Tìm m để phương trình có giá trị lớn nhất

THPT Sóc Trăngđã chia sẻ với các em bài viết về Cách tìm Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức cũng như bài viết về Hệ thức Vi-et và ứng dụng giải các bài toán liên quan.

Ở bài viết này, THPT Sóc Trăngsẽ giới thiệu một dạng toán kết hợp giữa Hệ thức nghiệm Vi-ét và Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất, đó là: Tìm giá trị m để biểu thức nghiệm đạt giá trị lớn nhất [GTLN], giá trị nhỏ nhất [GTNN].

I. Một số ví dụ tìm m để biểu thức đạt GTLN, GTNN

Bạn đang xem: Tim điều kiện m để giá trị của biểu thức nghiệm đạt Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất – Toán 9 chuyên đề

Để giải bài toán tìm giá trị của m m để biểu thức nghiệm đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta vận dụng tính chất sau về bất đẳng thức:

• Trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

– Thì ta thấy:

 T≥a [vì X≥0] ⇒ minT = a ⇔ X = 0.

 T≤b [vì Y≥0] ⇒ maxT = b ⇔ Y = 0.

* Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 + [2m – 1]x – m = 0

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức T = x12 + x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

* Lời giải:

– Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = -b/a = -[2m – 1] và x1.x2 = c/a = -m

– Theo bài ra, ta có:

 T = x12 + x22 – 6x1x2 

 = x12 + 2x1x2 + x22 – 8x1x2

 = [x1 + x2]2 – 8x1x2 

 = [2m – 1]2 + 8m

 = 4m2 – 4m + 1 + 8m

 = 4m2 + 4m + 1

 = [2m + 1]2≥0

Suy ra: minT = 0 ⇔ 2m + 1 = 0 ⇔ m = -1/2.

* Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

> Lời giải:

– Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = m và x1x2 = m – 1.

+ Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như hướng dẫn ở đầu bài viết. Ta biến đổi T như sau:

Vậy maxT = 1 ⇔ m – 1 = 0 ⇔ m = 1.

Với cách thêm bớt khác ta có:

Vậy minT = -1/2 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = -2.

+ Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và T là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số T để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Ta có: 

Để phương trình [**] luôn có nghiệm với mọi m thì Δ≥0, hay:

Vậy maxT = 1 ⇔ m = 1; minT = -1/2 ⇔ m = -2.

II. Bài tập vận dụng

* Bài tập 1: Cho phương trình: x2 + [4m + 1]x + 2[m – 4] .Tìm m để biểu thức A = [x1 – x2]2 có giá trị nhỏ nhất.

* Bài tập 2: Cho phương trình x2 – 2[m – 1]x – 3 – m = 0. Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 ≥ 10.

* Bài tập 3: Cho phương trình: x2 – 2[m – 4]x + m2 – 8 = 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a] A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất

b] B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

* Bài tập 4: Cho phương trình: x2 – [m + 1]x – m2 + m – 2 = 0. Với giá trị nào của m, biểu thức C = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

* Bài tập 5: Cho phương trình x2 + [m + 1]x + m = 0 . Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Như vậy, với bài viết về tìm điều kiện m để giá trị của biểu thức nghiệm đạt Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất THPT Sóc Trănghy vọng giúp ích cho các em. Đây cũng là dạng toán hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh lớp 10, vì vậy các em hãy ôn tập thật tốt nhé.

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo Dục

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Xét hàm số $f[x]=-{{x}^{2}}+4x-m$ trên [-1;3], có $f'[x]=-2x+4$

Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1\le x\le 3 \\  {} -2x+4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$

Tính $f[-1]=-5-m;f[2]=4-m;f[3]=3-m$

Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[2]=4-m=10\Rightarrow m=-6$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Xét hàm số $f[x]=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ trên [-1;1], có $f'[x]=-3{{x}^{2}}-6x$

Phương trình$f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -1\le x\le 1 \\  {} -3{{x}^{2}}-6x=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=0$

Tính $f[-1]=-2+a;f[0]=a;f[1]=-4+a$

Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=-4+a=0\Rightarrow a=4.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có $f'[x]=-3{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m-1;\forall x\in \mathbb{R}.$ Mà $\Delta '=-2{{m}^{2}}-3m-30\Rightarrow f[x]$ là hàm số đồng biến trên $[0;1]$

Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[1]=\frac{1-m}{3};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[0]=-\frac{m}{2}$

Theo bài ra, ta có $\frac{1-m}{3}\ge 2\left[ -\frac{m}{2} \right]\Leftrightarrow 1-m\ge -3m\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$

Kết hợp với $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 11 giá trị nguyên m

•    TH2. Với $m0;\forall x\ne m$

  Với $x=m\notin \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m>4 \\  {} m4 \\  {} m0$

  Lại có $f'[x]=4a{{x}^{3}}+2bx$ mà $\underset{[-\infty ;0]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[-1]\Rightarrow f'[-1]=0\Leftrightarrow b=-2a$

  Do đó $f[x]=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$

  Xét hàm số $f[x]=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ trên $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ có $f'[x]=4a{{x}^{3}}-4ax$

  Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\  {} 4a{{x}^{3}}-4ax=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\  {} x[{{x}^{2}}-1]=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$

  Tính $f\left[ \frac{1}{2} \right]=c-\frac{7a}{16};f[1]=c-a;f[2]=8a+2.$ Vậy $\underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=c-a.$

  Bài tập 11: Hỏi tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right|$ trên đoạn [0;2] bằng 5? A. $[-\infty ;-5]\cup [0;+\infty ].$  B. $[-5;-2].$  C. $[-4;-1]\cup [5;+\infty ].$               D. $[-4;-3].$

  Lời giải chi tiết

  Đáp án: Chọn B

  Xét hàm số $f[x]={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ trên [0;2], có $f'[x]=4{{x}^{3}}-4x;f'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$

  Tính $\left| f[0] \right|=\left| m \right|;\left| f[1] \right|=\left| m-1 \right|;\left| f[2] \right|=\left| m+8 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\}$

  •    TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-1 \right|\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array}  {} \left| m-1 \right|=5 \\  {} \left| m-1 \right|\ge \left| m+8 \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-4$
  •    TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m+8 \right|\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array}  {} \left| m+8 \right|=5 \\  {} \left| m+8 \right|\ge \left| m-1 \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-3$

  Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng $[-5;-2].$

  Bài tập 12: Cho hàm số $f[x]=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ -1;3 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f[x]\le 3$ ? A. 4. B. 8. C. 13. D. 39.

  Lời giải chi tiết

  Đáp án: Chọn C

  Xét hàm số $g[x]=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [-1;3], có $g'[x]=6{{x}^{2}}-6x;g'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.$

  Tính $\left\{ \begin{array}  {} f[-1]=\left| m-5 \right|;f[0]=\left| m \right| \\  {} f[1]=\left| m-1 \right|;f[3]=\left| m+27 \right| \\ \end{array} \right.$. Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ \left| m-5 \right|;\left| m+27 \right| \right\}$

  •    TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| m-5 \right|\Leftrightarrow \left| m-5 \right|\le 3\Leftrightarrow -3\le m-5\le 3\Leftrightarrow 2\le m\le 8$

  Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3;4;...;8 \right\}$. Thử lại $\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm.

  •    TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| m+27 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| m+27 \right|\le \left\{ \left| m-5 \right|;\left| m \right|;\left| m-1 \right| \right\} \\  {} \left| m+27 \right|\le 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -30\le m\le -24$

  Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm.

  Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  Bài tập 13: Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$  [với m là tham số thực]. Hỏi $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là? A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.

  Lời giải chi tiết

  Đáp án: Chọn A

  Xét hàm số $f[x]={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [1;2], có $f'[x]=3{{x}^{2}}-6x;f'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=2 \\ \end{array} \right.$

  Tính $\left| f[0] \right|=\left| m \right|;\left| f[1] \right|=\left| m-2 \right|;\left| f[2] \right|=\left| m-4 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$

  •    TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m \right|\xrightarrow{{}}\left| m \right|\ge \left| m-4 \right|\Leftrightarrow m\ge 2\xrightarrow{{}}\left| m \right|\ge 2$

  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$

  •    TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-4 \right|\xrightarrow{{}}\left| m-4 \right|\le \left| m \right|\Leftrightarrow m\le 2\xrightarrow{{}}m-4\le -2\Leftrightarrow \left| m-4 \right|\ge 2$

  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$. Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là 2.

  Bài tập 14: Có bao nhiêu số thực m để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có giá trị lớn nhất trên [-3;2] bằng 150? A. 2. B. 0. C. 6. D. 4.

  Lời giải chi tiết

  Đáp án: Chọn A

  Xét hàm số $g[x]=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{3}}+m$ trên [-3;2] có $g'[x]=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$

  Phương trình $g'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -3\le x\le 2 \\  {} 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} x=0 \\ \end{array} \right.$

  Tính $\left\{ \begin{array}  {} f[-1]=\left| m-5 \right|;f[0]=\left| m \right| \\  {} f[-3]=\left| m+243 \right|;f[2]=\left| m-32 \right| \\ \end{array} \right..$ Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ \left| m-32 \right|;\left| m+243 \right| \right\}$

  •    TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| m+243 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| m-32 \right|\le \left| m+243 \right| \\  {} \left| m+243 \right|=150 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-93$
  •    TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| m-32 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| m-32 \right|\ge \left| m+243 \right| \\  {} \left| m-32 \right|=150 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-118$

  Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán.

  Bài tập 15: Cho hàm số $f[x]=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a \right|$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;3]$ sao cho $M\le 2m$ A. 6. B. 5. C. 7. D. 3.

  Lời giải chi tiết

  Đáp án: Chọn B

  Xét hàm số $u[x]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}$ trên [0;2], có $u'[x]=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$

  Phương trình $u'[x]=0\Leftrightarrow x\left\{ 0;1;2 \right\}.$ Khi đó $u[0]=u[2]=a;u[1]=a+1$

  Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ và $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$

  •    TH1. Với $a=0$, ta thấy $\left\{ \begin{array}  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=0 \\  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f[x]=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} M=1 \\  {} m=0 \\ \end{array} \right.$ [không TMĐK]
  •    TH2. Với $a>0,$ ta có $\left\{ \begin{array}  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| a \right| \\  {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| a+1 \right| \\ \end{array} \right.$   mà $M\le 2m\Rightarrow \left| a+1 \right|\le 2\left| a \right|\Leftrightarrow a\ge 1$

  Kết hợp với điều kiện $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ 1;2;3 \right\}$

  •    TH3. Với $a