Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 9 Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 7 trang 55: Giải các phương trình trùng phương:
a] 4x4 + x2 – 5 = 0;
b] 3x4 + 4x2 + 1 = 0.
Lời giải
a] 4x4 + x2 – 5 = 0;
Đặt x2 = t [t ≥ 0]. Phương trình trở thành:
4t2 + t – 5 = 0
Nhận thấy phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm
t1 = 1; t2 =[-5]/4
Do t ≥ 0 nên t = 1 thỏa mãn điều kiện
Với t = 1, ta có: x2 = 1 ⇔ x = ±1
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 = -1
b] 3x4 + 4x2 + 1 = 0
Đặt x2 = t [t ≥ 0]. Phương trình trở thành:
3t2 + 4t + 1 = 0
Nhận thấy phương trình có dạng a – b + c = 0 nên phương trình có nghiệm
t1 = -1; t2 = [-1]/3
Cả 2 nghiệm của phương trình đều không thỏa mãn điều kiện t ≥ 0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 7 trang 55: Giải phương trình
Bằng cách điền vào các chỗ trống […] và trả lời các câu hỏi.
– Điều kiện: x ≠ …
– Khử mẫu và biến đổi, ta được: x2 – 3x + 6 = … ⇔ x2 – 4x + 3 = 0.
– Nghiệm của phương trình x2 – 4x + 3 = 0 là: x1 = …; x2 = …
Hỏi x có thỏa mãn điều kiện nói trên không ? Tương tự, đối với x2 ?
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:….
Lời giải
– Điều kiện: x ≠ ±3
– Khử mẫu và biến đổi, ta được: x2 – 3x + 6 = x + 3 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0.
– Nghiệm của phương trình x2 – 4x + 3 = 0 là: x1 = 1; x2 = 3
x1 có thỏa mãn điều kiện nói trên
x2 không thỏa mãn điều kiện nói trên
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 7 trang 56: Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: x3 + 3x2 + 2x = 0.
Lời giải
x3 + 3x2 + 2x = 0 ⇔ x[x2 + 3x + 2] = 0
⇔ x = 0 hoặc x2 + 3x + 2 = 0 [1]
Giải phương trình [1] ta được các nghiệm x = -1; x = -2
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 0; x = -1; x = -2
Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
a] x4 – 5x2 + 4 = 0;
b] 2x4 – 3x2 – 2 = 0;
c] 3x4 + 10x2 + 3 = 0
Lời giải
a] x4 – 5x2 + 4 = 0 [1]
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó [1] trở thành : t2 – 5t + 4 = 0 [2]
Giải [2] : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 4
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;
+ Với t = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.
Vậy phương trình [1] có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.
b] 2x4 – 3x2 – 2 = 0; [1]
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó [1] trở thành : 2t2 – 3t – 2 = 0 [2]
Giải [2] : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2
⇒ Δ = [-3]2 – 4.2.[-2] = 25 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm
Chỉ có giá trị t1 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;
Vậy phương trình [1] có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.
c] 3x4 + 10x2 + 3 = 0 [1]
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó [1] trở thành : 3t2 + 10t + 3 = 0 [2]
Giải [2] : Có a = 3; b = 10; c = 3
⇒ Δ’ = 52 – 3.3 = 16 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Cả hai giá trị đều không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình [1] vô nghiệm.
Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Lời giải
⇔ [x + 3][x – 3] + 2.3 = 3x[1 – x]
⇔ x2 – 9 + 6 = 3x – 3x2
⇔ x2 – 9 + 6 – 3x + 3x2 = 0
⇔ 4x2 – 3x – 3 = 0
Có a = 4; b = -3; c = -3 ⇒ Δ = [-3]2 – 4.4.[-3] = 57 > 0
Phương trình có hai nghiệm
Điều kiện xác định: x ≠ 5; x ≠ 2.
Quy đồng và khử mẫu ta được :
[x + 2][2 – x] + 3[2 – x][x – 5] = 6[x – 5]
⇔ 4 – x2 + 6x – 3x2 – 30 + 15x = 6x – 30
⇔ 4 – x2 + 6x – 3x2 – 30 + 15x – 6x + 30 = 0
⇔ -4x2 + 15x + 4 = 0
Có a = -4; b = 15; c = 4 ⇒ Δ = 152 – 4.[-4].4 = 289 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có tập nghiệm
Điều kiện xác định: x ≠ -1; x ≠ -2.
Quy đồng và khử mẫu ta được:
4.[x + 2] = -x2 – x + 2
⇔ 4x + 8 = -x2 – x + 2
⇔ 4x + 8 + x2 + x – 2 = 0
⇔ x2 + 5x + 6 = 0.
Có a = 1; b = 5; c = 6 ⇒ Δ = 52 – 4.1.6 = 1 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Chỉ có nghiệm x2 = -3 thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có nghiệm x = -3.
Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
a] [3x2 – 5x + 1][x2 – 4] = 0;
b] [2x2 + x – 4]2 – [2x – 1]2 = 0.
Lời giải
a] [3x2 – 5x + 1][x2 – 4] = 0
⇔ 3x2 – 5x + 1 = 0 [1]
hoặc x2 – 4 = 0 [2]
+ Giải [1]: 3x2 – 5x + 1 = 0
Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = [-5]2 – 4.3 = 13 > 0
Phương trình có hai nghiệm:
+ Giải [2]: x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2.
Vậy phương trình có tập nghiệm
b] [2x2 + x – 4]2 – [2x – 1]2 = 0
⇔ [2x2 + x – 4 – 2x + 1][2x2 + x – 4 + 2x – 1] = 0
⇔ [2x2 – x – 3][2x2 + 3x – 5] = 0
⇔ 2x2 – x – 3 = 0 [1]
hoặc 2x2 + 3x – 5 = 0 [2]
+ Giải [1]: 2x2 – x – 3 = 0
Có a = 2; b = -1; c = -3 ⇒ a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.
+ Giải [2]: 2x2 + 3x – 5 = 0
Có a = 2; b = 3; c = -5 ⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Luyện tập [trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2]
Lời giải
a] 9x4 – 10x2 + 1 = 0 [1]
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó [1] trở thành : 9t2 – 10t + 1 = 0 [2]
Giải [2]:
Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1
⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình [2] có nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 1/9.
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.
Vậy phương trình [1] có tập nghiệm
b] 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2
⇔ 5x4 + 2x2 – 16 – 10 + x2 = 0
⇔ 5x4 + 3x2 – 26 = 0 [1]
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó [1] trở thành : 5t2 + 3t – 26 = 0 [2]
Giải [2] :
Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26
⇒ Δ = 32 – 4.5.[-26] = 529 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đối chiếu điều kiện chỉ có t1 = 2 thỏa mãn
+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.
Vậy phương trình [1] có tập nghiệm S = {-√2; √2}
c] 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 [1]
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó, [1] trở thành : 0,3t2 + 1,8t + 1,5 = 0 [2]
Giải [2] :
có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5
⇒ a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = -1 và t2 = -c/a = -5.
Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình [1] vô nghiệm.
Điều kiện xác định: x ≠ 0.
Quy đồng, khử mẫu ta được :
2x4 + x2 = 1 – 4x2
⇔ 2x4 + x2 + 4x2 – 1 = 0
⇔ 2x4 + 5x2 – 1 = 0 [1]
Đặt t = x2, điều kiện t > 0.
Khi đó [1] trở thành : 2t2 + 5t – 1 = 0 [2]
Giải [2] :
Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1
⇒ Δ = 52 – 4.2.[-1] = 33 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Đối chiếu với điều kiện thấy có nghiệm t1 thỏa mãn.
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Luyện tập [trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2]
Lời giải
a] [x – 3]2 + [x + 4]2 = 23 – 3x
⇔ x2 – 6x + 9 + x2 + 8x + 16 = 23 – 3x
⇔ x2 – 6x + 9 + x2 + 8x + 16 + 3x – 23 = 0
⇔ 2x2 + 5x + 2 = 0
Có a = 2; b = 5; c = 2 ⇒ Δ = 52 – 4.2.2 = 9 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm:
Vậy phương trình có tập nghiệm
b] x3 + 2x2 – [x – 3]2 = [x – 1][x2 – 2]
⇔ x3 + 2x2 – [x2 – 6x + 9] = x3 – x2 – 2x + 2
⇔ x3 + 2x2 – x2 + 6x – 9 – x3 + x2 + 2x – 2 = 0
⇔ 2x2 + 8x – 11 = 0.
Có a = 2; b = 8; c = -11 ⇒ Δ’ = 42 – 2.[-11] = 38 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm:
Vậy phương trình có tập nghiệm
c] [x – 1]3 + 0,5x2 = x[x2 + 1,5]
⇔ x3 – 3x2 + 3x – 1 + 0,5x2 = x3 + 1,5x
⇔ x3 + 1,5x – x3 + 3x2 – 3x + 1 – 0,5x2 = 0
⇔ 2,5x2 – 1,5x + 1 = 0
Có a = 2,5; b = -1,5; c = 1
⇒ Δ = [-1,5]2 – 4.2,5.1 = -7,75 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
⇔ 2x[x – 7] – 6 = 3x – 2[x – 4]
⇔ 2x2 – 14x – 6 = 3x – 2x + 8
⇔ 2x2 – 14x – 6 – 3x + 2x – 8 = 0
⇔ 2x2 – 15x – 14 = 0.
Có a = 2; b = -15; c = -14
⇒ Δ = [-15]2 – 4.2.[-14] = 337 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm:
⇔ 14 = [x – 2][x + 3]
⇔ 14 = x2 – 2x + 3x – 6
⇔ x2 + x – 20 = 0
Có a = 1; b = 1; c = -20
⇒ Δ = 12 – 4.1.[-20] = 81 > 0
Phương trình có hai nghiệm:
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-5; 4}.
Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Luyện tập [trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2]
a] [3x2 – 7x – 10].[2x2 + [1 – 5]x + 5 – 3] = 0
b] x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0;
c] [x2 – 1][0,6x + 1] = 0,6x2 + x;
d] [x2 + 2x – 5]2 = [x2 – x + 5]2.
Lời giải
a][3x2 – 7x – 10].[2x2 + [1 – 5]x + 5 – 3] = 0
+ Giải [1]:
3x2 – 7x – 10 = 0
Có a = 3; b = -7; c = -10
⇒ a – b + c = 0
⇒ [1] có hai nghiệm x1 = -1 và x2 = -c/a = 10/3.
+ Giải [2]:
2x2 + [1 – √5]x + √5 – 3 = 0
Có a = 2; b = 1 – √5; c = √5 – 3
⇒ a + b + c = 0
⇒ [2] có hai nghiệm:
Vậy phương trình có tập nghiệm
b] x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
⇔ [x3 + 3x2] – [2x + 6] = 0
⇔ x2[x + 3] – 2[x + 3] = 0
⇔ [x2 – 2][x + 3] = 0
+ Giải [1]: x2 – 2 = 0 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = √2 hoặc x = -√2.
+ Giải [2]: x + 3 = 0 ⇔ x = -3.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-3; -√2; √2}
c] [x2 – 1][0,6x + 1] = 0,6x2 + x
⇔ [x2 – 1][0,6x + 1] = x.[0,6x + 1]
⇔ [x2 – 1][0,6x + 1] – x[0,6x + 1] = 0
⇔ [0,6x + 1][x2 – 1 – x] = 0
+ Giải [1]: 0,6x + 1 = 0 ⇔
+ Giải [2]:
x2 – x – 1 = 0
Có a = 1; b = -1; c = -1
⇒ Δ = [-1]2 – 4.1.[-1] = 5 > 0
⇒ [2] có hai nghiệm
Vậy phương trình có tập nghiệm
d] [x2 + 2x – 5]2 = [x2 – x + 5]2
⇔ [x2 + 2x – 5]2 – [x2 – x + 5]2 = 0
⇔ [[x2 + 2x – 5] – [x2 – x + 5]].[[x2 + 2x – 5] + [x2 – x + 5]] = 0
⇔ [3x – 10][2x2 + x – 10] = 0
+ Giải [1]: 3x – 10 = 0 ⇔
+ Giải [2]:
2x2 + x – 10 = 0
Có a = 2; b = 1; c = -10
⇒ Δ = 12 – 4.2.[-10] = 81 > 0
⇒ [2] có hai nghiệm:
Vậy phương trình có tập nghiệm
Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Luyện tập [trang 56-57 sgk Toán 9 Tập 2]
Hướng dẫn:
a] Đặt t = x2 + x, ta có phương trình 3t2 – 2t – 1 = 0. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của t. Thay mỗi giá trị của t vừa tìm được vào đẳng thức t = x2 +x, ta được một phương trình của ẩn x. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của x.
Lời giải
a] 3.[x2 + x]2 – 2[x2 + x] – 1 = 0 [1]
Đặt t = x2 + x,
Khi đó [1] trở thành : 3t2 – 2t – 1 = 0 [2]
Giải [2] : Có a = 3 ; b = -2 ; c = -1
⇒ a + b + c = 0
⇒ [2] có hai nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = -1/3.
+ Với t = 1 ⇒ x2 + x = 1 ⇔ x2 + x – 1 = 0 [*]
Có a = 1; b = 1; c = -1 ⇒ Δ = 12 – 4.1.[-1] = 5 > 0
[*] có hai nghiệm
Có a = 3; b = 3; c = 1 ⇒ Δ = 32 – 4.3.1 = -3 < 0
⇒ [**] vô nghiệm.
Vậy phương trình [1] có tập nghiệm
b] [x2 – 4x + 2]2 + x2 – 4x – 4 = 0
⇔ [x2 – 4x + 2]2 + x2 – 4x + 2 – 6 = 0 [1]
Đặt x2 – 4x + 2 = t,
Khi đó [1] trở thành: t2 + t – 6 = 0 [2]
Giải [2]: Có a = 1; b = 1; c = -6
⇒ Δ = 12 – 4.1.[-6] = 25 > 0
⇒ [2] có hai nghiệm
+ Với t = 2 ⇒ x2 – 4x + 2 = 2
⇔ x2 – 4x = 0
⇔ x[x – 4] = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 4.
+ Với t = -3 ⇒ x2 – 4x + 2 = -3
⇔ x2 – 4x + 5 = 0 [*]
Có a = 1; b = -4; c = 5 ⇒ Δ’ = [-2]2 – 1.5 = -1 < 0
⇒ [*] vô nghiệm.
Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S = {0; 4}.
Khi đó [1] trở thành: t2 – 6t – 7 = 0 [2]
Giải [2]: Có a = 1; b = -6; c = -7
⇒ a – b + c = 0
⇒ [2] có nghiệm t1 = -1; t2 = -c/a = 7.
Đối chiếu điều kiện chỉ có nghiệm t = 7 thỏa mãn.
+ Với t = 7 ⇒ √x = 7 ⇔ x = 49 [thỏa mãn].
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 49.
⇔ t2 – 10 = 3t ⇔ t2 – 3t – 10 = 0 [2]
Giải [2]: Có a = 1; b = -3; c = -10
⇒ Δ = [-3]2 – 4.1.[-10] = 49 > 0
⇒ [2] có hai nghiệm:
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm