DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
14. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \[m\] để hàm số \[y = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + 3m} \right|\]có \[7\] điểm cực trị bằng
A. \[2\].
B. \[5\].
C. \[3\].
D. \[1\].
Lời giải
Xét hàm số \[y = f\left[ x \right] = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + 3m\].
TXĐ \[D = \mathbb{R}\].
Có \[y’ = 12{x^3} – 12{x^2} – 24x\], \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = – 1\\x = 2\end{array} \right.\]
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có \[3\] điểm cực trị.
Khi đó, hàm số \[y = \left| {f\left[ x \right]} \right|\] có \[7\] điểm cực trị khi phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có \[4\] nghiệm phân biệt bội lẻ \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m – 5 < 0\\3m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{5}{3}\].
Mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 1\].
Vậy tổng các giá trị nguyên của \[m\] bằng \[1\].
===========Lời giải của GV Vungoi.vn
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2}\] ta có
\[\begin{array}{l}f'\left[ x \right] = 12{x^3} - 12{x^2} - 24x\\f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\]
BBT:
Ta có đồ thị \[y = f\left[ x \right]\,\,\left[ C \right]\] như sau:
Để \[y = \left| {3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m} \right|\] có 5 điểm cực trị thì:
TH1: \[\left[ C \right]\] cắt đường thẳng \[y = - m\] tại 2 điểm phân biệt khác cực trị
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m > 0\\ - 32 0 \\ -1-m>0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m-20 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 18 giá trị nguyên của m. Chọn D.
| Ví dụ 5: Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số$y=f\left[ \left| x \right|+m \right]$ có 7 điểm cực trị A. 8. B. 9. C. 12. D. 13. |
Lời giải
Ta có: $y'=\left[ \left| x \right|+m \right]'.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=\frac{x}{\left| x \right|}.f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0\text{ } \\ f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0 \\\end{matrix} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f'\left[ x \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-2 \\ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=5\text{ } \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.$
Do đó $f'\left[ \left| x \right|+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|+m=-2 \\ \begin{array} {} \left| x \right|+m=2\text{ } \\ {} \left| x \right|+m=5 \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| x \right|=-2-m \\ \begin{array} {} \left| x \right|=2-m\text{ } \\ {} \left| x \right|=5-m \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.[*]$
Hàm số có 7 điểm cực trị khi [*] có 6 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} -2-m>0 \\ \begin{array} {} 2-m>0\text{ } \\ {} 5-m>0 \\ \end{array} \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m0 \\ S=2\left[ m-1 \right]>0\text{ } \\ P=2m>0\text{ } \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>2+\sqrt{3}.$
Kết hợp $\left\{ \begin{matrix} m\in \mathbb{Z}\text{ } \\ m\in \left[ -100;100 \right] \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 97 giá trị nguyên của m. Chọn C.
| Ví dụ 7: Cho hàm số $y=f\left[ x \right]=2{{x}^{3}}-3\left[ m+1 \right]{{x}^{2}}+6\left[ {{m}^{2}}-9 \right]x+4.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số$f\left[ \left| x \right| \right]$ có đúng 3 điểm cực trị? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. |
Lời giải
Để hàm số $f\left[ \left| x \right| \right]$ có đúng 3 điểm cực trị thì hàm số $y=f\left[ x \right]$phải có đúng 1 điểm cực trị có hoành độ dương.
Ta có: $f'\left[ x \right]=6{{x}^{2}}-6\left[ m+1 \right]x+6\left[ {{m}^{2}}-9 \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left[ m+1 \right]x+{{m}^{2}}-9=0\text{ }[*]$
Giả thiết bài toán thỏa mãn khi [*] có 2 nghiệm trái dấu hoặc [*] có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. TH1: [*] có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9