O2 Education xin giới thiệu cùng thầy cô và các em học sinh 1000 bài tập tổ hợp xác suất có lời giải. Các bài toán được chúng tôi sưu tầm từ các đề thi HSG, đề thi ĐHCĐ, đề thi tốt nghiệp, đề thi THPTQG và đề thi thử của các trường trên cả nước.
Các đề bài được chúng tôi cập nhật thường xuyên, một số câu hỏi do chưa có thời gian nên chúng tôi sẽ bổ sung lời giải sau.
Mời thầy cô và các em học sinh xem thêm
- Hoán vị – Tổ hợp – Chỉnh hợp
- Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton
Câu 1. [SGD Hà Nam 2018] Xếp ngẫu nhiên 3 quả cầu màu đỏ khác nhau và 3 quả cầu màu xanh giống hệt nhau vào một giá chứa đồ nằm ngang có 7 ô trống, mỗi quả cầu được xếp vào một ô. Xác suất để 3 quả cầu màu đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn. Phép thử chính là việc “chọn 3 trong 7 vị trí để sắp xếp các quả cầu màu đỏ khác nhau, rồi chọn 3 trong bốn vị trí còn lại để đặt các quả cầu màu xanh giống nhau”, nên không gian mẫu có số phần tử là
\[ n[\Omega]=A^3_7\cdot C^3_4 \] Gọi $ A $ là biến cố “3 quả cầu màu đỏ xếp cạnh nhau và 3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau”. Khi đó, ta coi “3 quả cầu màu xanh xếp cạnh nhau” chỉ là 1 phần tử, và “3 quả cầu màu đỏ xếp cạnh nhau” cũng là một phần tử. Bài toán trở thành sắp xếp hai phần tử khác nhau này vào hai trong ba vị trí, nên có $ A^2_3 $ cách. Tuy nhiên, vì các quả cầu màu đỏ khác nhau nên khi hoán vị chúng, ta được các kết quả khác nhau. Do đó, số phần tử thuận lợi của biến cố $ A $ là \[ n[A]=A^2_3\cdot 3! \] Từ đó tìm được xác suất $ P=\frac{3}{70}. $
Câu 2. [SGD Nam Định 2018] Một nhóm có 7 học sinh trong đó có 3 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh trên thành một hàng ngang sao cho các học sinh nữ đứng cạnh nhau?
Hướng dẫn. Coi như bốn học sinh nữ ngồi chung một ghế, còn ba học sinh nam mỗi em ngồi một ghế. Ta thực hiện hai bước như sau:
- Sắp xếp 4 học sinh nữ vào một ghế, có $ 4!=24$ cách.
- Sắp xếp bốn chiếc ghế, một chiếc của nhóm học sinh nữ và ba chiếc của ba học sinh nam, có $ 4!=24$ cách.
Theo quy tắc nhân, có tất cả $ 24\cdot 24=576$ cách.
Câu 3. [SGD Thanh Hóa 2019] Gọi $ S $ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số$ 1,2,3,4,5,6,7,8,9. $ Lấy ngẫu nhiên một số thuộc $ S $. Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho $ 11 $ và tổng bốn chữ số của nó cũng chia hết cho $ 11 $.
Hướng dẫn. Không gian mẫu có $ \mathrm{A}^4_9=3024 $ phần tử. Giả sử số cần lập là $ \overline{abcd}$ thì ta có \begin{align} \overline{abcd}&=1000a+100b+10c+d\\ & =\left[1001a+99b+11c\right] -a+b-c+d
\end{align} Chú ý rằng $ \left[1001a+99b+11c\right] $ chia hết cho $ 11 $ nên $ \overline{abcd} $ chia hết cho $ 11 $ khi và chỉ khi $ \left[-a+b-c+d\right] $ phải chia hết cho $ 11 $.
Nhưng theo giả thiết thì $ a+b+c+d $ cũng chia hết cho $ 11 $. Từ đây suy ra cả $ a+c $ và $ b+d $ cùng chia hết cho $ 11. $
Mà, các cặp có tổng chia hết cho $ 11 $ là $[2 ; 9],[3 ; 8],[4 ; 7] ;[5 ; 6]$. Suy ra, số phần tử thuận lợi là $$n[A]=4 \cdot 3 \cdot 2 ! \cdot 2 !=48$$ Từ đó tìm được xác suất là $ \frac{1}{63}. $
Câu 4. Từ các chữ số $ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 $ có thể lập được bao nhiêu nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số dạng $ \overline{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} $ sao cho $ a_1