11:00:1408/06/2020
Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m [hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó] một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.
° Cách giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m
¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất
¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:
- Tính biệt số Δ
- Xét các trường hợp của Δ [nếu Δ có chứa tham số]
- Tìm nghiệm của phương trình theo tham số
* Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x2 - 2[m + 1]x + 3m - 5 = 0 [*]
° Lời giải:
- Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ'. Ta có:
Δ'= [-[m + 1]]2 – 3.[3m – 5]
= [m + 1]2 – 9m +15 > 0
= m2 + 2m + 1 – 9m + 15
= m2 – 7m + 16 > 0
= [m – 7/2]2 + 15/4 > 0
- Như vậy, Δ' > 0, ∀m ∈ R nên phương trình [*] luôn có 2 nghiệm phân biệt:
* Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx2 - 2[m - 2]x + m - 3 = 0 [*]
° Lời giải:
• TH1: Nếu m = 0 thay vào [*] ta được:
• TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ' như sau:
- Nếu
- Nếu
- Nếu
¤ Kết luận:
m > 4: Phương trình [*] vô nghiệm
m = 0: Phương trình [*] có nghiệm đơn x = 3/4.
m = 4: Phương trình [*] có nghiệm kép x = 1/2.
m < 4 và m ≠ 0: Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt
* Nhận xét: Như vậy các em cần lưu ý khi tham số nằm ở phần hệ số của ẩn bậc 2 thì ta phải xét thêm trường hợp hệ số ẩn bậc 2 bằng 0 trước khi tính biệt số Δ [Δ'].
- Thông thường, phương trình bậc 2 có chứa tham số thường đi kèm với nhiều bài toán phụ như: Tìm m để phương trình bậc 2 [ax2 + bx + c = 0] có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.
* Với
- Có nghiệm [có hai nghiệm] ⇔ Δ ≥ 0
- Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
- Nghiệm duy nhất [nghiệm kép] ⇔ Δ = 0
- Có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu
- Có 2 nghiệm trái dấu
- Có 2 nghiệm dương [x1, x2>0]
- Có 2 nghiệm âm [x1, x2 0
⇔ [-[m + 1]]2 – 3.[3m – 5] > 0
⇔ [m + 1]2 – 9m +15 > 0
⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
⇔ m2 – 7m + 16 > 0
⇔ [m – 7/2]2 + 15/4 > 0 [∀m ∈ R].
⇒ Phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là x1; x2 khi đó theo định lý Vi–et ta có:
- Theo bài toán yêu cầu PT có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3.x1, khi đó thay vào [1] ta có:
Thay x1, x2 vào [2] ta được:
* TH1: Với m = 3, PT[1] trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
* TH2: Với m = 7, PT[1] trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
⇒ Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.
• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện |x1 - x2| = k [với k ∈ R]. Các bước làm như sau:
Bước 1: Bình phương 2 vế phương trình: [x1 - x2]2 = k2 ⇔ [x1 + x2]2 - 4x1x2 = k2
Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 thay vào biểu thức trên được kết quả.
* Ví dụ: cho phương trình x2 - [2m - 1]x + m2 - 1 = 0 [m là tham số].
a] Tìm điều kiện m để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt
b] Xác định giá trị của m để hai nghiệm của pt đã cho thỏa [x1 - x2]2 = x1 - 3x2.
° Lời giải:
a] Ta có:
- Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi:
b] Phương trình có 2 nghiệm khi chỉ khi m α]
Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m
+] Với bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn α [x1 < x2