Trong không gian Oxyz phương trình của trục zOz

1. Tọa độ của điểm và của vectơ

a) Hệ tọa độ

 

Trong không gian, cho ba trục xOx’, yOy’, zOz’ vuông góc với nhau từng đôi một.

Các vectơ \(\vec i,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec j,{\mkern 1mu} \vec k\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục xOx’, yOy’, zOz’ với: 

Hệ trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.

b) Tọa độ của vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\vec u\) tồn tại duy nhất bộ số (x,y,z) sao cho: \(\vec u = (x;y;z)\)

\( \Leftrightarrow \vec u = x\vec i + y\vec j + z\vec k.\)

Bộ số: (x,y,z) được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec u\)

c) Tọa độ điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho điểm A tùy ý tồn tại duy nhất bộ số 

  sao cho: \(A({x_A},{y_A},{z_A}) \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} = ({x_A};{y_A};{z_A}).\)

Bộ số 

 được gọi là tọa độ điểm A.

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ \(\vec u = (x;y;z)\) và 

• 
• 
• 
• 

 

• 
    cùng phương 
• 

Cho hai điểm 

; 

• \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A})\)
• \(AB = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} \)
• \(\overrightarrow {IA} = k.\overrightarrow {IB} (k \ne 1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} - k.{x_B}}}{{1 - k}}}\\{}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} - k.{y_B}}}{{1 - k}}}\\{}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} - k.{z_B}}}{{1 - k}}}\end{array}} \right.\)
• Đặc biệt I là trung điểm AB thì: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}}\\{}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}\\{}\\{{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}}\end{array}} \right.\)
• G là trọng tâm của tứ diện ABCD: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}}\\{}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}}\\{}\\{{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}}\end{array}} \right.\)

​3. Tích vô hướng
 

• Công thức tính tích vô hướng: \(\vec a.\vec b = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.cos(\vec a,\vec b)\)
• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: \[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec a = ({x_1};{y_1};{z_1})}\\{\vec b = ({x_2};{y_2};{z_2})}\end{array}} \right\}\vec a.\vec b = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}\]
• Công thức tính góc giữa hai vectơ:  \(cos(\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}.\)

4. Phương trình mặt cầu

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình:  \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}.\)
• Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0\) điều kiện \({A^2} + {B^2} + {C^2} - D > 0\)

Khi đó, mặt cầu có tâm I (A; B; C), bán kính  

Trong không gian Oxyz cho điểm M (3; 2; 1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

A. 3x + y + 2z - 14 = 0

B. 3x + 2y + z - 14 = 0

C .   x 9 + y 3 + z 6 = 1

D .   x 12 + y 4 + z 4 = 1

Các câu hỏi tương tự

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M  và cắt trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA=2OB=3OC>0.

Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;3;-2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA=OB=OC ≠ 0.

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;3;-2). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho OA = OB = OC ≠ 0.

A. 1. 

B. 2. 

C. 4 

D. 3.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;2;3), A(2;4;4) và hai mặt phẳng (P):x+y-2z+1=0, (Q):x-2y-z+4=0. Đường thẳng ∆  đi qua điểm M, cắt hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt tại B và C(a;b;c) sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến. Tính T=a+b+c.

A. T = 9

B. T = 3

C. T = 7

D. T = 5

A. 6x - 3y -2z - 6 = 0

C.  x 1 + y - 2 + z 3 = 3

A. 2x + 2y + z - 8 = 0

C. x 1 + y 2 + z 2 = 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.