Toán 11 bài xác suất của biến cố năm 2024

Tài liệu gồm 18 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề xác suất của biến cố, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 2: Tổ Hợp Và Xác Suất.

Tài liệu được biên soạn bởi nhóm tác giả: PGS.TS Lê Văn Hiện, Trần Minh Ngọc, Nguyễn Hồng Quân, Nguyễn Đình Hoàn, Lý Công Hiếu, Nguyễn Văn Vũ, Nguyễn Đỗ Chiến, Nguyễn Ngọc Chi, Nguyễn Văn Ái, Nguyễn Hoàng Việt, Nguyễn Thị Thắm, Nguyễn Vũ Minh, Phan Xuân Dương, Nguyễn Hữu Bắc.

Kiến thức: + Hiểu được khái niệm biến cố và phân biệt được các biến cố giao, biến cố hợp, biến cố đối và biến cố độc lập. + HIểu được định nghĩa xác suất của biến cố và tính chất của xác suất. + Nắm vững công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất. Kĩ năng: + Tính được xác suất của biến cố trong các bài toán xác suất cổ điển. + Vận dụng quy tắc tính xác suất trong các bài toán thực tế.

1. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP. + Dạng 1: Sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất. + Dạng 2: Các bài tập sử dụng quy tắc tính xác suất. III. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI.

• Xác Suất

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Giả sử \[A\] là biến cố liên quan đến phép thử \[T\] và phép thử \[T\] có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số \[\frac{n[A]}{n[\Omega ]}\] là xác suất của biến cố \[A\], kí hiệu là

\[P[A]\] = \[\frac{n[A]}{n[\Omega ]}\]

Trong đó,

+] \[n[A]\] là số phần tử của tập hợp \[A\], cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \[T\] thuận lợi cho biến cố \[A\];

+] \[n[Ω]\] là số phần tử của không gian mẫu \[Ω\], cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \[T\].

Ví dụ:

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia hết cho \[3\].

Hướng dẫn:

Không gian mẫu \[\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\]

\[ \Rightarrow n\left[ \Omega \right] = 6\].

Biến cố \[A:\] Mặt xuất hiện có số chia hết cho \[3\].

Khi đó \[A = \left\{ {3;6} \right\}\]

\[ \Rightarrow n\left[ A \right] = 2\].

Vậy xác suất \[P\left[ A \right] = \frac{{n\left[ A \right]}}{{n\left[ \Omega \right]}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\].

2. Các tính chất cơ bản của xác suất

2.1 Định lí

1. \[P[\phi] = 0; P[Ω] = 1\].

1. \[0 ≤ P[A] ≤ 1\], với mọi biến cố \[A\].

1. Nếu \[A\] và \[B\] xung khắc với nhau, thì ta có

\[P[A ∪ B] = P[A] + P[B]\] [công thức cộng xác suất].

2.2 Hệ quả

Với mọi biến cố \[A\], ta luôn luôn có: \[P\][\[\overline{A}\]] = \[1 - P[A]\].

3. Hai biến cố độc lập

Định nghĩa

Hai biến cố [liên quan đến cùng một phép thử] là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia [nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia].

Định lí

Nếu \[A, B\] là hai biến cố [liên quan đến cùng một phép thử] sao cho \[P[A] > 0\],

\[P[B] > 0\] thì ta có:

1. \[A\] và \[B\] là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:

\[P[A . B] = P[A] . P[B]\]

Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.

1. Nếu \[A\] và \[B\] độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:

\[A\] và \[\overline{B}\], \[\overline{A}\] và \[B\], \[\overline{A}\] và \[\overline{B}\].

Ví dụ:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất các biến cố sau:

\[A:\] “Lần thứ nhất xuất hiện mặt \[4\] chấm”

\[B:\] “Lần thứ hai xuất hiện mặt \[4\] chấm”

Từ đó suy ra hai biến cố \[A\] và \[B\] độc lập.

Hướng dẫn

Không gian mẫu: \[\Omega = \left\{ {\left[ {i;j} \right],i,j \in \mathbb{Z},1 \le i \le 6,1 \le j \le 6} \right\}\]

\[ \Rightarrow n\left[ \Omega \right] = 6.6 = 36\].

Biến cố \[A:\] “Lần thứ nhất xuất hiện mặt \[4\] chấm”

\[A = \left\{ {\left[ {4;1} \right],\left[ {4;2} \right],\left[ {4;3} \right],\left[ {4;4} \right],\left[ {4;5} \right],\left[ {4;6} \right]} \right\}\]

\[ \Rightarrow n\left[ A \right] = 6\]

\[ \Rightarrow P\left[ A \right] = \frac{{n\left[ A \right]}}{{n\left[ \Omega \right]}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\].

Biến cố \[B:\] “Lần thứ hai xuất hiện mặt \[4\] chấm”

\[B = \left\{ {\left[ {1;4} \right],\left[ {2;4} \right],\left[ {3;4} \right],\left[ {4;4} \right],\left[ {5;4} \right],\left[ {6;4} \right]} \right\}\]

\[ \Rightarrow n\left[ B \right] = 6\]

\[ \Rightarrow P\left[ B \right] = \frac{{n\left[ B \right]}}{{n\left[ \Omega \right]}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\].

Gọi \[C = A.B\] là biến cố: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt \[4\] chấm”.

Khi đó \[C = \left\{ {\left[ {4;4} \right]} \right\}\]

\[ \Rightarrow P\left[ {A.B} \right] = \frac{{n\left[ C \right]}}{{n\left[ \Omega \right]}} = \frac{1}{{36}}\].

Dễ thấy \[P\left[ {A.B} \right] = P\left[ A \right].P\left[ B \right]\] nên \[A,B\] là hai biến cố độc lập.