x = a\]
\[ + \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\]
\[ + \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\]
\[ + \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\]
* Phương trình \[\cos x = a\]
\[ + \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \]
\[ + \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \]
\[ + \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \]
2. Một số chú ý khi giải phương trình.
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \[\tan ,\cot \], chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
Loigiaihay.com
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a] Phương trình \[\sin x = m\].
+] Nếu \[\left| m \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| m \right| \le 1\] thì phương trình \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\]
Đặc biệt: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
b] Phương trình \[\cos x = m\].
+] Nếu \[\left| m \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| m \right| \le 1\] thì phương trình \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x = - \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\]
Đặc biệt: \[\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
c] Phương trình \[\tan x = m\].
Phương trình luôn có nghiệm \[x = \arctan m + k\pi \].
Đặc biệt: \[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
d] Phương trình \[\cot x = m\].
Phương trình luôn có nghiệm \[x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \].
Đặc biệt: \[\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
e] Các trường hợp đặc biệt
\[ + ]\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\] \[\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \]
\[ + ]\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\] \[\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \]
\[ + ]\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\] \[\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \]
2. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình \[at + b = 0\left[ {a,b \in R,a \ne 0} \right]\] với \[t = \sin x\left[ {\cos x,\tan x,\cot x} \right]\] là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác \[\sin ,\cos ,\tan ,\cot \].
- Cách giải: Biến đổi \[at + b = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{b}{a}\] và giải phương trình lượng giác cơ bản.
3. Một số chú ý khi giải phương trình
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \[\tan ,\cot \], chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp chung:
- Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \[A.B = 0\] hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…
- Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện [nếu có].
2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác
Phương trình dạng \[a{f^2}\left[ x \right] + bf\left[ x \right] + c = 0\left[ {a,b,c \in R;a \ne 0} \right]\], ở đó \[f\left[ x \right] = \sin u\left[ x \right]\] [hoặc \[\cos u\left[ x \right],\tan u\left[ x \right],\cot u\left[ x \right]\]].
Phương pháp chung:
- Bước 1: Đặt \[t = f\left[ x \right]\] và đặt điều kiện cho \[t\].
- Bước 2: Thay \[t\] vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \[t\], kết hợp điều kiện tìm \[t\].
- Bước 3: Giải phương trình \[f\left[ x \right] = t\] tìm \[x\] và kết luận [chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \[x\]].
3. Phương trình bậc nhất đối với \[\sin x\] và \[\cos x\]
Phương trình dạng: \[a\cos x + b\sin x = c\left[ {{a^2} + {b^2} > 0} \right]\].
Phương pháp chung:
Cách 1: [Thường dùng cho giải phương trình]
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \[{a^2} + {b^2} \ge {c^2}\].
- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \] thì phương trình có dạng:
\[\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
- Bước 3: Đặt \[\cos \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\] thì phương trình trở thành \[\cos \left[ {x - \alpha } \right] = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \[x\].
Cách 2: [Thường dùng để giải và biện luận]:
- Bước 1: Xét \[x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \] có là nghiệm hay không.
- Bước 2: Xét \[x \ne \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \] thì đặt \[t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\] ta được phương trình bậc hai theo \[t:\left[ {b + c} \right]{t^2} - 2at + c - b = 0\].
- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \[t \Rightarrow x\] và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.
4. Phương trình đẳng cấp đối với \[\sin x\] và \[\cos x\]
Phương trình dạng \[{a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_{n - 1}}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0\].
Phương pháp chung:
- Bước 1: Xét \[\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1\], thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không.
- Bước 2: Xét \[\cos x \ne 0\], chia hai vế của phương trình cho \[{\cos ^n}x \ne 0\] và đặt \[\tan x = t\].
- Bước 3: Giải phương trình ẩn \[t\] tìm nghiệm \[t\].
- Bước 4: Giải phương trình \[\tan x = t\] tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.
6. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với \[\sin x\] và \[\cos x\]
Phương trình dạng \[a\left[ {\sin x + \cos x} \right] + b\sin x\cos x + c = 0\].
Phương pháp chung:
- Bước 1: Đặt \[\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\].
- Bước 2: Thay vào phương trình tìm \[t\].
- Bước 3: Giải phương trình \[\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = t\] để tìm \[x\].