Câu hỏi: Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, một đoạn?
Trả lời
Giả sử đề bài cho hàm sốy=f[x] có tập xác định D, tìm giá trị lớn nhất [hoặc nhỏ nhất] trên đoạn [a;b]
Bước 1: Đạo hàm y′=f′[x]. Tìm các nghiệmf′[x]=0trên đoạn[a;b]
Bước 2: Vẽ bảng biến thiên của hàm số đó trên đoạn[a;b]
Bước 3: Nhìn vào bảng biến thiên, ta sẽ thấy ngay được giá trị lớn nhất [hoặc nhỏ nhất] của hàm số cần tìm.
Thay vì vẽ bảng biến thiên mất thời gian, ta có thể tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất nhanh hơn bằng cách lần lượt tìm giá trị củaf[x]ở các điểm đặc biệt f[a],f[b],f[x0]vớix0là nghiệm của phương trìnhf′[x]=0. Sau đó so sánh các giá trị trên và rút ra kết luận
Lưu ý:Cần phải nhớ thật kĩ các lưu ý dưới đây vì nó cực kì quan trọng, thứ sẽ giúp các bạn không bị mắc vào cái bẫy của người ra đề
- Nếu trên đoạn[a;b]có 1 điểmx0không xác định mà limx→±x0 = ±∞thì khi đó ta không kết luận được giá trị lớn nhất [hoặc nhỏ nhất] của hàm số đó.
- Nếu đề cho trên một khoảng[a;b], tức là ta sẽ không lấy giá trị ở 2 biên a và b. Vì thế, nếu giá trị lớn nhất [hoặc nhỏ nhất] nằm ở 1 trong 2 biên trên thì đồng nghĩa với việc ta không kết luận được giá trị lớn nhất [hoặc nhỏ nhất] của hàm số đó. Tương tự nếu đề cho[a;b]tức là không lấy giá trị ở biên a hay[a;b]tức là không lấy giá trị ở biên b.
Cùng Top lời giải thực hành một số bài tập về cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số nhé!
- Một số lưu ý khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
+ Giá trị lớn nhất của hàm sốy = f[x]trên D với cực đại của hàm số .
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm sốy = f[x]trên D với cực tiểu của hàm số .
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốy = f[x]trên D mang tính toàn cục, còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương.
- Bài tập minh họa
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
Lời giải:
Bài tập 2:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x3−3x+5trên đoạn [0;2] là
A.0.
B.3.
C.5.
D.7.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Bài tập 3:
Giá trị lớn nhất của hàm sốf[x]=x4−2x2+1f[x] = x4−2x2+1trên đoạn [0;2] là
A.64.
B.1.
C.0.
D.9.
Lời giải:
=> Chọn D
Bài toán 4:
Lời giải:
Chọn B.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì? Các dạng toán liên quan đến GTLN và GTNN như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề GTLN và GTNN qua bài viết dưới đây nhé!
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là gì?
Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số \[y=f[x]\] xác định trên tập D
- M được gọi là GTLN của f[x] trên D nếu \[\left\{\begin{matrix} f[x]\leq M\\ \exists x_{0}, f[x_{0} = M] \end{matrix}\right.\]
- m được gọi là GTNN của f[x] trên D nếu \[\left\{\begin{matrix} M\leq f[x],\, \forall x \in D\\ \forall x_{0} \in D, f[x_{0}] = m \end{matrix}\right.\]
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] xác định trên tập hợp D
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f[x] trên D ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số f[x] liên tục trên một đoạn [a;b]
- Tìm các điểm \[x_{i} \in [a;b]\, [i=1,2,…,n]\] mà tại đó \[f'[x_{i}] = 0\] hoặc \[f'[x_{i}]\] không xác định.
- Tính \[f'[x], f[b], f[x_{i}]\, [i=1,2,…,n]\]
- Khi đó:
- \[\underset{[a;b]}{max}f[x] = max\left \{ f[a], f[b],f[x_{i}] \right \}\]
- \[\underset{[a;b]}{min}f[x] = min\left \{ f[a], f[b],f[x_{i}] \right \}\]
Chú ý:
- Nếu hàm số y = f[x] luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm trên [a;b] thì \[\underset{[a;b]}{max} f[x] = max \left \{ f[a], f[b] \right \}\], \[\underset{[a;b]}{min} f[x] = min \left \{ f[a], f[b] \right \}\].
- Nếu hàm số y = f[x] là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T.
- Cho hàm số y = f[x] xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t = u[x], ta tìm được \[t\in E \, \forall x\in D\], ta có y = g[t] thì GTLN, GTNN của hàm f trên D chính là GTLN, GTNN của hàm g trên E.
Ví dụ và cách giải bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f[x] = -x^3+4x^2-5x+1\] trên đoạn [1;3]
Cách giải:
Ta có \[f'[x] = -3x^2+8x-5\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 8x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin [1;3]\] hoặc \[x = \frac{5}{3} \in [1;3]\]
Ta có:
\[f[1] = -1, f[\frac{5}{3}] = -\frac{23}{27}, f[3] = -5\]
Vậy \[\underset{[1;3]}{max}f[x] = -\frac{23}{27} \, khi \, x=\frac{5}{3}\]
\[\underset{[1;3]}{min}f[x] =-5 \, khi \, x=3\]
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[f[x] = \frac{4}{3}\sin ^3x -sin^2x + \frac{2}{3}\] trên đoạn \[[0;\pi ]\]
Cách giải:
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[f[x] = 2x + \sqrt{5-x^2}\]
Cách giải:
Tập xác định \[D = [-\sqrt{5};\sqrt{5}]\]
Ta có: \[f'[x] = 2-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}= \frac{2\sqrt{5-x^2}-x}{\sqrt{5-x^2}}\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} – x =0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} = x\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4[5-x^2] = x^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 5x^2-20 =0 \end{matrix}\right.\]
\[\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array}\right. \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow x=2\in [-\sqrt{5};\sqrt{5}]\]
Ta có: \[f[-\sqrt{5}] = -2\sqrt{5}; f[2] = 5; f[\sqrt{5}] = 2\sqrt{5}\]
Vậy \[\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{max} f[x] = 5\, khi\, x=2\]
\[\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{min} f[x] = -2\sqrt{5}\, khi\, x=-\sqrt{5}\]
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề GTLN và GTNN của hàm số. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về GT lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây của thầy Nguyễn Quốc Chí:
[Nguồn: www.youtube.com]
Xem thêm:
Please follow and like us: