Văn đề 8 hệ bất phương trình bậc 2

Home - Học tập - Kiến thức biện luận bất phương trình bậc 2

Kiến thức biện luận bất phương trình bậc 2 | Bán Máy Nước Nóng

– Tam thức bậc hai so với x là biểu thức có dạng f [ x ] = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những thông số, a ≠ 0 .

* Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai.

Bạn đang xem: biện luận bất phương trình bậc 2

Bạn đang đọc: Kiến thức biện luận bất phương trình bậc 2

a ] f [ x ] = x2 – 3 x + 2 b ] f [ x ] = x2 – 4

c ] f [ x ] = x2 [ x-2 ]

° Đáp án: a] và b] là tam thức bậc 2.

1. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét:

* Định lý: Cho f[x] = ax2 + bx + c, Δ = b2 – 4ac.

– Nếu Δ < 0 thì f [ x ] luôn cùng dấu với thông số a với mọi x ∈ R . – Nếu Δ = 0 thì f [ x ] luôn cùng dấu với thông số a trừ khi x = - b / 2 a .

– Nếu Δ>0 thì f[x] luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 [với x1
[ Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm : Trong trái ngoài cùng ]

– Tìm nghiệm của tam thức – Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của thông số a

– Dựa vào bảng xét dấu và Kết luận

– Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c < 0 [ hoặc ax2 + bx + c ≤ 0 ; ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c ≥ 0 ], trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0 .

* Ví dụ: x2 – 2 >0; 2×2 +3x – 5 0 ] .
Để giải BPT bậc hai ta vận dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai .

Ví dụ: Giải bất phương trình

Mẫu thức là tam thức bậc hai có hai nghiệm là 2 và 3D ấu của f [ x ] được cho trong bảng sau

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ là S = [ − 1 ; 1/3 ]

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc đặc thù của GTTĐ để khử dấu GTTĐ .

Trong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao những tập nghiệm thu sát hoạch được .

∙ Dạng : P [ x ]. Q [ x ] > 0 [ 1 ] [ trong đó P [ x ], Q. [ x ] là những nhị thức bậc nhất. ]
∙ Cách giải : Lập bxd của P [ x ]. Q [ x ]. Từ đó suy ra tập nghiệm của [ 1 ] .

Chú ý : Không nên qui đồng và khử mẫu .

∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và đặc thù của GTTĐ để khử dấu GTTĐ .

* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10]: Xét dấu các tam thức bậc hai:

a ] 5 × 2 – 3 x + 1 b ] – 2 × 2 + 3 x + 5 c ] x2 + 12 x + 36

d ] [ 2 x – 3 ] [ x + 5 ]

Lời giải ví dụ 1 [Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10]:

a ] 5 × 2 – 3 x + 1 – Xét tam thức f [ x ] = 5 × 2 – 3 x + 1 – Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 9 – 20 = – 11 < 0 nên f [ x ] cùng dấu với thông số a . – Mà a = 5 > 0 ⇒ f [ x ] > 0 với ∀ x ∈ R . b ] – 2 × 2 + 3 x + 5 – Xét tam thức f [ x ] = – 2 × 2 + 3 x + 5 – Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 9 + 40 = 49 > 0 .

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = – 1 ; x2 = 5/2, thông số a = – 2 < 0 – Ta có bảng xét dấu :

f [ x ] > 0 khi x ∈ [ – 1 ; 5/2 ] – Từ bảng xét dấu ta có : f [ x ] = 0 khi x = – 1 ; x = 5/2 f [ x ] < 0 khi x ∈ [ - ∞ ; - 1 ] ∪ [ 5/2 ; + ∞ ] c ] x2 + 12 x + 36 – Xét tam thức f [ x ] = x2 + 12 x + 36 – Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 144 – 144 = 0 . – Tam thức có nghiệm kép x = - 6, thông số a = 1 > 0 . – Ta có bảng xét dấu :

– Từ bảng xét dấu ta có : f [ x ] > 0 với ∀ x ≠ – 6 f [ x ] = 0 khi x = – 6 d ] [ 2 x – 3 ] [ x + 5 ] – Xét tam thức f [ x ] = 2 × 2 + 7 x – 15 – Ta có : Δ = b2 – 4 ac = 49 + 120 = 169 > 0 . – Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2 ; x2 = – 5, thông số a = 2 > 0 . – Ta có bảng xét dấu :

– Từ bảng xét dấu ta có : f [ x ] > 0 khi x ∈ [ – ∞ ; – 5 ] ∪ [ 3/2 ; + ∞ ] f [ x ] = 0 khi x = – 5 ; x = 3/2

f [ x ] < 0 khi x ∈ [ - 5 ; 3/2 ]

* Ví dụ 2 [Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10]: Lập bảng xét dấu của biểu thức

a ] f [ x ] = [ 3 × 2 – 10 x + 3 ] [ 4 x – 5 ] b ] f [ x ] = [ 3 × 2 – 4 x ] [ 2 × 2 – x – 1 ] c ] f [ x ] = [ 4 × 2 – 1 ] [ – 8 × 2 + x – 3 ] [ 2 x + 9 ]

d ] f [ x ] = [ [ 3 × 2 – x ] [ 3 – x2 ] ] / [ 4 × 2 + x – 3 ]

° Lời giải ví dụ 2 [Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10]:

a ] f [ x ] = [ 3 × 2 – 10 x + 3 ] [ 4 x – 5 ]
Xem thêm : Mạch sao tam giác là gì ? Tại sao cần đấu sao tam giác để khởi động động cơ ?– Tam thức 3 × 2 – 10 x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, thông số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3 . – Nhị thức 4 x – 5 có nghiệm x = 5/4 . – Ta có bảng xét dấu :

– Từ bảng xét dấu ta có : f [ x ] > 0 khi x ∈ [ 1/3 ; 5/4 ] ∪ x ∈ [ 3 ; + ∞ ] f [ x ] = 0 khi x ∈ S = { 1/3 ; 5/4 ; 3 } f [ x ] < 0 khi x ∈ [ - ∞ ; 1/3 ] ∪ [ 5/4 ; 3 ] b ] f [ x ] = [ 3 × 2 – 4 x ] [ 2 × 2 – x – 1 ] – Tam thức 3 × 2 – 4 x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, thông số a = 3 > 0 . ⇒ 3 × 2 – 4 x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3 . + Tam thức 2 × 2 – x – 1 có hai nghiệm x = - 50% và x = 1, thông số a = 2 > 0

⇒ 2 × 2 – x – 1 mang dấu + khi x < - 50% hoặc x > 1 và mang dấu – khi – 50% < x < 1 . – Ta có bảng xét dấu :

– Từ bảng xét dấu ta có : f [ x ] > 0 ⇔ x ∈ [ – ∞ ; – 50% ] ∪ [ 0 ; 1 ] ∪ [ 4/3 ; + ∞ ] f [ x ] = 0 ⇔ x ∈ S = { – 50% ; 0 ; 1 ; 4/3 } f [ x ] < 0 ⇔ x ∈ [ - 50% ; 0 ] ∪ [ 1 ; 4/3 ] c ] f [ x ] = [ 4 × 2 – 1 ] [ - 8 × 2 + x – 3 ] [ 2 x + 9 ] – Tam thức 4 × 2 – 1 có hai nghiệm x = - 50% và x = 50%, thông số a = 4 > 0

⇒ 4 × 2 – 1 mang dấu + nếu x < - 50% hoặc x > 50% và mang dấu – nếu – 50% < x < 50% – Tam thức - 8 × 2 + x – 3 có Δ = - 47 < 0, thông số a = - 8 < 0 nên luôn luôn âm . – Nhị thức 2 x + 9 có nghiệm x = - 9/2 . – Ta có bảng xét dấu :

– Từ bảng xét dấu ta có : f [ x ] > 0 khi x ∈ [ – ∞ ; – 9/2 ] ∪ [ – 50% ; 50% ] f [ x ] = 0 khi x ∈ S = { – 9/2 ; – 50% ; 50% } f [ x ] < 0 khi x ∈ [ - 9/2 ; - 50% ] ∪ [ 50% ; + ∞ ] d ] f [ x ] = [ [ 3 × 2 – x ] [ 3 – x2 ] ] / [ 4 × 2 + x – 3 ] – Tam thức 3 × 2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, thông số a = 3 > 0 . ⇒ 3 × 2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3 . – Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √ 3 và x = - √ 3, thông số a = - 1 < 0 ⇒ 3 – x2 mang dấu – khi x < - √ 3 hoặc x > √ 3 và mang dấu + khi – √ 3 < x < √ 3 . – Tam thức 4 × 2 + x – 3 có hai nghiệm x = - 1 và x = 3/4, thông số a = 4 > 0 .

⇒ 4 × 2 + x – 3 mang dấu + khi x < - 1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi – 1 < x < 3/4 . – Ta có bảng xét dấu :

– Từ bảng xét dấu ta có:

Xem thêm: Bài tập cân bằng phương trình hóa học Lớp 8 có đáp án

f [ x ] > 0 ⇔ x ∈ [ – √ 3 ; – 1 ] ∪ [ 0 ; 1/3 ] ∪ [ 3/4 ; √ 3 ] f [ x ] = 0 ⇔ x ∈ S = { ± √ 3 ; 0 ; 1/3 }

f [ x ] < 0 ⇔ x ∈ [ - ∞ ; - √ 3 ] ∪ [ - 1 ; 0 ] ∪ [ 1/3 ; 3/4 ] ∪ [ √ 3 ; + ∞ ] f [ x ] không xác lập khi x = - 1 và x = 3/4 .

* Ví dụ 1 [Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10]: Giải các bất phương trình sau

a ] 4 × 2 – x + 1 < 0 b ] - 3 × 2 + x + 4 ≥ 0

d ] x2 – x – 6 ≤ 0

° Lời giải ví dụ 1 [bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10]:

a ] 4 × 2 – x + 1 < 0 – Xét tam thức f [ x ] = 4 × 2 – x + 1 – Ta có : Δ = - 15 < 0 ; a = 4 > 0 nên f [ x ] > 0 ∀ x ∈ R ⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm . b ] – 3 × 2 + x + 4 ≥ 0 – Xét tam thức f [ x ] = – 3 × 2 + x + 4

– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = – 1 và x = 4/3, thông số a = – 3 < 0 . ⇒ f [ x ] ≥ 0 khi - 1 ≤ x ≤ 4/3. [ Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a ] ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là : S = [ - 1 ; 4/3 ]

– Điều kiện xác lập : x2 – 4 ≠ 0 và 3 × 2 + x – 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2 và x ≠ 1 ; x ≠ 4/3 . – Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được :

– Nhị thức x + 8 có nghiệm x = – 8 – Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = – 2, thông số a = 1 > 0 ⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < - 2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi – 2 < x < 2 . – Tam thức 3 × 2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = - 4/3, thông số a = 3 > 0 .

⇒ 3 × 2 + x – 4 mang dấu + khi x < - 4/3 hoặc x > 1 mang dấu – khi – 4/3 < x < 1 . – Ta có bảng xét dấu như sau :

– Từ bảng xét dấu ta có : [ * ] < 0 ⇔ x ∈ [ - ∞ ; - 8 ] ∪ [ - 2 ; - 4/3 ] ∪ [ 1 ; 2 ] d ] x2 – x – 6 ≤ 0 – Xét tam thức f [ x ] = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = - 2 và x = 3, thông số a = 1 > 0 ⇒ f [ x ] ≤ 0 khi – 2 ≤ x ≤ 3 .

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là : S = [ – 2 ; 3 ] .

* Ví dụ 1 [Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10]: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a ] [ m – 2 ] x2 + 2 [ 2 m – 3 ] x + 5 m – 6 = 0
b ] [ 3 – m ] x2 – 2 [ m + 3 ] x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 [bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10]:

Tham khảo : So sánh ưu điểm yếu kém của đèn led so với những loại đèn khác lúc bấy giờa ] [ m – 2 ] x2 + 2 [ 2 m – 3 ] x + 5 m – 6 = 0 [ * ] • Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình [ * ] trở thành : 2 x + 4 = 0 ⇔ x = – 2 hay phương trình [ * ] có một nghiệm ⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm . • Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có : Δ ’ = b ’ 2 – ac = [ 2 m – 3 ] 2 – [ m – 2 ] [ 5 m – 6 ] = 4 mét vuông – 12 m + 9 – 5 mét vuông + 6 m + 10 m – 12 = – mét vuông + 4 m – 3 = [ – m + 3 ] [ m – 1 ]

– Ta thấy [ * ] vô nghiệm ⇔ Δ ’ < 0 ⇔ [ - m + 3 ] [ m – 1 ] < 0 ⇔ m ∈ [ - ∞ ; 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ] – Vậy với m ∈ [ - ∞ ; 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ] thì phương trình vô nghiệm . b ] [ 3 – m ] x2 – 2 [ m + 3 ] x + m + 2 = 0 [ * ] • Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó [ * ] trở thành - 6 x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6 ⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm . • Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có : Δ ’ = b ’ – ac = [ m + 3 ] 2 – [ 3 – m ] [ m + 2 ] = mét vuông + 6 m + 9 – 3 m – 6 + mét vuông + 2 m = 2 mét vuông + 5 m + 3 = [ m + 1 ] [ 2 m + 3 ] – Ta thấy [ * ] vô nghiệm ⇔ Δ ’ < 0 ⇔ [ m + 1 ] [ 2 m + 3 ] < 0 ⇔ m ∈ [ - 3/2 ; - 1 ] – Vậy với m ∈ [ - 3/2 ; - 1 ] thì phương trình vô nghiệm .

Bài 53 [trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các bất phương trình

a ] – 5 × 2 + 4 x + 12 < 0 b ] 16 × 2 + 40 x + 25 < 0 c ] 3 × 2 – 4 x + 4 ≥ 0 d ] x2 – x – 6 ≤ 0

Lời giải:

b ] Tam thức 16 × 2 + 40 x + 25 có : ∆ ’ = 202 – 16.25 = 0 và thông số a = 16 > 0 Do đó ; 16 × 2 + 40 x + 25 ≥ 0 ; ∀ x ∈ R Suy ra, bất phương trình 16 × 2 + 40 x + 25 < 0 vô nghiệm Vậy S = ∅ c ] Tam thức 3 × 2 – 4 x + 4 có ∆ ’ = [ - 2 ] 2 – 4.3 = - 10 < 0 Hệ số a = 3 > 0 Do đó, 3 × 2 – 4 x + 4 ≥ 0 ; ∀ x ∈ R Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = R . d ] Tam thức x2 – x – 6 có hai nghiệm là 3 và – 2 Hệ số a = 1 > 0 do đó, x2 – x – 6 khi và chỉ khi – 2 ≤ x ≤ 3

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [ – 2 ; 3 ] .

Lời giải:

a ] Tập nghiệm T = [ – ∞ ; – 6/5 ] ∪ [ 2 ; + ∞ ] b ] Bất phương trình vô nghiệm vì Δ ‘ < 0 và a = 16 > 0 c ] Tập nghiệm là R vì 3 × 2-4 x + 4 có Δ ‘ < 0 và thông số a = 3 > 0

d ] Tập nghiệm T = [ – 2 ; 3 ]

Bài 56 [trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các bất phương trình :

Lời giải:

Bài 55 [trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau đây có nghiệm.

a ] [ m-5 ] x2-4mx+m-2 = 0
b ] [ m + 1 ] x2 + 2 [ m-1 ] x + 2 m – 3 = 0

Lời giải:

a ] + ] khi m – 5 = 0 ⇒ m = 5 phương trình trở thành : – 20 x + 3 = 0 ⇒ x = 3/20 + ] khi m – 5 ≠ 0 ⇒ m ≠ 5, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : Δ ’ = [ – 2 m ] 2 – [ m – 2 ] [ m – 5 ] ≥ 0 ⇒ 4 mét vuông – [ m2-5m-2m+10 ] ≥ 0 ⇒ 4 mét vuông – mét vuông + 7 m – 10 ≥ 0

Do đó, m = – 1 thỏa mãn nhu cầu đầu bài . + Trường hợp 2 : Nếu m ≠ – 1, để phương trình đã cho có m nghiệm khi và chỉ khi :

Bài 54 [trang 145 sgk Đại Số 10 nâng cao]: Giải các bất phương trình sau:

Lập bảng xét dấu :

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là : S = [ – ∞ ; 1 ] ∪ [ 7 ; + ∞ ] b ] Ta có :

* Lại có : – x2 + 4 x – 3 = 0 ⇔ x = 1 ; x = 3 Và x2 – 3 x – 10 = 0 ⇔ x = 5 ; x = – 2 + Ta có bảng xét dấu :

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là : S = [ – ∞ ; – 2 ] ∪ [ 1 ; 3 ] ∪ [ 5 ; + ∞ ] c ] Ta có : 2 x + 1 = 0 ⇔ x = – 50% x2 + x – 30 = 0 ⇔ x = 5 và x = – 6 Ta có bảng xét dấu :

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

1. Bài tập về Bất Phương Trình:

Bài 1/ BPT bậc nhất

1.1. Giải các bất phương trình sau:

Source: //camnangbep.com
Category: Học tập

Bài viết mới nhất

Tả Đêm Trăng Đẹp Lớp 5 – 25  Bài Văn Tả Hay Đạt Điểm 10 ✅ Tham Khảo Những Bài Văn Sinh Động Và Đặc Sắc Giúp Viết Tốt Thể Loại Văn Miêu Tả . Camnangbep.com cũng giúp giải đáp …