Đã gửi 06-05-2006 - 22:06
Dạng bài này đơn giản thôi, bạn đọc kỹ các số báo TTT về Máy tính sẽ có ngay mà.
Từ công thức tổng quát là
Good luck!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MITPOL: 06-05-2006 - 22:09
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là:
Leonardo Fibonacci [1175 - 1250]
Một trang của Liber Abaci từ Thư viện Trung tâm Quốc gia [Florence] với dãy Fibonacci với vị trí trong chuỗi được mô tả bằng Số La Mã và giá trị bằng chữ số Ả Rập.
Dãy số Fibonacci được Fibonacci, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci - Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các "cụ tổ" của một ong đực.
Henry Dudeney [1857 - 1930] [là một nhà văn và nhà toán học người Anh] nghiên cứu ở bò sữa, cũng đạt kết quả tương tự.
Thế kỉ XIX, nhà toán học Edouard Lucas xuất bản một bộ sách bốn tập với chủ đề toán học giải trí, ông đã dùng tên Fibonacci để gọi dãy số kết quả của bài toán từ cuốn Liber Abaci – bài toán đã sinh ra dãy Fibonacci.
2 bài toán sau đây được trích từ sách Liber Abacci do Fibonacci viết vào năm 1202. Đây là những bài toán mẫu mực dẫn đến khảo sát dãy số Fibonacci.
Mười ba [ F 7 ] cách sắp xếp các âm tiết dài và ngắn theo một nhịp độ dài sáu. Năm [ F 5 ] kết thúc bằng âm tiết dài và tám [ F 6 ] kết thúc bằng âm tiết ngắn.
Bài toán số con thỏ
Một đôi thỏ [gồm một thỏ đực và một thỏ cái] không sinh cho đến khi chúng đủ 2 tháng tuổi. Sau khi đủ 2 tháng tuổi, mỗi đôi thỏ sinh một đôi thỏ con [gồm một thỏ đực và một thỏ cái] mỗi tháng. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm [tháng Giêng] có một đôi thỏ sơ sinh
Trong hình vẽ trên, ta quy ước:
- Cặp thỏ xám là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
- Cặp thỏ được đánh dấu [màu đỏ và màu xanh] là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
- Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
- Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
- Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
- Tháng Năm: có hai đôi thỏ [đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba] cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
- Tháng Sáu: có ba đôi thỏ [2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư] cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.
Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f[n] là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:
- Với n = 1 ta được f[1] = 1.
- Với n = 2 ta được f[2] = 1.
- Với n = 3 ta được f[3] = 2.
Do đó với n > 2 ta được: f[n] = f[n-1] + f[n-2].
Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n -1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n - 2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f[n - 2].
Số các "cụ tổ" của một con ong đực
Fibonacci đã mô tả dãy các tổ tiên của một con ong đực như sau: [Loài ong có thể thụ tinh đơn tính hoặc lưỡng tính]. Giả sử rằng:
- Nếu một trứng ong thụ tinh bởi chính con ong cái nó nở thành một con ong đực
- Tuy nhiên, nếu một trứng thụ tinh bởi một ong đực nó nở thành một con ong cái.
- Như vậy một con ong đực sẽ luôn có một mẹ, và một con ong cái sẽ có cả bố và mẹ.
Số cụ tổ của một con ong đực
Ta bắt đầu tính số các con ong tổ tiên của một con ong đực. Xét một con ong đực ở thế hệ thứ n. Nhìn vào hình trên ta thấy:
- Trước một đời, thế hệ n-1: Con ong đực chỉ có một mẹ [1 ong cái].
- Trước hai đời, thế hệ n-2: Con ong cái đời n-1 có 2 bố mẹ, một ong bố [đực] và một ong mẹ [cái][2 con ong: 1 đực+ một cái]].
- Trước ba đời, thế hệ n-3: Con ong cái thế hệ n-2 lại có hai bố mẹ, một ong bố [đực] và một ong mẹ [cái], và con đực thế hệ n-2 có một mẹ [3 con ong: 1 ong đực + 2 ong cái]
- Trước bốn đời, thế hệ n-4: Hai con cái, mỗi con có 2 cha, mẹ và mỗi con đực có một mẹ [5 con ong: 2 ong đực 3 ong cái]
Tiếp tục quá trình này ta sẽ có một dãy số Fibonacci.
Kết luận
Như vậy, công việc giải quyết hai bài toán trên của Fibonacci dẫn tới việc khảo sát dãy số f[n] xác định:
- f[0]= 0.
- f[1]= 1.
- f[2]= 1.
- f[n]= f[n-1] +f[n-2] với n > 2.
Đó là dãy Fibonacci và các số hạng trong dãy được gọi là các số Fibonacci.
| n | F[n] | n | F[n] | n | F[n] |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 |
| 3 | 2 | 4 | 3 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 7 | 13 | 8 | 21 |
| 9 | 34 | 10 | 55 | 11 | 89 |
| 12 | 144 | 13 | 233 | 14 | 377 |
| 15 | 610 | 16 | 987 | 17 | 1.597 |
| 18 | 2.584 | 19 | 4.181 | 20 | 6.765 |
| 21 | 10.946 | 22 | 17.711 | 23 | 28.657 |
| 24 | 46.368 | 25 | 75.025 | 26 | 121.393 |
| 27 | 196.418 | 28 | 317.811 | 29 | 514.229 |
| 30 | 832.040 | 31 | 1.346.269 | 32 | 2.178.309 |
| 33 | 3.524.578 | 34 | 5.702.887 | 35 | 9.227.465 |
| 36 | 14.930.352 | 37 | 24.157.817 | 38 | 39.088.169 |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là:
F n = 1 5 [ [ 1 + 5 2 ] n − [ 1 − 5 2 ] n ] {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[{\Big [}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}{\Big ]}^{n}-{\Big [}{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}{\Big ]}^{n}\right]}Tỷ lệ vàng
Tỷ lệ vàng φ {\displaystyle \varphi } [phi], được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ. Có thể chứng minh rằng nếu quy độ dài đoạn lớn về đơn vị thì tỷ lệ này là nghiệm dương của phương trình:
1 x = x 1 + x {\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {x}{1+x}}} , hay tương đương x 2 − x − 1 = 0 , {\displaystyle x^{2}-x-1=0,\,}chính là số φ = [ 1 + 5 ] 2 ≈ 1.618 033 989 {\displaystyle \varphi ={\frac {[1+{\sqrt {5}}]}{2}}\approx 1.618\,033\,989} .
Công thức dạng tường minh
Cũng như mọi dãy số xác định bởi công thức đệ quy tuyến tính, các số Fibonacci có thể tìm được công thức dạng tường minh.
Ta sẽ chứng minh [công thức Binet]:
F [ n ] = φ n − [ 1 − φ ] n 5 {\displaystyle F\left[n\right]={{\varphi ^{n}-[1-\varphi ]^{n}} \over {\sqrt {5}}}} , trong đó φ {\displaystyle \varphi } là tỷ lệ vàng ở trên.Như vậy, từ hệ thức truy hồi Fibonacci ta có:
F [ n + 2 ] − F [ n + 1 ] − F [ n ] = 0. {\displaystyle F[n+2]-F[n+1]-F[n]=0.\,}sẽ dẫn tới phương trình xác định tỷ lệ vàng
x 2 − x − 1 = 0 , {\displaystyle x^{2}-x-1=0,\,}[là phương trình đa thức dặc trưng của hồi quy].
Chứng minh
Chứng minh [bằng quy nạp]:
Một nghiệm bất kỳ của phương trình trên thoả mãn tính chất x 2 = x + 1 , {\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}=x+1,\end{matrix}}\,} . Nhân hai vế với x n − 1 {\displaystyle x^{n-1}\,} có:
x n + 1 = x n + x n − 1 {\displaystyle x^{n+1}=x^{n}+x^{n-1}\,}Chú ý rằng, theo định nghĩa φ {\displaystyle \varphi } là một nghiệm của phương trình và nghiệm kia là 1 − φ {\displaystyle 1-\varphi } . Do đó:
| φ n + 1 {\displaystyle \varphi ^{n+1}\,} | = φ n + φ n − 1 {\displaystyle =\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}\,} và |
| [ 1 − φ ] n + 1 {\displaystyle [1-\varphi ]^{n+1}\,} | = [ 1 − φ ] n + [ 1 − φ ] n − 1 {\displaystyle =[1-\varphi ]^{n}+[1-\varphi ]^{n-1}\,} |
Bây giờ định nghĩa hàm:
F a , b [ n ] = a φ n + b [ 1 − φ ] n {\displaystyle F_{a,b}[n]=a\varphi ^{n}+b[1-\varphi ]^{n}} xác định với mọi số thực a , b {\displaystyle a,b\,}Tất cả các hàm này thỏa mãn hệ thức truy hồi Fibonacci, thật vậy:
| F a , b [ n + 1 ] {\displaystyle F_{a,b}[n+1]\,} | = a φ n + 1 + b [ 1 − φ ] n + 1 {\displaystyle =a\varphi ^{n+1}+b[1-\varphi ]^{n+1}} |
| = a [ φ n + φ n − 1 ] + b [ [ 1 − φ ] n + [ 1 − φ ] n − 1 ] {\displaystyle =a[\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}]+b[[1-\varphi ]^{n}+[1-\varphi ]^{n-1}]} | |
| = a φ n + b [ 1 − φ ] n + a φ n − 1 + b [ 1 − φ ] n − 1 {\displaystyle =a{\varphi ^{n}+b[1-\varphi ]^{n}}+a{\varphi ^{n-1}+b[1-\varphi ]^{n-1}}} | |
| = F a , b [ n ] + F a , b [ n − 1 ] {\displaystyle =F_{a,b}[n]+F_{a,b}[n-1]\,} |
Bây giờ chọn a = 1 / 5 {\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}} và b = − 1 / 5 {\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}} . Tiếp tuc:
F a , b [ 0 ] = 1 5 − 1 5 = 0 {\displaystyle F_{a,b}[0]={\frac {1}{\sqrt {5}}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}=0\,\!}và
F a , b [ 1 ] = φ 5 − [ 1 − φ ] 5 = − 1 + 2 φ 5 = − 1 + [ 1 + 5 ] 5 = 1 , {\displaystyle F_{a,b}[1]={\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}-{\frac {[1-\varphi ]}{\sqrt {5}}}={\frac {-1+2\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {-1+[1+{\sqrt {5}}]}{\sqrt {5}}}=1,}những chứng minh ở trên chứng tỏ rằng
F [ n ] = φ n − [ 1 − φ ] n 5 {\displaystyle F[n]={{\varphi ^{n}-[1-\varphi ]^{n}} \over {\sqrt {5}}}} với mọi n.Chú ý rằng, với hai giá trị khởi đầu bất kỳ của a , b {\displaystyle a,b} , hàm F a , b [ n ] {\displaystyle F_{a,b}[n]\,} là công thức tường minh cho một loạt các hệ thức truy hồi.
Giới hạn của thương kế tiếp
Johannes Kepler, đã chứng minh sự hội tụ sau:
F [ n + 1 ] F [ n ] {\displaystyle {\frac {F[n+1]}{F[n]}}\,} hội tụ tới tỷ lệ vàng φ {\displaystyle \varphi } [phi]Thực ra kết quả này đúng với mọi cặp giá trị khởi đầu, trừ [0, 0].
Từ công thức tường minh, ta có, với mọi a ≠ 0 , b ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0,b\neq 0} :
| lim n → ∞ F a , b [ n + 1 ] F a , b [ n ] {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{a,b}[n+1]}{F_{a,b}[n]}}} | = lim n → ∞ a φ n + 1 − b [ 1 − φ ] n + 1 a φ n − b [ 1 − φ ] n {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi ^{n+1}-b[1-\varphi ]^{n+1}}{a\varphi ^{n}-b[1-\varphi ]^{n}}}} |
| = lim n → ∞ a φ − b [ 1 − φ ] [ 1 − φ φ ] n a − b [ 1 − φ φ ] n {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi -b[1-\varphi ][{\frac {1-\varphi }{\varphi }}]^{n}}{a-b[{\frac {1-\varphi }{\varphi }}]^{n}}}} | |
| = φ {\displaystyle =\varphi } , |
vì thế, như dễ dàng thấy, | 1 − φ φ | < 1 {\displaystyle \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right| 1. {\displaystyle F_{n}:=F[n]:={\begin{cases}b&{\mbox{khi }}n=0;\\a&{\mbox{khi }}n=1;\\F[n-1]+F[n-2]&{\mbox{khi }}n>1.\\\end{cases}}} ,
trong đó dấu "+" ký hiệu cho phép ghép hai xâu.
Hãy viết giải thuật [đệ quy hoặc phi đệ quy] tính độ dài xâu.
Hãy cho biết giá trị của chuỗi với n = 7
Dãy các xâu Fibonacci khởi đầu là:
Độ dài của mỗi xâu Fibonacci chính là số Fibonacci, và có một xâu Fibonacci tương ứng với mỗi số Fibonacci.
Các xâu Fibonacci cung cấp dữ liệu vào cho các minh dụ cho một vài thuật toán máy tính.
Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci.
Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, Họ Mao lương có 5 cánh, phi yến thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.
Nếu quan sát các 'mắt' trên vỏ của một trái thơm già, bạn có thể may mắn tìm thấy được số mắt trên 2 đường vòng cung chéo trên vỏ trái thơm là 2 số Fibonacci nào đó, thí dụ 13 và 21.
Các số Fibonacci trong hoa hướng dương. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các hình xoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kết tiếp nhau [tỷ số của chúng tiến tới Tỷ lệ vàng]
Đầu hoa cúc vạn thọ thể hiện sự sắp xếp theo xoắn ốc 21 [xanh lam] và 13 [xanh dương].
Hình minh họa mô hình Vogel cho n = 1 ... 500
Hoa loa kèn có 3 cánh
- Số đối-Fibonacci
- Số dẻo
- Số Padovan
- Số Perrin
- ^ Dijkstra, Edsger W. [1978], In honour of Fibonacci [PDF]
- ^ Weisstein, Eric W., "Fibonacci Prime" từ MathWorld.
- ^ Honsberger, Ross [1985], “Mathematical Gems III”, AMS Dolciani Mathematical Expositions [9]: 133, ISBN 978-0-88385-318-4
- ^ Cohn, J. H. E. [1964], “On square Fibonacci numbers”, The Journal of the London Mathematical Society, 39: 537–540, doi:10.1112/jlms/s1-39.1.537, MR 0163867
- ^ Pethő, Attila [2001], “Diophantine properties of linear recursive sequences II”, Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis, 17: 81–96
- ^ Bugeaud, Y; Mignotte, M; Siksek, S [2006], “Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers”, Ann. Math., 2 [163]: 969–1018, arXiv:math/0403046, Bibcode:2004math......3046B, doi:10.4007/annals.2006.163.969, S2CID 10266596
- Donald Knuth, The Art of Computer Programming, third edition [1997]
- Hrant Arakelian, Mathematics and History of the Golden Section. Logos [2014], 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, [rus.]
- Alexey Stakhov, Museum of Harmony and Golden Section Lưu trữ 2019-04-05 tại Wayback Machine, [undated, 2005 or earlier].
- Subhash Kak, The Golden Mean and the Physics of Aesthetics, Archive of Physics, [2004].
- Ron Knott, The Golden Section: Phi Lưu trữ 2006-12-05 tại Wayback Machine, [2005].
- Ron Knott, Representations of Integers using Fibonacci numbers Lưu trữ 2007-10-30 tại Wayback Machine, [2004].
- Bob Johnson, Fibonacci resources Lưu trữ 2008-12-31 tại Wayback Machine, [2004]
- Donald E. Simanek, Fibonacci Flim-Flam, [undated, 2005 or earlier].
- Rachel Hall, Hemachandra's application to Sanskrit poetry Lưu trữ 2012-07-16 tại Wayback Machine, [undated; 2005 or earlier].
- Alex Vinokur, Computing Fibonacci numbers on a Turing Machine Lưu trữ 2005-02-06 tại Wayback Machine, [2003].
- [no author given], Fibonacci Numbers Information Lưu trữ 2005-08-29 tại Wayback Machine, [undated, 2005 or earlier].
- Wikisource, Table of first 1000 Fibonacci numbers, [2005].
- Fibonacci Numbers and the Golden Section Lưu trữ 2007-02-07 tại Wayback Machine - Ron Knott's Surrey University multimedia web site on the Fibonacci numbers, the Golden section and the Golden string.
- The Fibonacci Association Lưu trữ 2005-10-01 tại Wayback Machine incorporated in 1963, focuses on Fibonacci numbers and related mathematics, emphasizing new results, research proposals, challenging problems, and new proofs of old ideas.
- Dawson Merrill's Fib-Phi link page.
- Fibonacci primes
| Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Dãy Fibonacci. |
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Dãy_Fibonacci&oldid=69113023”