Giải chi tiết:
Phương trình \[2f\left[ {\sin x} \right] + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left[ {\sin x} \right] = - \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left[ * \right]\] có nghiệm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]\] \[ \Leftrightarrow \] đường thẳng \[y = - \dfrac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ {\sin x} \right]\] tại các điểm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Đặt \[\sin x = t \Rightarrow x \in \left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;\,\,1} \right].\]
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta có: đường thẳng \[y = - \frac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ t \right]\] tại hai điểm phân biệt.
Ta có \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_1} \in \left[ {0;1} \right]\\\sin x = {t_2} \in \left[ { - 1;0} \right]\end{array} \right.\].
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
+] Đường thẳng \[y = {t_1}\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sin x\] tại hai điểm phân biệt trong \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
+] Đường thẳng \[y = {t_2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sin x\] tại bốn điểm phân biệt trong \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Như vậy đường thẳng \[y = - \frac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ {\sin x} \right]\] tại 6 điểm phân biệt trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Chọn B.
Phương pháp giải:
Phương trình \[2f\left[ {\sin x} \right] + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left[ {\sin x} \right] = - \dfrac{3}{2}\] có nghiệm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]\] \[ \Leftrightarrow \] đường thẳng \[y = - \dfrac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ {\sin x} \right]\] tại các điểm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Dựa vào đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.
Giải chi tiết:
Phương trình \[2f\left[ {\sin x} \right] + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left[ {\sin x} \right] = - \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\left[ * \right]\] có nghiệm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right]\] \[ \Leftrightarrow \] đường thẳng \[y = - \dfrac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ {\sin x} \right]\] tại các điểm trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Đặt \[\sin x = t \Rightarrow x \in \left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;\,\,1} \right].\]
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta có: đường thẳng \[y = - \frac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ t \right]\] tại hai điểm phân biệt.
Ta có \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_1} \in \left[ {0;1} \right]\\\sin x = {t_2} \in \left[ { - 1;0} \right]\end{array} \right.\].
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
+] Đường thẳng \[y = {t_1}\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sin x\] tại hai điểm phân biệt trong \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
+] Đường thẳng \[y = {t_2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = \sin x\] tại bốn điểm phân biệt trong \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Như vậy đường thẳng \[y = - \frac{3}{2}\] cắt đồ thị hàm số \[y = f\left[ {\sin x} \right]\] tại 6 điểm phân biệt trên \[\left[ { - \pi ;\,\,2\pi } \right].\]
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.
Chọn B.
Cho hàm số fx có đồ thị như hình vẽ:
Số nghiệm thuộc đoạn 0;2π của phương trình ffsinx+1=0 là
A.6.
B.5.
C.4.
D.3.
Đáp án và lời giải
Đáp án:C
Lời giải:Lời giải
Dựa vào đồ thị ta có: ffsinx+1=0
⇔fsinx+1=x1; x1∈0; 1fsinx+1=x2; x2∈1; 2fsinx+1=x3; x3∈3; 4 ⇔fsinx=x1−1= m1∈−1; 0 1fsinx=x2−1= m2∈0; 1 2fsinx=x3−1= m3∈2; 3 3 .
Nhận xét:
1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ft trên đoạn −1;1 với đường thẳng y=m1 −1