VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Giải và biện luận phương trình bậc nhất, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Giải và biện luận phương trình bậc nhất: Giải và biện luận phương trình bậc nhất. Phương pháp giải: a] a khác 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất x = − b. b] a = 0 và b khác 0: Phương trình vô nghiệm. c] a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x. BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m. Ta xét các trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Khi m khác ±1, ta có m2 − 1 khác 0 nên [2] có nghiệm. Đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Trường hợp 2: Khi m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình này có nghiệm đúng với mọi số thực x nên phương trình [1] cũng có nghiệm đúng với mọi số thực x. Trường hợp 3: Khi m = −1, phương trình [2] trở thành 0.x = −4. Phương trình này vô nghiệm nên phương trình [1] cũng vô nghiệm. Kết luận: Với m khác ±1: [1] có nghiệm duy nhất x = 2. Với m = −1: [1] vô nghiệm. Với m = 1: [1] có vô số nghiệm. Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình 2x + a. Phương trình trên được viết lại dưới dạng. Trường hợp 1: Nếu a khác 0 thì [2] ⇔ x = 2a. Trường hợp 2: Nếu a = 0 thì [2] ⇔ 0.x = 0, phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x. Kết luận: Với a khác 0 và a khác ±2 thì phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1. Với a = 0 thì phương trình có nghiệm đúng với mọi số thực x. Với a = ±2 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R. Phương trình đã cho viết dưới dạng [m3 + 1]x = m + 1 [2]. Do đó, phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm R ⇔ m3 + 1 = 0, m + 1 = 0 ⇔ m = −1. Vậy với m = −1 thì phương trình [1] có tập nghiệm là R. Ví dụ 4. Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x > 2. Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng x = 3m + 1. Phương trình [1] có nghiệm x > 2 khi và chỉ khi 3m + 1 > 2 ⇔ m > 1. Vậy m > 1 thỏa yêu cầu bài toán. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Giải và biện luận phương trình [m2 + 4]x − 3m = x − 3 [1]. Lời giải. Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng [m2 + 3]x = 3m − 3 [2]. Vì m2 + 3 > 0, với mọi giá trị thực của m nên phương trình [2] có 1 nghiệm duy nhất là x = 3m − 3. Bài 2. Giải và biện luận phương trình m[x − 2m] = x + m + 2 [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 1]x = 2m2 + m + 2 [2]. Với m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 5. Điều này vô lí, phương trình đã cho vô nghiệm. Với m khác 1, phương trình có nghiệm duy nhất là x = m − 1. Bài 3. Giải và biện luận phương trình m2x + 2 = x + 2m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − 1]x = 2m − 2. [2]. Với m khác ±1, phương trình [2] có nghiệm duy nhất x = 2m − 2. Với m = 1, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình đúng với mọi số thực x. Với m = −1, phương trình [2] trở thành 0.x = −4. Điều này vô lí nên phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 4. Giải và biện luận phương trình m2x + 1 = [m − 1] x + m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − m + 1]x = m − 1. [2]. Vì m2 − m + 1 khác 0, ∀x ∈ R nên phương trình [2] luôn có nghiệm duy nhất x = m − 1. Bài 5. Giải và biện luận phương trình m2x + 6 = 4x + 3m. [1]. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m2 − 4]x = 3m − 6. [2]. Với m khác ±2, phương trình [2] có nghiệm duy nhất x = 3m − 6. Với m = 2, phương trình [2] trở thành 0.x = 0. Phương trình đúng với mọi số thực x. Với m = −2, phương trình [2] trở thành 0.x = −12. Điều này vô lí nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 6. Tìm giá trị tham số m để phương trình m2[mx − 1] = 2m [2x + 1] [1] có tập nghiệm là R. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng. Phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm là R. Bài 7. Tìm giá trị tham số m để phương trình m[x − m + 3] = 2 [x − 2] + 6 [1], có tập nghiệm là R. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 2]x = m2 − 3m + 2. [2]. Phương trình [1] có tập nghiệm là R khi và chỉ khi phương trình [2] có tập nghiệm là R. Bài 8. Tìm giá trị tham số m để phương trình m[x − m + 3] = 2 [x − 2] + 6 [1] có nghiệm duy nhất. Phương trình [1] được viết lại dưới dạng [m − 2]x = m2 − 3m + 2. [2]. Phương trình [1] có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình [2] có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi và chỉ khi m − 2 khác 0 ⇔ m khác 2.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến [nghịch biến] = l.
Bước 1: Tính y'=f'[x].
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành [x1+x2 ]2 - 4x1.x2=l2 [2].
Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa [2] thành phương trình theo m.
Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện [1] để chọn nghiệm.
Kiến thức cần nhớ
Hàm đa thức bậc ba: y = f[x] = ax3+bx2+ cx + d [a ≠ 0] ⇒ f'[x]=3ax2+ 2bx + c
Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'[x]= 3ax2 + 2bx + c có
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.
Hướng dẫn
Ta có f'[x] = x2 - 4mx + 2m
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [x1 < x2] thỏa mãn |x1-x2 |=3
+ f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔
Theo Vi ét ta có
+ Với |x1-x2 | = 3 ⇔ [x1 + x1]2 - 4x1 x2 - 9 = 0
Vậy giá trị của m cần tìm là m=
Quảng cáo
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + [m-1]x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1
Hướng dẫn
Ta có f'[x]= -3x2 + 6x + m - 1
Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [x1 < x2] thỏa mãn |x1-x2 | > 1
+ f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2
Theo Vi ét ta có
+ Với |x1-x2 | > 1 ⇔ [x1+x2 ]2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4
Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4
Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +[m - 2] x2 + 1 có khoảng nghịch biến [x1;x2] và độ dài khoảng này bằng 1.
Hướng dẫn
Ta có y' = -4x3 + 2[m - 2]x
Để hàm số có khoảng nghịch biến [x1;x2] thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng [x1;0] và [x2; +∞]
Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng [x1;0] có độ dài bằng 1 hay x1 = -1
Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 [thỏa mãn]
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4
Quảng cáo
Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f[x] = [m + 1]x3 - 3[m+1]x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.
Hàm số đã cho xác định trên D = R.
Với m = -1. Khi đó hàm số trở thành y = -2x + 4 ; y' = -2 < 0 ∀x∈R, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m ≠ -1. Ta có f'[x]= 3[m+1]x2 - 6[m + 1]x + 2m
+ Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1 khi và chỉ khi f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn [x1;x2 ] thỏa mãn |x1 - x2 | ≥ 1
+ f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đồng biến trong đoạn[x1;x2 ]
Theo Viét ta có
+ Với |x1 - x2 | ≥ 1 ⇔ [x1 + x2 ]2 - 4x1 x2 - 1 ≥ 0
Đối chiếu điều kiện ta có m ≤ -9.
Câu 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + [m + 36]x - 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2.
Ta có f'[x] = 3x2 - 2mx + m + 36
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 [x1 < x2] thỏa mãn |x1 - x1 |= 4√2v
+ f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2
Theo Vi ét ta có
+ Với |x1 - x2 |= 4√2 ⇔ [x1+x2 ]2 - 4x1 x2 - 32 = 0
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 15; m = -12
Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn
Hàm số đã cho xác định trên D = R.
Ta có f'[x]= 3x2 + 6x + m; Δ' = 9 - 3m
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2 khi và chỉ khi f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x1 [x1 < x2] thỏa mãn |x1 - x2 |< 2√2
+ f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 9 - 3m > 0 m < 3
Theo định lý Vi – ét ta có:
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2√2
⇔ l =|x1 - x2 | < 2√2 ⇔[x1 - x2 ]2 = 8 ⇔[x1 + x2 ]2 - 4x1 x2 = 8 ⇔ 4 - 4/3 m=8 ⇒ m = -3.
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = -3
Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + x2 - [2 - m]x + 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
Hàm số đã cho xác định trên D = R.
Ta có f'[x] = -3x2 + 2x - 2 + m; Δ' = -5 + m
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2khi và chỉ khi f'[x]= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 [x1 < x2] thỏa mãn |x1-x2 | = 2
+ f'[x] = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= -5 + m > 0 ⇔ m > 5
Theo định lý Viét ta có:
Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ⇔ l =|x1 - x2 |= 2 ⇔[x1 - x2 ]2 = 4
Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 14/3
Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x3 + 3[m - 1]x2 + 6[m - 2]x + 2017 nghịch biến trên khoảng [a;b] sao cho b - a > 3.
Ta có y' = 6x2 + 6[m - 1]x + 6[m - 2]
Hàm số nghịch biến trên [a;b] ⇔ x2 + [m - 1]x + [m - 2] ≤ 0 ∀ x ∈[a; b]
Δ = m2 - 6m + 9
TH1: Δ ≤ 0 ⇒ x2 + [m - 1]x + [m - 2] ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇒Vô lí
TH2: Δ > 0 ⇔ m ≠ 3 ⇒ y' có hai nghiệm x1,x2 [x2 > x1 ]
⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên [x1;x2 ].
Yêu cầu đề bài: ⇔ x2 - x1 > 3 ⇔ [x2 - x1 ]2 > 9 ⇔ [x1 + x2 ]2 - 4[x1.x2]>9
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
tinh-don-dieu-cua-ham-so.jsp