Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên R

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Lý thuyết cần nhớ: Cho hàm số y = f[x,m] có tập xác định D, khoảng [a;b]⊂D:

Hàm số nghịch biến trên [a;b] ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ [a;b]

Hàm số đồng biến trên [a;b] ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ [a;b]

Ghi nhớ: f'[x] = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K.

Chú ý: Riêng hàm số thì:

Hàm số nghịch biến trên [a;b] ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ [a;b]

Hàm số đồng biến trên [a;b] ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ [a;b]

Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến [hoặc nghịch biến] trên khoảng [a;b]:

Bước 1: Đưa bất phương trình f'[x] ≥ 0 [hoặcf'[x] ≤ 0], ∀ x ∈ [a;b] về dạng g[x] ≥ h[m] [hoặc g[x] ≤ h[m]], ∀ x ∈ [a;b].

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g[x] trên [a;b].

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

Dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức g[x] = ax2 + bx + c [a ≠ 0]

Nếu hàm số f[x] có giá trị nhỏ nhất trên tập D, thế thì:

.

Nếu hàm số f[x] có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì:

.

Ví dụ 1: Hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là:

A. m ≤ 1

B. m ≥ 3

C. -1 ≤ m ≤ 3

D. m < 3

Lời giải

Chọn B

Tập xác định D = R

Tính đạo hàm y' = 3x2 + 6x + m

Để hàm số đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 ⇔ 3x2 + 6x + m ≥ 0 với mọi x ∈ R [*]

⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ 9 - 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị m để hàm số y = mx3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên [-3;0] là

Lời giải

Chọn A

TXĐ: D = R

Ta có y' = 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng [-3;0] khi và chỉ khi:

y' ≥ 0, ∀ x ∈ [-3;0] [Dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm trên [-3;0]]

Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải

Chọn C

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

y' > 0; ∀ x ∈ D ⇔ -m2 - m + 2 > 0 ⇔ -2 < m < 1

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số

đồng biến trên R.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

TXĐ: D = R

Để hàm số y = f[x] đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 với mọi x ∈ R

Bài 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đồng biến trên R.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có: y' = x2 + 2mx + 4

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' ≥ 0, ∀ x ∈ R.

⇔ Δ' = m2-4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

đồng biến trên [1;+∞]

A. m > 2.

B. m ≤ 2.

C. m < 1.

D. m ≥ 1.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn D

TXĐ: D = R

Hàm số đồng biến trên khoảng [1;+∞] ⇔ y' ≥ 0; ∀ x ∈ [1;+∞]

Ta có y' = x2 + 2[m - 1]x + 2m - 3 = [x + 1][x + 2m - 3] ≥ 0; ∀ x ∈ [1;+∞]

Do x > 1 nên [x + 1] > 0, nên [x + 2m - 3] ≥ 0 với mọi x > 1.

2m - 3 ≥ -x; ∀ x > 1 ⇔ 2m - 3 ≥ -1 ⇔ m ≥ 1.

Bài 4: Cho hàm số

. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có y' = -x2 + 2mx + 3m + 2.

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y' ≤ 0, ∀ x ∈ R

Bài 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = -x4 + [2m - 3]x2 + m nghịch biến trên khoảng [1;2] là

tối giản và q > 0. Hỏi tổng p + q là?

A. 5.

B. 9.

C. 7.

D. 3.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

Tập xác định D = R.

Ta có y' = -4x3 + 2[2m - 3]x.

Hàm số nghịch biến trên [1;2] ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ [1;2].

⇔ -4x3 + 2[2m - 3]x ≤ 0, ∀ x ∈ [1;2] ⇔ -4x2 + 4m - 6 ≤ 0, ∀ x ∈ [1;2] [do x > 0]

Lập bảng biến thiên của g[x] trên [1;2]. g'[x] = 2x = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên

Vậy p + q = 5 + 2 = 7.

Bài 6: Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

A. 1 < m < 2.

B. 1 ≤ m ≤ 2.

C. m ≥ 2 hoặc m ≤ 1.

D. m > 2 hoặc m < 1.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

Bài 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng [2;+∞]

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn D

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

Do tan⁡x là hàm đồng biến trên khoảng nên ycbt ⇔ hàm số đồng biến trên khoảng [0;1]

Bài 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên [-1;1].

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng [-1;1] khi hàm số đồng biến trên khoảng

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = [m - 3]x - [2m + 1]cos⁡x luôn nghịch biến trên R?

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: D = R.

Ta có: y' = m - 3 + [2m + 1]sin⁡x

Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ [2m + 1]sin⁡x ≤ 3-m, ∀ x ∈ R

Trường hợp 1:

. Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.

Trường hợp 2:

Trường hợp 3:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp