Bài tập trọng tâm
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oij, cho A[2;3], B[4;1]. Tính chu vi và diện tích của tam giác OAB.
Hướng dẫn:
.png]
Bằng định lí Pytago, ta dễ dàng tính được \[OA=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\]
\[OB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\]
\[AB=2\sqrt{2}\]
Vậy chu vi tam giác ABC là:
\[P=AB+AC+BC=\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}\approx 10,56\]
Khi có 3 cạnh của tam giác ABC, ta nghĩ ngay đến công thức tính diện tích tam giác bằng Hê rông.
Cụ thể là: Gọi p là nửa chu vi của tam giác
\[p=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}}{2}\]
Khi đó, diện tích tam giác bằng:
\[S=\sqrt{p[p-AB][p-AC][p-BC]}=5\]
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho đúng thứ tự C, D, E, B và chia góc A thành ba góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ADE.
Hướng dẫn:
.png]
Ta có hình vẽ sau:
Dễ thấy rằng \[\widehat{BAC}\] được chia thành ba góc bằng nhau nên \[\widehat{DAE}=\frac{90^o}{3}=30^o\]
Xét hai tam giác CAD và BAE có:
\[\left\{\begin{matrix} AB=AC=a\\ \widehat{CAD}=\widehat{EAB}=30^o\\ \widehat{ACD}=\widehat{ABE}=45^o \end{matrix}\right.\]
Vậy, \[\Delta CAD=\Delta BAE[g.c.g]\]
\[\Rightarrow AD=AE\]
\[\Rightarrow \Delta ADE\] cân tại A.
\[\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^o-30^o}{2}=75^o\]
Bài 3: Cho tam giác ABC có độ lớn các cạnh a, b, c lần lượt là 10, 13, 16 và G là trọng tâm tam giác ABC. Hãy tính độ lớn của đoạn AG.
Hướng dẫn:
.png]
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến từ đỉnh A trong tam giác ABC, ta có:
\[AD=\sqrt{\frac{13^2+16^2}{2}-\frac{10^2}{4}}=\frac{5\sqrt{30}}{2}\]
Mặc khác, theo tính chất trọng tâm, ta có:
\[AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.\frac{5\sqrt{30}}{2}=\frac{5\sqrt{30}}{3}\]
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c và diện tích S. Nếu tăng a lên 2 lần, tăng b lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích mới sẽ thay đổi như thế nào? Từ đó, hãy chia tỷ lệ tam giác mới bằng đúng bấy nhiêu lần diện tích tam giác cũ, nêu rõ cách chia.
Hướng dẫn:
Ta có, diện tích S của tam giác ABC được tính bởi công thức:
\[S=\frac{1}{2}absinC\]
Mà giá trị của góc C không thay đổi
Nên khi a tăng 2 lần, b tăng 3 lần, ta nhận được tam giác mới có diện tích bằng 6 lần diện tích của tam giác ban đầu.
Các đề kiểm tra Hình học 10 chương 2 sẽ được TOANMATH.com cập nhật thường xuyên nhằm giúp quý thầy, cô giáo tham khảo, lên ý tưởng trước khi ra đề và giúp các em học sinh thử sức, nắm vững được các dạng bài thường gặp trước kỳ kiểm tra.
Để giúp các em học sinh lớp 10 hệ thống lại toàn bộ kiến thức trọng tâm học trong chương 2, chúng tôi xin giới thiếu Hướng dẫn giải chi tiết Phần Ôn tập chương 2 SGK Toán lớp 10, mời các em học sinh và thầy cô tham khảo dưới đây.
Hướng dẫn giải chi tiết Phần Ôn tập chương 2 - Toán lớp 10
Nội dung lời giải bao gồm các câu hỏi lý thuyết, bài tập ứng dụng phần đại số và hình học.
Ôn tập chương 2 - Phần Đại số
Phần bài tập:
Bài 1 [trang 50 SGK Đại số 10]:
Phát biểu quy ước về tập xác định của một hàm số cho bởi công thức.
Từ đó hai hàm số
có gì khác nnhau?
Hướng dẫn giải chi tiết:
- Tập xác định của hàm số cho bởi công thức y = f[x] là tập hợp các giá trị của x sao cho biểu thức f[x] có nghĩa.
- Với quy ước đó:
Vậy tập xác định của hàm số là D = R
Kết luận: Hai hàm số
và
có tập xác định khác nhau.
Kiến thức áp dụng
+ Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.
+ Hàm căn thức xác định khi biểu thức trong căn ≥ 0.
Bài 2 [trang 50 SGK Đại số 10]:
Thế nào là hàm đồng biến [nghịch biến] trên khoảng [a; b] ?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Cho hàm số y = f[x] xác định trên khoảng [a; b].
+ Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a; b] nếu:
x1 < x2 ⇔ f[x1] < f[x2] ∀ x1, x2 ∈ [a; b]
+ Hàm số y = f[x] nghịch biến trên khoảng [a; b] nếu:
x1 < x2 ⇔ f[x1] > f[x2] ∀ x1, x2 ∈ [a; b]
Bài 3 [trang 50 SGK Đại số 10]:
Thế nào là một hàm số chẵn ? Thế nào là một hàm số lẻ ?
Lời giải:
– Hàm số y = f[x] có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn hai điều kiện:
+ ∀ x ∈ D thì –x ∈ D
+ f[–x] = f[x].
– Hàm số y = f[x] có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu thỏa mãn hai điều kiện:
+ ∀ x ∈ D thì –x ∈ D
+ f[–x] = –f[x].
Bài 4 [trang 50 SGK Đại số 10]:
Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số : y = ax + b, trong mỗi trường hợp a > 0 ; a < 0.
Hướng dẫn giải chi tiết:
- Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên khoảng [-∞; +∞] hay đồng biến trên R.
- Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên khoảng [-∞; +∞] hay nghịch biến trên R.
.........
Lý thuyết Ôn tập chương 2 Đại Số
HÀM SỐ
- SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1. Ôn tập
Hàm số y = f[x] gọi là đồng biến [tăng] trên khoảng [a ; b] nếu
∀x1, x2 ∈ [a ; b] : x1 < x2 => f[x1] < f[x2]
Hàm số y = f[x] gọi là nghịch biến [giảm] trên khoảng [a ; b] nếu
2. Bảng biến thiên
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số [đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào].
II. TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số với tập xác định gọi là hàm số chẵn nếu
∀x ∈ D thì -x ∈ D và f[x] = f[-x]
Hàm số với tập xác định gọi là hàm số lẻ nếu
∀x1, x2 ∈ [a ; b] : x1 < x2 => f[x1] > f[x2]
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
HÀM SỐ y = ax + b
- ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT
y = ax + b [ a ≠ 0 ].
Tập xác định D = R
Chiều biến thiên
Với a > 0 hàm số đồng biến trên
Với a < 0 hàm số nghịch biến trên
Bảng biến thiên
.............................
Ôn tập chương 2 - Phần Hình học
Phần bài tập:
Bài 1 [trang 62 SGK Hình học 10]:
Hãy nhắc lại định nghĩa giá trị lượng giác của một góc α với 0o ≤ α ≤ 180o. Tại sao khi α là các góc nhọn thì giá trị lượng giác này lại chính là các tỉ số lượng giác đã được học ở lớp 9?
Hướng dẫn giải chi tiết:
- Trên nửa đường tròn lượng giác nằm phía trên trục hoành, xác định điểm M[x0; y0] sao cho
Khi đó ta có:
sin α = y0
cos α = x0
tan α = y0 / x0
cot α = x0 / y0
- Gọi E, F là hình chiếu của M trên Oy, Ox.
Khi α < 90º thì x0 > 0, y0 > 0
Bài 2 [trang 62 SGK Hình học 10]:
Tại sao hai góc bù nhau lại có sin bằng nhau và coossin đối nhau?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Gọi M[xo; yo] nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM = α
Khi đó điểm M'[-xo; yo] trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ∠xOM' = 180o - α [tức là ∠xOM' là bù với ∠xOM = α]
Do đó:
sinα = yo = sin[180o - α]
cosα = xo = -[-xo] = -cos[180o - α]
Bài 3 [trang 62 SGK Hình học 10]:
Nhắc lại định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ a→ và b→. Tích vô hướng này với |a→| và |b→| không đổi đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi nào?
Hướng dẫn giải chi tiết:
Tích vô hướng của hai vec tơ a→ và b→:
+ a→.b→ đạt giá trị lớn nhất bằng
+ a→.b→ đạt giá trị nhỏ nhất bằng
..............
Lý thuyết tổng hợp chương 2 - Hình học:
Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0o đến 180o
1. Tính chất
Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu ∠ xOM = α thì ∠xON = 180o – α. Ta có yM = yN = yo, xM = –xN = xo. Do đó
sin α = sin[180o – α]
cos α = –cos[180o – α]
tan α = –tan[180o – α]
cot α = –cot[180o – α]
2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Trong bảng kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.