Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[\left[ {2m - 4} \right]x = m - 2\] có nghiệm duy nhất.
A.
B.
C.
D.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[ \left[ {{m^2} + m} \right]x = m + 1 \] có nghiệm duy nhất \[x = 1 \].
A.
B.
C.
D.
TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 1 Chuyên đề 5: PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chuyên đề:Tìm giá trị của tham số m để phƣơng trình f[x] = m có nghiệm 1/Các bƣớc giải bài toán:Tìm giá trị của tham số m để phương trình f[x] = m [1] có nghiệm Bƣớc 1: Nêu tập xác định của phương trình,giả sử x D. Bƣớc 2 : Đặt ẩn phụ t = g[x] [nếu cần]-Tìm điều kiện thích hợp đối với ẩn phụ t . Thực chất ở bước này là tìm gtln, gtnn của hàm số t = g[x] .Chẳng hạn: t ; ,Với x D Bƣớc 3: -Biến đổi đưa phương trình đã cho thành phương trình ẩn t .Ta gọi là phương trình [2] - Lập luận:Tìm m để phương trình [1] có nghiệm x D tương đương tìm m để phương trình [2] có nghiệm t ; Bƣớc 4: Tiến hành tìm m để phương trình [2] có nghiệm thỏa mãn t ; . - Phương trình f[t] = m có nghiệm t ; Khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f[t] Tức là : Minf[t] m Maxf[t] Với t ; . Nghĩa là ở bước này ta lại phải tìm gtln,gtnn của hàm số y = f[t] ứng với t ; * Đối với những bài toán không cần phải đặt ẩn phụ thì tất nhiên không có hai bước 2 và 3. Sau khi nêu tập xác định của phương trình,tiến hành:Tìm m để phương trình f[x] = m có nghiệm x D. -Tìm tập giá trị của hàm số y = f[x]. -Để phương trình f[x]=m có nghiệm ,điều kiện: m phải thuộc tập giá trị của hàm số y = f[x] . 2/Ví dụ : Bài toán 1 : [Thi chọn giáo viên giỏi Trường THPT Tân Kỳ I – năm học 2008-2009 ] Cho phương trình : + 2 +6 + 2 12 + 42 + 5 – m = 0 [1] 1]Giải phương trình với m = 17 2] Tìm giá trị thực của m để phương trình [1] có nghiệm Hƣớng dẫn : 2] .Tìm m để phương trình [1] có nghiệm : -Điều kiện - 2 x 6 - Đặt t = + 2 +6 Thì ta có: 22] t 4 [Để có kết quả này ,có thể dùng bđt côsy,có thể dùng Bđt Bunhiacopxky, có thể dùng công cụ đạo hàm để tìm gtln, gtnn của hàm số t = g[x] = + 2 +6 ] Nghĩa là “Kính thưa các kiểu”.Làm theo cách nào cũng được, miễn làm sao nhanh chóng đi đến kết quả . -Phương trình trở thành: f[t] = t2 + t - 3 = m [2] - Tìm m để phương trình [1] có nghiệm thỏa mãn - 2 x 6 tương đương Tìm m để phương trình [2] có nghiệm t thỏa mãn 22] t 4 -Ta tìm được gtln, gtnn của hàm số y = f[t] = t2 + t – 3 ứng với 22] t 4 . - Hàm số y = f[t] đồng biến trên 22 ; 4 . Do đó gtnn Minf[t] = f[22 ] = 5 + 22 và gtln Maxf[t] = f[4] = 17.Suy ra: Để phương trình đã cho có nghiệm, điều kiện : 5 + 22] m 17 Bài toán 2 :Tìm giá trị của m để phương trình : x +1 – m.2+ 1 = 0 [1] có nghiệm Hƣớng dẫn : -Tập xác định của phương trình :x R - Viết phương trình thành : f[x] = +12+1 = m [2] - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, suy ra kết quả Bài toán 3 : Tìm giá trị thực của m để phương trình : cos2x + 6cosx + 2[1 – m] = 0 [1] có nghiệm x 6 ;3 TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 2 Hƣớng dẫn : Cách giải 1 :-Đặt t = cosx , ta có x 6 ;3 thì 12 1 [ Nhiều người nhầm đk của t .Hãy vẽ vòng tròn lượng giác, thì thấy ngay đk của t như trên.] -Ta có pt ẩn t : f[t] = 2t2 + 6t + 1 = 2m [2] - Phương trình [1] có nghiệm x 6 ;3 khi và chỉ khi pt [2] có nghiệm t thỏa mãn 12 1 - Hàm số y = f[t] = 2t2 + 6t + 1 đồng biến với: 12 1 Do đó: Minf[t] = f[12 ] = 92 và Maxf[t] = f[1] = 9. -Suy ra pt có nghiệm khi và chỉ khi : 92 2 9 Tức là : 94 92 Cách giải 2 : Phương trình cos2x + 6cosx + 2[1 – m] = 0 -Viết thành : f[x] = cos2x + 6cosx + 2 = 2m . -Tính đạo hàm,Thấy:f‟[x] = - 2sin2x – 6sinx = -2sinx.[3 + 2cosx] = 0 khi x = 0 [ Nhớ là x 6 ;3 ] f‟[x] 0 khi x 6 ;0 và f‟[x] 0 khi x 0 ;3 -Như vậy trên đoạn: x 6 ;3 hàm số chỉ có một cực đại và không có cực tiểu Do đó : Maxf[x] = ycđ = f[0] = 9 và Minf[x] = Min [ 6] ;[3] = f [3 ] = 92 . [ Vì ta có f[ 6] = 52 + 33 f[3 ] = 92 ] -Suy ra :Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : : 92 2 9 Tức là : 94 92 Chú ý : Nếu bài toán 3 có thêm câu :Giải phương trình khi m = m0 [Với m0 là giá trị đã cho ] thì phải giải cách1, không nên giải như cách giải 2 Bài toán 4:Tìm giá trị của mR để phương trình: x2 + cosx2 – [m + 1] = 0 có nghiệm x 0 ;2 Hƣớng dẫn : -Viết phương trình thành f[x] = x2 + cosx2 – 1 = m - Tính đạo hàm: f‟[x] = 2x – 2x.sinx2 = 2x [ 1 – sinx2 ] .Thấy f‟[x] 0 , x 0 ;2 . - Suy ra :Trên 0 ;2 hàm số đồng biến. Do đó : Minf[x] = f[0] = 0 và Maxf[x] = f[2 ] = 4 + cos4 – 1 = 4 + 22 – 1 = 2+224 Suy ra : Phương trình có nghiệm x 0 ;2 Khi và chỉ khi 0 m 2+224 Chú ý: Từ việc giải bài toán :Tìm m để phương trình f[x] = m có nghiệm, x [; ] Có thể suy ra cách giải bài toán tìm giá trị của m để phương trình f[x] = m không có nghiệm x [a;b] -Phương trình f[x] = m không có nghiệm x [a;b] Khi m không thuộc tập giá trị của hàm số ứng với x [a;b] -Chẳng hạn ở bài tập 4, Thay câu hỏi thành ;Tìm m để phương trình không có nghiệm x0 ;2 Thì kết quả : m không thuộc 0 ; 2+224 [ Tức là m 2+224 ] TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 3 BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 1/ Xác định m để pt sau có nghiệm: m[1 + 2 – 1 2 +2] = 21 4 + 1 + 2 – 1 2 [1] Hd: t = 1 + 2 – 1 2 đk: -1 x 1 thì 0 t2 ,ta có t2= 2 - 21 4 nên 1 4 = 222 Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t2 + t Hay là f[t] = 2++2+2 = m [2] -Tìm Max ,Min của f[x] trên 0;2.Đk Min f[x] m Max f[x] 2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 22 2 1x mx x [1] Hd: x - 12 Bình phương hai vế viết pt thành: f[x] = 32+41 = m [2] -Hàm số f[x] đồng biến với mọi x : 012 Do đó pt có 2 nghiệm khi m f[- 12] = 92 3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực : 243 1 1 2 1x m x x [1] Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho + 1 > 0 , được : 3[ 1+14 ]2 + m = 2. 1+14 - Đặt t = 1+14 ta có 0 t 1 được phương trình f[t] = - 3t2+ 2t = m [2] - Pt [1] có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt [2] có nghiệm t/mãn: 0 t 1. Đkiện Minf[x] Maxf[x] Ta thấy trên nửa đoạn 0; 1] hàm số f[t] có Max= f[13 ] và không có Min Do đó suy ra : f[1] m f[13] Tức là : - 1 m 13 [chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1] 4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 22 8 [ 2]x x m x [1] Hd: Đk x 2 .Viết pt thành [x -2]2 + 6[x-2] = . 2 = 3+ 6= =2 0 [2] -P/trình [1] có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình [2] có 2 nghiệm thực t/mãn t 0 Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t2 + 2 [Do t = 2 ] 5/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 2[ 1][3 ] 2 3x x x x m [1] Hd: Đkiện: – 1 x 3 .Viết p/trình thành 2+ 2+ 3 = 223 + 3m + 3 . Đặt t = 2+ 2+ 3 Thì 0 2 Ph/trình trở thành : - t2 + t = 3m + 3 f[t] = - 13 t2 + 13 t - 1 = m [2] -P/trình [1] có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình [2] có nghiệm t/mãn 0 2 - Ta có trên 0; 2:Maxf[t] = f[12] = - 1112 ; Minf[t] = f[2] = - 53 .Do đó p/trình có nghiệm khi: - 53 m - 1112 6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm : 224 5 4x x m x x [1] Hd: txđ: R Viết p/trình : x2 – 4x + 5 + 24+ 5 - 5 = m .Đặt t = 24+ 5 [*] , t 1. -Ta có p/trình : f[t] = t2 + t – 5 = m [2] - P/trình [1] có hai nghiệm khi p/trình [2] có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả mãn t 1 thay vào [*] ta được hai giá trị x thuộc R,[với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2].Từ đó suy ra : m f[1] = - 3 m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm . 7/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 3 6 [3 ][6 ]x x x x m [1] TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 4 Hd: Đkiện: – 3 x 6 Đặt t = 3 + + 6 thì 0 t 6 ; Ta có : 3 + [6 ] = 292 . Do đó ta có pt : f[t] = 12 t2 – t - 92 = m [2] -Để pt [1] có nghiệm : – 3 x 6 thì pt [2] phải có nghiệm t thoả mãn 0 t 6 Điều kiện m phải thuộc tập giá trị của hàm số ,với 0 t 6 .Tức là Minf[t] m Maxf[t] .Với 0 t 6 . Ta có Minf[t] = f[1] = -5 và Maxf[t] = f[6] = 3262 .Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m 3262 8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm : 4413 1 0x x m x [1] Hd: -Viết pt thành 413+ 4 = 1 – x .Đkiện : x 1 - Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x4 – 13x + m = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 Hay là f[x] = – 4x3 + 6x2 + 9x + 1 = m . [2] -Tính đạo hàm f „[x] = - 12x2 +12x +9 = 0 khi x1 = - 12 , x2= 32 … [Lập bảng biến thiên] - Suy ra :Để pt [1] có đúng một nghiệm thì m f[1] = 9 [lúc m f[1] = 9 mặc dù pt [2] có hai nghiệm nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1] Vậy m 9 9/ Xác định m để pt sau có nghiệm : 22+ = 3 - x Hd: Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x2 + mx = x2 – 6x + 9 - x2 - 6x + 9 = mx -Chia hai vế cho x 0 được pt : f[x] = 26+9 = m f[x] = - x – 6 + 9 = m ,có f „[x]= -1- 92 0 với 30 Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m R 10/ Xác định m để pt sau có nghiệm : mxxxx 1122 Hd: Txđ : R .Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f[x] = 2+ + 1 - 2+ 1 để suy ra kết quả mong muốn 11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 3221 2 1x x m [1] Hd: Đkiện: – 1 x 1 .Đặt t = 1 26 thì 0 t 1 p/trình trở thành : f[t] = t3 + 2t2 = m [2] -Pt [1] có nghiệm thoả mãn – 1 x 1 pt [2] có nghiệm thoả mãn 0 t 1 . - Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả. 12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 341 2 [1 ] 2 [1 ]x x m x x x x m 13/ Xác định m để pt sau có nghiệm: + 9 = 2+ 9 + m [1] Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t = + 9 thì 0 t 3 .Vì t2 = 9 + 22+ 9 2+ 9 = 292 Ta có ptrình : t = 292 + m . Hay là f[t] = - 22 + t + 92 = m [2] -Tìm m để pt [1] có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt [2] có nghiệm 0 t 3 -Đ/kiện : Minf[t] m Maxf[t] trên 0; 3.Ta có Minf[t] = f[3] = 3 , Maxf[t] = f[1] = 5. Vậy 3 m 5 Thì pt đã cho có nghiệm . 14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:[m – 4]9x –2[m -2]3x + m – 1=0 [1] Hd: Txđ : R . -Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt .Do đó viết pt thành : m = 4.94.3+192.3+1 m = [2.3x1]2[3x1]2 .[*] Suy ra :- Đk cần : m 0 . TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƢƠNG NGHỆ AN – GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 5 -Đk đủ:Từ pt [*] có = 2 +131 = 2 + 131 = 2 131 3 = 1 23 = +1 + 2 [vì 3> 0 ] 0;1 4 ;+∞] 0 - Vậy m 0 ; + ∞] thì pt có nghiệm 15/Cho phương trình : 4122112= m với m là tham số. [1] - Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm. Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 212thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f[t] = t2 - 2 = m [2] - Tìm m để pt [1] có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt [2] có nghiệm t thoả mãn 1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên 1 ; 2 thì Minf[t] m Maxf[t] . – Ta có f „[t] = 2t + 22 0 với mọi t thuộc 1 ; 2 Suy ra Minf[t] = f[1] = - 1 Maxf[t] = f[2] = 3. -Vậy -13 thì pt có nghiệm 16/ Cho phương trình : 22+1 2+3 2 = 0 [1] a]Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt b]Giải phương trình với m=32 Hd: -Đặt t = 2x, t 0 Viết pt thành f[t] = t2 – 4t = m [2] – P/trình [1] có 2 nghiệm phân biệt khi pt [2] có 2 nghiệm dương phân biệt .Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho một giá trị x .[ x = log2 suy ra từ t = 2x ] – Dựa vào đồ thị [ hoặc bbt ] ta có : f[2] = - 4 m 0 [Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f[t] = t2 – 4t tại hai điểm với hoành độ dương ] - Đón đọc kỳ tới với chủ đề : Tìm giá trị của tham số m R để Bất phƣơng trình: f[x] > m ; f[x] m ; f[x]< m ; f[x] m có nghiệm x ;